Bài 2: Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Khi quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh huyền BC ta được hai hình nón có đáy úp vào nhau, bán kính đường tròn đáy bằng đường cao AH kẻ từ A đến cạnh huyền BC.

Trong tam giác vuông ABC ta có:

Khi ghép thành hình nón thì cạnh OP trùng với OQ và chính là đường sinh của hình nón Chu vi đáy hình nón chính bằng độ dài $\angle$PRQ

Chọn đáp án A

Thể tích hình nón có đường kính đáy 0,2m:

Thể tích hình nón có đường kính đáy 0,1m:

Thể tích nước chứa đầy xô là :

Vậy chọn đáp án B

Diện tích xung quanh của hình nón :

$S_{xq}$ = $\pi$.r.l = (22/7).7.10 =220 ($c{m}^2$)

Diện tích đáy của hình nón:

$S_{đáy}$ = $\pi$.$r^2$ = (22/7).$7^2$= 154 ($c{m}^2$)

Diện tích toàn phần của hình nón :

$S_{TP}$ = $S_{xq}$ + $S_{đáy}$ = 220 + 154 =374 ($c{m}^2$)

Vậy chọn đáp án D

*Khi quay hình bình hành ABCD một vòng quanh cạnh AB thì cạnh AD và BC vạch nên hai hình nón bằng nhau có đường sinh AD = BC = x, cạnh CD vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình nón

Trong tam giác AHD,ta có:

Diện tích toàn phần của hình tạo thành bằng tổng diện tích xung quanh của hai hình nón và diện tích xung quanh của hình trụ

*Khi quay hình bình hành ABCD một vòng quanh AD thì cạnh AB và DC vạch nên hai hình nón bằng nhau có đường sinh AB = DC = 1, cạnh BC vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính đáy của hình nón

Ta có:

Diện tích toàn phần của hình tạo thành bằng tổng diện tích xung quanh của hai hình nón và diện tích xung quanh của hình trụ

*Ta có: S = $S_1$⇔ $\pi$.x.$\sqrt{3}$ (1+x) = $\pi$.$\sqrt{3}$ (x+1)

⇔ x(1+x) = x +1 ⇔ $x^2$ -1 =0 ⇔ (x+1)(x-1) = 0

Vì x > 0 nên x+1 > 0

suy ra: x-1 = 0 ⇔ x = 1

*Ta có: S = 2$S_1$ ⇔ π.x.$\sqrt{3}$ (1+x) = 2.π.$\sqrt{3}$ (x+1)

⇔ x(x+1) = 2(x+1) ⇔ $x^2$ – x -2 =0

⇔ $x^2$ – 2x +x - 2 = 0 ⇔ (x+1)(x-2) = 0

Vì x > 0 nên x+1 > 0

suy ra : x-2 = 0 ⇔ x = 2

Vậy khi múc đầy nước vào hình nón và đổ vào hình trụ (Không chứa gì cả) thì độ cao của nước trong hình trụ là 

Vậy chọn đáp án A

Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao hình nón

Thể tích hình nón : 

Vậy chọn đáp án D

Gọi R là bán kính đáy ,h là chiều cao hình nón , r là bán kính đáy hình trụ x=BE là chiều cao phần hình nón bị cắt đi

Ta có: MN // AC

Phần bỏ đi của hình nón ít nhất tương đương với thể tích hình trụ là lớn nhất

Vì π,R,h là các hằng số nên thể tích hình trụ lớn nhất khi và chỉ khi $x^2$(2h-2x) lớn nhất

Vì x + x + (2h -2x) =2h là một hằng số không đổi nên tích x.x(2h -2x) đạt giá trị lớn nhất khi

x = 2h – 2x ⇔ 3x =2h ⇒ 

Vậy khi phần cắt bỏ ở phía trên hình nón có chiều cao bằng  chiều cao hình nón thì phần bỏ đi là ít nhất

Thể tích hình nón : V = (1/3)$\pi$. $r^2$h ($c{m}^3$)

Vậy chọn đáp án B

Đặt AB = c, AC = b, BC = a, AH = h là đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh huyền BC

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có: h = bc/a

*Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh huyền BC thì cạnh AB và AC vạch nên hai hình nón chung đáy có bán kính đáy bằng đường cao AH và tổng chiều cao hai hình nón bằng cạnh huyền BC

Thể tích của hai hình nón:

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AB thì ta thu được hình nón có chiều cao AB = c, bán kính đáy AC = b

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AC thì ta thu được hình nón có chiều cao AC=b,bán kính đáy AB=c

Thể tích hình nón:

Thể tích của hình trụ là: π$m^2$k

Thể tích của hình nón là: $\mathrm{\pi }$$m^2$k

Vậy thể tích của hình nón bằng  thể tích hình trụ. Do đó, khi chứa đầy cát vào hình nón rồi đổ hết sang hình trụ thì độ cao của cát trong hình trụ sẽ là