10 Bài tập Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Với B(3; 1) và C(5; 4), ta có .

Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nhận  làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A(1; 2) nên có phương trình là: 2(x – 1) + 3(y – 2) = 0 tức là 2x + 3y – 8 = 0.

Vậy phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là: 2x + 3y – 8 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của cạnh BC .

Với B(1; 1) và C(4; 2), ta có $M\left(\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right),$ .

Với A(0; –2) và $M\left(\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$  ta có $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$ .

Đường trung tuyến AM nhận $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$  làm một vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{n}=\left(-7;5\right)$  làm một vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC là:

–7x + 5(y + 2) = 0 hay –7x + 5y + 10 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là giao điểm của BM và CN nên là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x-2y+1=0\\ y-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right..$ Do đó G (1; 1).

Gọi B(x_B; y_B). Vì điểm B thuộc đường trung tuyến BM: x – 2y + 1 = 0 nên ta có:

x_B – 2y_B + 1 = 0, suy ra x_B = 2y_B – 1. Khi đó B(2y_B – 1; y_B).

Gọi C(x_C; y_C). Vì điểm C thuộc đường trung tuyến CN: y – 1 = 0 nên ta có:

y_C – 1 = 0, suy ra y_C = 1. Khi đó C(x_C; 1).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}1=\frac{1+2y_B-1+x_C}{3}\\ 1=\frac{3+y_B+1}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2y_B+x_C=3\\ y_B+4=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=5\\ y_B=-1\end{array}\right.$.

Từ đó ta có tọa độ hai điểm B và C là: B(–3; –1) và C(5; 1).

Với A(1; 3) và B(–3; –1), ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-4;-4\right)$

Phương trình đường thẳng AB đi qua A(1; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)$ là:

$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Với N(5; 3) và P(3; –4), ta có: $\overrightarrow{NP}=\left(-2;-7\right)$.

Xét ∆ABC có N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB nên NP là đường trung bình của tam giác. Do đó NP // BC.

Khi đó đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{NP}=\left(-2;-7\right)$ làm một vectơ chỉ phương nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(7;-2\right).$

Đường thẳng BC đi qua M(2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(7;-2\right).$ nên có phương trình là:

7(x – 2) – 2(y – 1) = 0 tức là 7x – 2y – 12 = 0.

Đường thẳng AC song song với đường thẳng MP nên phương trình đường thẳng AC đi qua N và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=\left(5;1\right)$ là:

5(x – 5) + 1(y – 3) = 0 tức là 5x + y – 28 = 0.

Đường thẳng BC song song với đường thẳng MN nên phương trình đường thẳng BC đi qua P và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_3}=\left(2;-3\right)$ là:

2(x – 3) – 3(y + 4) = 0 tức là 2x – 3y – 18 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi H là trung điểm của AB.

Tam giác ABC cân tại C nên đường trung tuyến CH đồng thời là đường cao, do đó CH ⊥ AB.

Khi đó đường cao CH nhận vectơ chỉ phương của AB làm một vectơ pháp tuyến.

Với B(2; –1) và A(4; 3), ta có H(3; 1) và $\overrightarrow{AB}=\left(-2;-4\right)=-2\left(1;2\right).$

Khi đó đường cao CH đi qua điểm H(3; 1) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$ làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: 1(x – 3) + 2(y – 1) = 0, tức là x + 2y – 5 = 0.