Giải SBT Toán 10 CD Bài 3: Phương trình đường thẳng có đáp án

Đưởng thẳng ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left(a;b\right)$ .

Do đó $∆$  có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left(2;-3\right)$ .

Vậy chọn đáp án A.

Hệ số của tham số lần lượt là tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Do đó đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{c}x=3-t\\ y=4+2t\end{array}\right.$  có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u}=\left(-1;2\right)$ .

Vậy chọn đáp án C.

+) Thay tọa độ (-3; -2) vào phương trình tham số của đường thẳng ta có:

$\left\{\begin{array}{c}-3=2-5t\\ -2=-1+3t\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{-1}{3}\end{array}\right.$ (vô lý).

Do đó điểm (-3; -2) không thuộc đường thẳng ∆.

+) Thay tọa độ (2; - 1) vào phương trình tham số của đường thẳng ta có:

$\left\{\begin{array}{c}2=2-5t\\ -1=-1+3t\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=0\\ t=0\end{array}\right.\iff t=0$.

Do đó điểm (2; - 1) không thuộc đường thẳng ∆.

+) Thay tọa độ (- 2; 1) vào phương trình tham số của đường thẳng ta có:

$\left\{\begin{array}{c}-2=2-5t\\ 1=-1+3t\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{4}{5}\\ t=\frac{2}{3}\end{array}\right.$ (vô lý).

Do đó điểm (-2; 1) không thuộc đường thẳng ∆.

+) Thay tọa độ (- 5; 3) vào phương trình tham số của đường thẳng ta có:

$\left\{\begin{array}{c}-5=2-5t\\ 3=-1+3t\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{7}{5}\\ t=\frac{4}{3}\end{array}\right.$ (vô lý).

Do đó điểm (-5; 3) không thuộc đường thẳng ∆.

Vậy đáp án đúng là B.

Đường thẳng ∆: x – 3y + 4 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-3\right)$ .

Do đó ∆ có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u}=\left(3;1\right)$ .

Chọn M(-1; 1) thuộc đường thẳng ∆

Suy ra phương trình tham số của ∆ là:$\left\{\begin{array}{c}x=-1+3t\\ y=1+t\end{array}\right.$ .

Vậy chọn đáp án B.

Đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{c}x=-2+2t\\ y=3-5t\end{array}\right.$  có vectơ chỉ phương là  và đi qua điểm A(-2; 3).

Do đó ∆ có vectơ pháp tuyến là:  $\overrightarrow{n}=\left(5;2\right)$

Phương trình tổng quát của ∆ là: 5(x + 2) + 2(y – 3) = 0 hay 5x + 2y + 4 = 0.

Vậy chọn đáp án D.

a) Xét tam giác ABC có: M, N là trung điểm của BC, AC.

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra MN song song với AB.

Tương tự ta có MP song song với AC, NP song song với BC.

MN song song với AB nên $\overrightarrow{MN}=\left(4;3\right)$  là vectơ chỉ phương của AB

Mà P(5; 6) thuộc AB nên phương trình tham số của AB là: $\left\{\begin{array}{l}x=5+4t_1\\ y=6+3t_1\end{array}\right.$ .

Ta có: $\overrightarrow{NP}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)$  là vectơ chỉ phương của BC và điểm M(– 1; 1) thuộc AB nên phương trình tham số của BC: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t_2\\ y=1+t_2\end{array}\right.$ .

Ta có: $\overrightarrow{MP}=\left(6;5\right)$  là vectơ chỉ phương của AC và điểm N(3; 4) thuộc AB nên phương trình tham số của AC: $\left\{\begin{array}{l}x=3+6t_3\\ y=4+5t_3\end{array}\right.$ .

b) Gọi  là đường trung trực của AB, BC, AC.

Do MN song song với AB nên $\overrightarrow{MN}$ = (4; 3) là vectơ pháp tuyến của d₁. Đường thẳng d₁ đi qua P(5; 6) nên d₁ có phương trình tổng quát là:

4(x – 5) + 3(y – 6) = 0 hay 4x + 3y – 38 = 0.

Do NP song song với BC nên $\overrightarrow{NP}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)$ là vectơ pháp tuyến của d₂. Đường thẳng d₂ đi qua M(– 1; 1) nên d₂ có phương trình tổng quát là:

1(x + 1) + 1(y – 1) = 0 hay x + y = 0.

Do NP song song với BC nên $\overrightarrow{MP}=\left(6;5\right)$ là vectơ pháp tuyến của d₂. Đường thẳng d₂ đi qua N(3; 4) nên d₂ có phương trình tổng quát là:

6(x – 3) + 5(y – 4) = 0 hay 6x + 5y – 38 = 0.

Gọi các đường cao của tam giác ABC lần lượt là AD, BE, CF.

Đường thẳng AD vuông góc BC nên AD có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{BC}=\left(8;-1\right)$ .

Và AD đi qua A(3; 7) nên phương trình tổng quát của đường thẳng AD là:

8(x – 3) – (y – 7) = 0 hay 8x – y – 17 = 0.

Đường thẳng BE vuông góc AC nên BE có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AC}=\left(3;-6\right)=3\left(1;-2\right)$ .

Và BE đi qua B( – 2; 2) nên phương trình tổng quát của đường thẳng BE là:

(x + 2) – 2(y – 2) = 0 hay x – 2y + 6 = 0.

Đường thẳng CF vuông góc AB nên CF có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB}=\left(-5;-5\right)=-5\left(1;1\right)$ .

Và CF đi qua C(6; 1) nên phương trình tổng quát của đường thẳng CF là:

(x – 6) + (y – 1) = 0 hay x + y – 7 = 0.

a) Do M nằm trên ∆ nên M(4 + t; -1 + 2t).

Suy ra  $\overrightarrow{AM}=\left(4+t-2;-1+2t-1\right)=\left(2+t;-2+2t\right)$

Mà   $AM=\sqrt{17}$ $\iff \sqrt{{\left(2+t\right)}^2+{\left(-2+2t\right)}^2}=\sqrt{17}$

$\iff 5t^2-4t-9=0$   $\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{9}{5}\\ t=-1\end{array}\right.$

Vậy M$\left(\frac{29}{5};\frac{13}{5}\right)$  hoặc $M\left(3;-3\right)$ .

b) Do N nằm trên ∆ nên N(4 + m; -1 + 2m).

Suy ra $\overrightarrow{AN}=\left(4+m-2;-1+2m-1\right)=\left(2+m;-2+2m\right)$

AN ngắn nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của A lên ∆.

Khi đó $\overrightarrow{AN}$  vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆:  $\overrightarrow{u}=\left(1;2\right)$

Hay (2 + m). 1 + (-2 + 2m). 2 = 0

$\iff m=\frac{2}{5}$ 

Suy ra $N\left(\frac{22}{5};\frac{-1}{5}\right)$  .

Vậy $N\left(\frac{22}{5};\frac{-1}{5}\right)$  .

a) Do M thuộc đường thẳng ∆ nên M(t; 4 – 2t).

Suy ra $\overrightarrow{AM}=\left(t+2;2-2t\right)$  và $\overrightarrow{BM}=\left(t-7;-1-2t\right)$ .

Do M cách đều 2 điểm A, B nên MA = MB.

Hay  $\left|\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{BM}\right|$

$\iff \sqrt{{\left(t+2\right)}^2+{\left(2-2t\right)}^2}=\sqrt{{\left(t-7\right)}^2+{\left(-1-2t\right)}^2}$

⇔ 5t2 – 4t + 8 = 5t2 – 10t + 50

⇔ 6t = 42

⇔ t = 7

Vậy M(7; -10).

b) Do N thuộc đường thẳng ∆ nên N(m; 4 – 2m).

Suy ra $\overrightarrow{NA}=\left(-2-m;2m-2\right)$ , $\overrightarrow{NB}=\left(7-m;2m+1\right)$  và  $\overrightarrow{NC}=\left(4-m;2m-9\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\left(9-3m;6m-10\right)$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\right|=\sqrt{{\left(9-3m\right)}^2+{\left(6m-10\right)}^2}$

Gọi  $A={\left(9-3m\right)}^2+{\left(6m-10\right)}^2$

$A=45m^2-174m+181=45{\left(m-\frac{29}{15}\right)}^2+\frac{64}{5}\ge \frac{64}{5}$

Suy ra GTNN của $\left|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\right|$ là $\frac{8}{\sqrt{5}}$  đạt được khi  $m=\frac{29}{15}$

Hay $N\left(\frac{29}{15};\frac{2}{15}\right)$  .