Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\left( {3x - 2} \right)\left( {9{x^2} + 6x + 4} \right) = {\left( {3x} \right)^3} - {2^3} = 27{x^3} - 8.\)

Do đó, chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\frac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1 = {\left( {\frac{1}{2}xy} \right)^2} + 2.\frac{1}{2}xy + 1 = {\left( {\frac{1}{2}xy + 1} \right)^2}\).

Do đó, chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\left( {{a^2} + 2a + 4} \right)\left( {a - 2} \right) = {a^3} - {2^3} = {a^3} - 8\).

Do đó, chọn đáp án C.

Lời giải

a) Đúng

Ta có: \(S = 200{\left( {1 + x} \right)^3} = 200\left( {1 + 3x + 3{x^2} + {x^3}} \right) = 200 + 600x + 600{x^2} + 200{x^3}\).

b) Đúng

Ta có đa thức \(S = 200{\left( {1 + x} \right)^3} = 200 + 600x + 600{x^2} + 200{x^3}\) có bậc là 3.

c) Đúng

Tổng số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm khi lãi suất \(x = 5\% \) là:

\(S = 200 \cdot {\left( {1 + 5\% } \right)^3} = 231,525\) (triệu đồng)

d) Sai

Số tiền lãi mà bác Tùng nhận được sau ba năm là \(231,525 - 200 = 31,525\) (triệu đồng).

Lời giải

a) Đúng

Phần lòng trong của thùng có độ dài cạnh là: \(x - 3 - 3 = x - 6\) (cm).

b) Đúng

Thể tích của thùng là \({x^3}\) (cm³).

c) Đúng

Thể tích phần dung tích của thùng là \({\left( {x - 6} \right)^3}\) cm³.

d) Sai

Thể tích phần vỏ của thùng là: \({x^3} - {\left( {x - 6} \right)^3} = {x^3} - {x^3} + 18{x^2} - 108x + 216 = 18{x^2} - 108x + 216\) (cm³).

Lời giải

a) Đúng

Diện tích ban đầu của mảnh đất hình vuông là \({x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

b) Sai

Do mảnh đất mở rộng về bốn phía nên cạnh của mảnh đất sau khi mở rộng là

\(x + 2 + 2 = x + 4{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

c) Sai

Vì diện tích mảnh đất tăng thêm \(44{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\) nên ta có phương trình \({\left( {x + 4} \right)^2} - {x^2} = 44{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

d) Đúng

Ta có: \({\left( {x + 4} \right)^2} - {x^2} = 44{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Suy ra \({x^2} + 8x + 16 - {x^2} = 44\)

\(8x = 28\)

\(x = \frac{7}{2}\) .

Vậy diện tích ban đầu của mảnh đất hình vuông là \({\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} = \frac{{49}}{4} = 12,25\) (m²).

Do đó, diện tích ban đầu của mảnh đất lớn hơn \(12{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Lời giải

a) Đúng

Thể tích của khối lập phương ban đầu là \({\left( {2x - 1} \right)^3}{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

b) Đúng

Thể tích của khối hình lập phương bị cắt bỏ là \({\left( {2x - 3} \right)^3}{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

c) Đúng

Đa thức biểu diễn thể tích phần thể tích còn lại sau khi cắt bỏ là:

\({\left( {2x - 1} \right)^3} - {\left( {2x - 3} \right)^3} = 8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - 8{x^3} + 36{x^2} - 54x + 27 = 24{x^2} - 48x + 26\) (cm³).

d) Đúng

Do thể tích còn lại sau khi cắt là 26 cm³ nên ta có:\(24{x^2} - 48x + 26 = 26\)

\(24{x^2} - 48x = 0\)

\(24x\left( {x - 2} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Với \(x = 0\) thì độ dài cạnh của khối lập phương ban đầu là \( - 1{\rm{ cm}}\) (loại do độ dành cạnh phải lớn hơn 0).

Với \(x = 2\) thì độ dài cạnh của khối lập phương ban đầu là \(3{\rm{ cm}}\).

Lời giải

a) Đúng

Chu vi hình vuông nhỏ là \(4x\) cm.

Chu vi hình vuông lớn là \(4y\) cm.

Tổng chiều dài các thành kim loại làm khung là 168 cm nên \(4x + 4y = 168\).

b) Sai

Đa thức biểu diện phần diện tích không gắn ảnh (màu vàng) là \(S = {y^2} - {x^2}\) (cm²).

Mà diện tích phần không gắn ảnh là 252 cm² nên ta có: \({y^2} - {x^2} = 252\).

c) Sai

Ta có: \(4x + 4y = 168\) hay \(4\left( {x + y} \right) = 168\) suy ra \(x + y = 42\).

Có \({y^2} - {x^2} = 252\) hay \(\left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 252\) suy ra \(42\left( {y - x} \right) = 252\) nên \(y - x = 6\).

Do đó, \(y = 6 + x\). Thay vào \(x + y = 42\), ta được:

\(x + x + 6 = 42\) hay \(2x = 36\), do đó \(x = 18\) (cm).

Suy ra độ dài cạnh của hình vuông lớn là \(y = 18 + 6 = 24\) (cm).

d) Đúng

Diện tích hình vuông nhỏ chính là diện tích phần gắn ảnh.

Do đó, diện tích phần gắn ảnh là \({18^2} = 324\) (cm²).

Lời giải

Đáp án: 25

Ta có: \(C = {x^2} + 4{y^2} - 2x + 10 + 4xy - 4y\)

\( = {x^2} + 4xy + 4{y^2} - 2x - 4y + 10\)

\( = {\left( {x + 2y} \right)^2} - 2\left( {x + 2y} \right) + 10\)

Mà, ta có \(x + 2y = 5\), thay vào \(C\), ta được: \(C = {5^2} - 2.5 + 10 = 25 - 10 + 10 = 25.\)

Lời giải

Đáp án: 2

Ta có: \(B = {x^2} + 5{y^2} - 2xy + 4y + 3\)

\( = {x^2} - 2xy + {y^2} + 4{y^2} + 4y + 1 + 2\)

\( = {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {2y + 1} \right)^2} + 2\).

Nhận thấy \({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {2y + 1} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {2y + 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) hay \(B \ge 2\).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(B = 2\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\2y + 1 = 0\end{array} \right.\) suy ra \(x = y = - \frac{1}{2}\).

Lời giải

Đáp án: \( - 9\)

Ta có: \(\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9\)

\({x^2} - 36 - {x^2} - 6x - 9 = 9\)

\( - 6x = 54\)

\(x = 54:\left( { - 6} \right)\)

\(x = - 9\).

Vậy \(x = - 9\).

Lời giải

Đáp án: 26

Ta có: \(C = 12x - 8y - 4{x^2} - {y^2} + 1\)

\( = - 4{x^2} + 12x - {y^2} - 8y + 1\)

\[ = - \left( {4{x^2} - 12x} \right) - \left( {{y^2} + 8y} \right) + 1\]

\[ = - \left( {4{x^2} - 12x + 9} \right) - \left( {{y^2} + 8y + 16} \right) + 1 + 9 + 16\]

\[ = - {\left( {2x - 3} \right)^2} - {\left( {y + 4} \right)^2} + 26\]

Nhận thấy \[ - {\left( {2x - 3} \right)^2} - {\left( {y + 4} \right)^2} \le 0\] nên \[ - {\left( {2x - 3} \right)^2} - {\left( {y + 4} \right)^2} \le 26\].

Vậy giá trị lớn nhất của \[C = 26\] khi \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 3 = 0\\y + 4 = 0\end{array} \right.\] suy ra \[x = \frac{3}{2}\] và \[y = - 4.\]

Lời giải

Đáp án: 1

Ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2\) nên \({\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} = 4\) mà \(\frac{2}{{xy}} - \frac{1}{{{z^2}}} = 4\) nên ta được:

\({\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} = \frac{2}{{xy}} - \frac{1}{{{z^2}}}\)

Suy ra \(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} + \frac{2}{{xy}} + \frac{2}{{xz}} + \frac{2}{{yz}} - \frac{2}{{xy}} + \frac{1}{{{z^2}}} = 0\)

\(\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{2}{{xz}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{y^2}}} + \frac{2}{{yz}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right) = 0\)

\({\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{z}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} = 0\)

Do đó, \({\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{z}} \right)^2} = 0\) và \({\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} = 0\) suy ra \(x = y = - z\).

Thay \(x = y = - z\) vào \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2\) ta được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 2\) hay \(\frac{1}{x} = 2\), suy ra \(x = \frac{1}{2}.\)

Do đó, ta được \(x = y = \frac{1}{2}\) và \(z = - \frac{1}{2}\).

Vậy \(P = {\left( {\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right)^{2024}} = 1\).