10 Bài tập Lập phương trình chính tắc của hypebol (có lời giải)
10 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một hypebol (H) có tiêu điểm F1−5;0 và độ dài trục ảo bằng 4. Phương trình chính tắc của hypebol đó là
x24−y23=1;
x25−y22=1;
x21+y24=1;
x21−y24=1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Giả sử hypebol (H) có phương trình là: x2a2−y2b2=1, a,b>0.
(H) có tiêu điểm F1−5;0 suy ra c=5 nên c2 = 5.
Độ dài trục ảo 2b = 4 suy ra b = 2 nên b2 = 4.
Ta có c2 = a2 + b2 nên a2 = c2 – b2 = 5 – 4 = 1.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là x21−y24=1.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một hypebol (H) có phương trình chính tắc là x2a2−y2b2=1, a,b>0, (H) đi qua điểm A1(–7; 0) và tỉ số a2+b2a2=2. Phương trình chính tắc của hypebol đó là
x27−y27=1;
x27+y27=1;
x249+y249=1;
x249-y249=1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Do (H) đi qua điểm A1(–7; 0) nên −72a2−02b2=1 do đó a2 = 49.
Theo bài, a2+b2a2=2. Hay c2a2=2. Do đó c2 = 98.
Ta có c2 = a2 + b2 nên b2 = c2 – a2 = 98 – 49 = 49.
Phương trình chính tắc của hypebol là x249−y249=1.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một hypebol có tiêu cự bằng 8 và giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 6. Phương trình chính tắc của hypebol đó là
x225−y29=1;
x29−y27=1;
x29−y225=1;
x27−y29=1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Giả sử hypebol có phương trình là x2a2−y2b2=1, a,b>0.
Giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 6 nên 2a = 6, suy ra a = 3.
Hypebol có tiêu cự bằng 8 suy ra 2c = 8, tức là c = 4.
Ta có c2 = a2 + b2 nên b2 = c2 – a2 = 42 – 32 = 7.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: x29−y27=1.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của hypebol đi qua hai điểm A42;2 và B−6;−5 là
x216−y24=1;
x224−y212=1;
x232−y28=1;
x225−y29=1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Giả sử hypebol có phương trình là x2a2−y2b2=1, a,b>0.
Hai điểm A42;2,B−6;−5 thuộc vào hypebol nên ta có hệ phương trình sau:
32a2−4b2=136a2−5b2=1⇔1a2=1161b2=14⇔a2=16b2=4.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là x216−y24=1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho một hypebol (H) đi qua điểm (2; 1) và giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 22. Phương trình chính tắc của hypebol đó là
x22+y2=1.
x23−y23=1.
x2−y22=1.
x22-y2=1.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là 34;0 và độ dài trục thực bằng 10 là
H:x225−y29=1;
H:x225−y29=-1;
H:x225+y29=1;
H:x225-y29=1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Phương trình chính tắc của hypebol (H): x2a2−y2b2=1, a,b>0.
(H) có một tiêu điểm là 34;0 suy ra c=34 nên c2 = 34.
Độ dài trục thực là 2a = 10 nên a = 5, do đó a2 = 25.
Ta có c2 = a2 + b2 nên b2 = c2 – a2 = 34 – 25 = 9.
Vậy phương trình chính tắc của (H) là: x225−y29=1.
Phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là (5; 0) và độ dài trục ảo bằng 6 là
x216−y29=1;
x216−y29=-1;
x216+y29=1;
x29−y216=1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Phương trình chính tắc của hypebol (H): x2a2−y2b2=1, a,b>0.
(H) có một tiêu điểm là (5; 0) nên c = 5 suy ra c2 = 25.
Độ dài trục ảo là 2b = 6 nên b = 3. Do đó b2 = 9.
Ta có c2 = a2 + b2 nên a2 = c2 – b2 = 25 – 9 = 16.
Vậy phương trình chính tắc của (H) là: x216−y29=1.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của hypebol có một tiêu điểm F1−10;0 và đi qua điểm A4;−2 là
x212−y26=1;
x28−y24=1;
x28−y22=1;
x212−y22=1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là x2a2−y2b2=1, a,b>0.
(H) có một tiêu điểm F1−10;0 suy ra c=10 nên c2 = 10.
Ta có c2 = a2 + b2 nên b2 = c2 – a2 = 10 – a2.
Điểm A4;−2∈H nên ta có 16a2−2b2=1 (*)
Thay b2 = 10 – a2 vào (*) ta được:
16a2−210−a2=1⇔160−16a2−2a2=10a2−a4
⇔a4−28a2+160=0⇔a2=20a2=8.
Với a2 = 20 ta có b2 = 10 – a2 = 10 – 20 = –10 (loại).
Với a2 = 8 ta có b2 = 10 – a2 = 10 – 8 = 2.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol H là x28−y22=1.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc x2a2−y2b2=1, a,b>0. Biết (H) có hai tiêu điểm F1, F2 nằm trên Ox và đối xứng qua gốc tọa độ O, (H) đi qua điểm M4345;95 sao cho tam giác MF1F2 vuông tại M. Tích a.b bằng
a.b = 12;
a.b = 15;
a.b = 20;
a.b = 10.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có c=a2+b2=OF1=OF2 và MO=43452+952=5.
Mà tam giác MF1F2 vuông tại M có đường trung tuyến MO ứng với cạnh huyền F1F2 nên MO=12F1F2
Suy ra F1F2 = 2OM = 10.
Mà F1F2 = 2c nên 2c = 10 do đó c = 5.
Ta có c2 = a2 + b2 nên a2 + b2 = 25 nên b2 = 25 – a2.
Vì (H) đi qua điểm M4345;95 nên ta có 43452a2−952b2=1 hay 54425a2−8125b2=1
Do đó 544a2−81b2=25 (*)
Thay b2 = 25 – a2 vào (*) ta được:
544a2−8125−a2=25⇔54425−a2−81a2=25a225−a2
⇔ 13 600 – 544a2 – 81a2 = 625a2 – 25a4
⇔ 25a4 – 1 250a2 + 13 600 = 0
⇔ a2 = 34 hoặc a2 = 16
Với a2 = 34 ta có b2 = 25 – a2 = 25 – 34 = –9 (loại).
Với a2 = 16 ta có b2 = 25 – a2 = 25 – 16 = 9. Do đó b = 3 (do b > 0).
Khi a2 = 16 thì a = 4 (do a > 0).
Vậy a.b = 12.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có hai tiêu điểm F1, F2 nằm trên Ox và đối xứng qua gốc tọa độ O, (H) đi qua điểm có hoành độ bằng −5 và MF1=94;MF2=414. Phương trình chính tắc của hypebol (H) là
x29−y216=1;
x216−y29=1;
x225−y216=1;
x225−y29=1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Gọi phương trình đường hypebol H có dạng: x2a2−y2b2=1, a,b>0.
Ta có MF1−MF2=94−414=8.
Mà |MF1 – MF2| = 2a nên 2a = 8, do đó a = 4.
Gọi M(−5; y0) và F1(−c; 0), F2(c; 0).
Khi đó MF12=−c+52+−y02;MF22=c+52+−y02.
Do đó c−52+y02=8116; c+52+y02=1 68116.
Suy ra c+52−c−52=1 68116−8116
Hay 20c = 100 nên c = 5.
Ta có c2 = a2 + b2 nên b2 = c2 – a2 = 25 – 16 = 9.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là H:x216−y29=1.
