Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Ta có: O, A, O’ thẳng hàng

C, A, B thẳng hàng

Gọi H là giao điểm của AB và OO’.

Vì OO’ là đường trung trực của AB nên:

OO’ ⊥ AB tại H

Suy ra: HA = HB = (1/2).AB = (1/2).24 = 12 (cm)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AOH, ta có:

$A{O}^2=O{H}^2+A{H}^2$

Suy ra: $O{H}^2=O{A}^2-A{H}^2={15}^2-{12}^2$ = 81

OH = 9 (cm)

Áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông AO’H, ta có:

$AO{\text{'}}^2=OH{\text{'}}^2+A{H}^2$

Suy ra: $O\text{'}{H}^2=O\text{'}{A}^2-A{H}^2={13}^2-{12}^2$ = 25

O’H = 5 (cm)

Vậy OO’ = OH + O’H = 9 + 5 = 14 (cm)

Ta có: OA = OB (= R)

Suy ra tam giác AOB cân tại O

Suy ra: OB // O’C (vì có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AC là đường kính nên góc (ABC) = $90°$

Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O’) có AD là đường kính nên góc (ABD) = $90°$

Ta có:

Vậy ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB ⊥ CD

Kẻ OH ⊥ CD, O’K ⊥ CD

Ta có: IA ⊥ CD

Suy ra : OH // IA // O’K

Theo giả thiết : IO = IO’

Suy ra : AH = AK (tính chất đường thẳng song song cách đều) (1)

Ta có : OH ⊥ AC

Suy ra : HA = HC = (1/2).AC (đường kính dây cung) ⇒ AC = 2AH (2)

Lại có : O’K ⊥ AD

Suy ra : KA = KD = (1/2).AD (đường kính dây cung) ⇒ AD = 2AK (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AC = AD

Tam giác AO’C nội tiếp trong đường tròn (O) có O’C là đường kính nên 

Suy ra: CA ⊥ O’A tại điểm A

Vậy CA là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Tam giác BO’C nội tiếp trong đường tròn (O) có O’C là đường kính nên 

Suy ra: CB ⊥ O’B tại điểm B

Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Trong đường tròn (O’) ta có AC và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C

Suy ra:  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà O’I ⊥ O’A (gt)

CA ⊥ O’A (chứng minh trên)

Suy ra: O’I // CA =>  (hai góc so le trong)

Suy ra: 

Hay tam giác CIO’ cân tại I => IC = IO’

Khi đó I nằm trên đường trung trực của O’C

Lại có:  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

KC ⊥ CA (gt)

O’A ⊥ AC (chứng minh trên)

Suy ra: KC // O’A =>  (hai góc so le trong)

Suy ra: 

Hay tam giác CKO’ cân tại K => KC = KO’

Khi đó K nằm trên đường trung trực của O’C

Mặt khác: OC = OO’ (= R)

Suy ra O, I, K nằm trên đường trung trực của O’C

Vậy O, I, K thẳng hàng.

Gọi H là giao điểm của AB và OO’

Vì OO’ là đường trung trực của AB nên OO’ ⊥ AB tại H

Ta có: HA = HB

I là trung điểm của OO’ nên IH ⊥ AB     (1)

Trong tam giác ABK, ta có:

HA = HB (chứng minh trên)

IA = IK (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra IH là đường trung bình của tam giác ABK

Suy ra IH // BK     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB ⊥ KB

Vì AB ⊥ KB nên AE ⊥ KB

Lại có: AB = BE (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra: KA = KE (tính chất đường trung trực)     (3)

Ta có: IO = IO’ (gt)

IA = IK (chứng minh trên)

Tứ giác AOKO’ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành

Suy ra: OK // O’A và OA // O’K

CA ⊥ O’A (vì CA là tiếp tuyến của đường tròn (O’))

OK // O’A (chứng minh trên)

Suy ra: OK ⊥ AC

Khi đó OK là đường trung trực của AC

Suy ra: KA = KC (tính chất đường trung trực)     (4)

DA ⊥ OA (vì DA là tiếp tuyến của đường tròn (O))

O’K // OA (chứng minh trên)

Suy ra: O’K ⊥ DA

Khi đó O’K là đường trung trực của AD

Suy ra: KA = KD (tính chất đường trung trực)     (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: KA = KC = KE = KD

Vậy bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn.3

Chọn đáp án A

$\angle$(ABC) = $90°$ nên A, O, C thẳng hàng.

$\angle$(ABD) = $90°$ nên A, O’, D thẳng hàng.

OO’ là đường trung bình của tam giác $∆$ACD nên OO’ = 1/2CD.