Bài tập Phương trình đường thẳng có đáp án

Hướng dẫn giải

Sau bài học này ta sẽ biết, để lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ, ta cần biết 1 điểm đi qua và 1 vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải

Cách vẽ:

- Vẽ 1 đoạn thẳng bất kì song song với đường thẳng ∆.

- Đánh dấu mũi tên chiều của đoạn thẳng đó, ta được 1 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ và M, nên đường thẳng ∆ chính là đường thẳng MM₀. Khi đó vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có giá chính là đường thẳng ∆.  

Vectơ \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nên giá của vectơ \(\overrightarrow u \) phải song song hoặc trùng với đường thẳng ∆.

Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có giá song song hoặc trùng nhau.

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {{M_0}M} \) cùng phương.

Hướng dẫn giải:

Theo câu a, hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {{M_0}M} \) cùng phương nên có số thực t sao cho \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\overrightarrow u \).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = - 2 + t\end{array} \right.\).

+ Ứng với t = 0 ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2.0 = 1\\y = - 2 + 0 = - 2\end{array} \right.\).

Điểm A(1; – 2) thuộc đường thẳng ∆.

+ Ứng với t = 1 ta có

Điểm B(– 1; – 1) thuộc đường thẳng ∆.

Chú ý: Ta chỉ cần lấy một số thực t bất kì thay vào phương trình tham số, ta sẽ được tọa độ 1 điểm thuộc đường thẳng ∆.

b) Theo câu a) điểm B(– 1; – 1) thuộc đường thẳng Δ ứng với t = 1, khi đó C ≡ B.

Vậy điểm C(– 1; – 1) thuộc đường thẳng ∆.

Thay tọa độ điểm D(1; 3) vào đường thẳng Δ ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - 2t\\3 = - 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t = 5\end{array} \right.\) (vô nghiệm)

Vậy điểm D(1; 3) không thuộc đường thẳng ∆.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - {x_0};\,\,y - {y_0}} \right),\,\,\overrightarrow u = \left( {a;\,\,b} \right)\).

Nên \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\overrightarrow u \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = ta\\y - {y_0} = tb\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

 Cách vẽ:

- vẽ 1 đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng ∆.

- Vẽ hướng mũi tên trên đoạn thẳng đó, ta được vectơ chỉ phương thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Vectơ \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nên giá của vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với đường thẳng ∆.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ và M, nên đường thẳng ∆ chính là đường thẳng MM₀. Khi đó vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có giá chính là đường thẳng ∆.

Do đó giá của vectơ \(\overrightarrow n \) và giá của vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) vuông góc với nhau.

Vậy hai vectơ hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_0}M} \) không cùng phương.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - {x_0};\,y - {y_0}} \right),\,\,\overrightarrow n = \left( {a;\,\,b} \right)\).

Xét điểm M(x; y) thuộc ∆. Vì \(\overrightarrow {{M_0}M} \bot \overrightarrow n \) nên

\(\overrightarrow {{M_0}M} \,\,.\,\,\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow \)a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0 ⇔ ax + by – ax₀ – by₀ = 0.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là x – y + 1 = 0.

Suy ra đường thẳng ∆ có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\, - 1} \right)\).

Do đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;\,\,1} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Cho x = 1 thay vào phương trình đường thẳng ∆ ta được: 1 – y + 1 = 0 ⇔ y = 2.

Do đó, điểm A(1; 2) thuộc đường thẳng ∆.

Tương tự, cho x = 0, ta được: 0 – y + 1 = 0 ⇔ y = 1.

Vậy điểm B(0; 1) thuộc đường thẳng ∆.

Hướng dẫn giải

a) Nếu b = 0 và a ≠ 0 thì phương trình đường thẳng ∆ trở thành ax + c = 0.

Khi đó đường thẳng ∆ song song hoặc trùng với trục Oy và cắt trục Ox tại điểm \(\left( { - \frac{c}{a};\,0} \right)\)

b) Nếu b ≠ 0 và a = 0 thì phương trình đường thẳng ∆ trở thành by + c = 0.

Khi đó đường thẳng ∆ song song hoặc trùng với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm \(\left( {0;\, - \frac{c}{b}} \right)\)

c) Nếu b ≠ 0 và a ≠ 0 thì phương trình đường thẳng ∆ có thể viết thành

\(y = - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b}\).

Khi đó, đường thẳng ∆ là đồ thị hàm số bậc nhất \(y = - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b}\) với hệ số góc \(k = - \frac{a}{b}\).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 2) nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;\,2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: 3(x – (– 1)) + 2(y – 2) = 0 hay 3x + 2y – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;\,3} \right)\), suy ra ∆ có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,2} \right)\).

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 2) nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;\,2} \right)\)làm vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: 3(x – (– 1)) + 2(y – 2) = 0 hay 3x + 2y – 1 = 0.

Hướng dẫn giải

* Quan sát Hình 34, ta thấy đường thẳng ∆₁ đi qua hai điểm A(3; 0) và B(0; 4).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;4} \right)\).

Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm A và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm một vectơ chỉ phương, do đó phương trình tham số của đường thẳng ∆₁ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 3t\\y = 4t\end{array} \right.\) (t là tham số).

* Quan sát Hình 35, ta thấy đường thẳng ∆₂ đi qua hai điểm C(2; 4) và D(0; 1).

Ta có: \(\overrightarrow {DC} = \left( {2;\,3} \right)\).

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm C và nhận \(\overrightarrow {DC} \) làm một vectơ chỉ phương, do đó phương trình tham số của đường thẳng ∆₂ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 4 + 3t\end{array} \right.\) (t là tham số).

* Quan sát Hình 36, ta thấy đường thẳng ∆₃ song song với trục Oy và cắt trục Ox tại điểm E\(\left( { - \frac{5}{2};\,0} \right)\).

Do đó, phương trình đường thẳng ∆₃ là \(x = - \frac{5}{2}\) hay 2x + 5 = 0.

* Quan sát Hình 37, ta thấy đường thẳng ∆₄ song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm F(0; 3).

Do đó, phương trình đường thẳng ∆₄ là y = 3 hay y – 3 = 0.

Chú ý: Với các phương trình tham số của đường thẳng, ta có thể tùy chọn các điểm đi qua khác nhau và vectơ chỉ phương khác nhau để viết phương trình tham số.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 3t\\y = 2 + 2t\end{array} \right.\).

Suy ra d có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 3;\,\,2} \right)\), do đó d có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;\,\,3} \right)\)

Ứng với t = 0, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 3.0 = - 1\\y = 2 + 2.0 = 2\end{array} \right.\), do đó điểm A(– 1; 2) thuộc đường thẳng d.

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2(x + 1) + 3(y – 2) = 0 hay 2x + 3y – 4 = 0.

Hướng dẫn giải:

Gọi H, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với các trục Ox và Oy.

Vì H thuộc Ox nên gọi tọa độ H(a; 0).

Do H thuộc d nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình tổng quát của đường thẳng d, thay vào ta được: 2 . a + 3 . 0 – 4 = 0 ⇔ a = 2.

Vậy H(2; 0).

Vì điểm K thuộc Oy nên gọi tọa độ K(0; b).

Do K thuộc d nên tọa độ điểm K thỏa mãn phương trình tổng quát của đường thẳng d, thay vào ta được:

2 . 0 + 3 . b – 4 = 0 ⇔ b = \(\frac{4}{3}\).

Vậy \(K\left( {0;\,\frac{4}{3}} \right)\).

Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng d lần lượt với các trục Ox, Oy lần lượt là các điểm H(2; 0) và \(K\left( {0;\,\frac{4}{3}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Thay tọa độ điểm M(– 7; 5) vào phương trình tổng quát của đường thẳng d ta được:

2 . (– 7) + 3 . 5 – 4 = 0 ⇔ – 3 = 0 (vô lý).

Vậy điểm M(– 7; 5) không thuộc đường thẳng d hay đường thẳng d không đi qua điểm M(– 7; 5)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có phương trình tổng quát là: x – 2y – 5 = 0.

Do đó d có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\, - 2} \right)\), suy ra d có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\,1} \right)\)

Cho y = 0, thay vào phương trình tổng quát của d ta được: x – 2 . 0 – 5 = 0 ⇔ x = 5.

Do đó, điểm A(5; 0) thuộc d.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = t\end{array} \right.\) (t là tham số).

Hướng dẫn giải:

Điểm M thuộc đường thẳng d, gọi tọa độ điểm M(5 + 2t; t).

Ta có: \(\overrightarrow {OM} = \left( {5 + 2t;\,t} \right)\) nên \(OM = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{{\left( {5 + 2t} \right)}^2} + {t^2}} \).

Mà OM = 5.

Do đó: \(\sqrt {{{\left( {5 + 2t} \right)}^2} + {t^2}} = 5\)⇒ (5 + 2t)² + t² = 25 ⇔ 5t² + 20t = 0 ⇔ t² + 4t = 0

⇔ t(t + 4) = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = – 4.

Với t = 0 thì tọa độ M(5; 0).

Với t = – 4 thì tọa độ M(– 3; – 4).

Vậy M(5; 0) hoặc M(– 3; – 4) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Điểm N thuộc đường thẳng d, gọi tọa độ điểm N(5 + 2t; t).

Gọi H là hình chiếu của N lên trục hoành Ox. Khi đó tọa độ của điểm H là H(5 + 2t; 0).

Khoảng cách từ N đến trục hoành Ox là 3 hay NH = 3.

Ta có: \(\overrightarrow {NH} = \left( {0;\, - t} \right)\) nên \(NH = \left| {\overrightarrow {NH} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - t} \right)}^2}} = \sqrt {{t^2}} = \left| t \right|\).

Do đó: |t| = 3, suy ra t = 3 hoặc t = – 3.

Với t = 3 thì N(11; 3).

Với t = – 3 thì N(– 1; – 3).

Vậy N(11; 3) hoặc N(– 1; – 3) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

* Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\, - 4} \right)\).

Do đó đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {{u_{AB}}} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{2}\left( { - 2;--\,4} \right) = \left( {1;\,2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {2;\, - 1} \right)\).

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB là 2(x – 1) – 1(y – 3) = 0 hay 2x – y + 1 = 0.

* Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {6;\, - 2} \right)\).

Do đó đường thẳng BC nhận \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {6;--\,2} \right) = \left( {3;\, - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng BC có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1;\,\,\,3} \right)\).

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là 1(x + 1) + 3(y + 1) = 0 hay x + 3y + 4 = 0.

* Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {4;\, - 6} \right)\).

Do đó đường thẳng AC nhận \(\overrightarrow {{u_{AC}}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {4;--\,6} \right) = \left( {2;\, - 3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng AC có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {3;\,\,2} \right)\).

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AC là 3(x – 1) + 2(y – 3) = 0 hay 2x + 2y – 9 = 0.

Hướng dẫn giải:

Gọi N là trung điểm của AB, áp dụng công thức tọa độ trung điểm, suy ra tọa độ của điểm N là \({x_N} = \frac{{1 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 0;\,{y_N} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\) hay N(0; 1).

Đường trung trực cạnh AB vuông góc với AB nên nhận \(\overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {1;\,2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Do đó đường trung trực cạnh AB đi qua điểm N(0; 1) và có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,\,2} \right).\)

Vậy phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh AB là 1(x – 0) + 2(y – 1) = 0 hay x + 2y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

* Đường cao AH của tam giác ABC vuông góc với cạnh BC.

Do đó đường cao AH đi qua điểm A(1; 3) và nhận \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( {3;\, - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường cao AH là 3(x – 1) – 1(y – 3) = 0 hay 3x – y = 0.

* AM là trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Suy ra tọa độ của điểm M là \({x_M} = \frac{{\left( { - 1} \right) + 5}}{2} = 2;\,{y_M} = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right)}}{2} = - 2\) hay M(2; – 2).

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {1;\, - 5} \right)\).

Đường trung tuyến AM có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AM} = \left( {1;\, - 5} \right)\), do đó nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AM}}} = \left( {5;\,\,1} \right)\).

Đường trung tuyến AM đi qua A(1; 3) và nhận \(\overrightarrow {{n_{AM}}} = \left( {5;\,\,1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM là 5(x – 1) + 1(y – 3) = 0 hay 5x + y – 8 = 0.

Hướng dẫn giải

Quan sát Hình 38, ta thấy đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm A(0; 1,5) và B(7; 5).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {7;\,\,3,5} \right)\).

Do đó, đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \frac{2}{7}\overrightarrow {AB} = \frac{2}{7}\left( {7;\,3,5} \right) = \left( {2;\,\,\,1} \right)\).

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 2t\\y = 5 + t\end{array} \right.\) (t là tham số).

Hướng dẫn giải:

Giao điểm của đường thẳng ∆ với trục tung là điểm A(0; 1,5).

Giao điểm của đường thẳng Δ với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa là: khoản phí tham gia ban đầu mà người tập phải trả là 1,5 triệu đồng.

Hướng dẫn giải:

Người đó tham gia phòng tập thể dục với thời gian là 12 tháng hay chính là x = 12, khi đó, tổng chi phí cần tìm chính là giá trị y tương ứng với x = 12.

Thay x = 12 vào phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}12 = 7 + 2t\\y = 5 + t\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{5}{2}\\y = 5 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{5}{2}\\y = 5 + \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{5}{2}\\y = \frac{{15}}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra với x = 12 (tháng) thì y = \(\frac{{15}}{2} = 7,5\) (triệu đồng).

Vậy tổng chi phí mà người đo phải trả khi tham gia phòng tập thể dục với thời gian 12 tháng là 7,5 triệu đồng.