20 câu trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 3. Phương trình đường thẳn (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Trục \(Oy\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {0;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên đường thẳng song song với trục \(Oy\) cũng nhận \(\overrightarrow u = \left( {0;1} \right)\)làm vectơ chỉ phương. Chọn D.

a) Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta thấy không thỏa mãn.

Do đó \(M\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \).

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\).

c) Đường thẳng song song với \(\Delta \) có dạng \(x - 3y + c = 0\) \(\left( d \right)\).

Lại có \(\left( d \right)\) đi qua \(M\) nên \[1 - 3 \cdot \left( { - 1} \right) + c = 0 \Rightarrow c = - 4\].

Vậy \(\left( d \right):x - 3y - 4 = 0\) hay \( - x + 3y + 4 = 0\).

d) Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;    c) Đúng;   d) Sai.

a) Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 6} \right)\).

b) Có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;4} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\). Suy ra đường thẳng \(BC\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {4;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

c) Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {4;3} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 6} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t\\y = 3 - 6t\end{array} \right.\).

d) \(M\left( {\frac{3}{2}; - 1} \right)\) là trung điểm của \(BC\).

Có \(\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{5}{2}; - 4} \right) = \frac{1}{2}\left( { - 5; - 8} \right)\).

Do đó đường trung tuyến \(AM\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 5; - 8} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;    c) Sai;   d) Sai.

a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {5; - 2} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;5} \right)\).

Đường thẳng đi qua \(M\left( {0; - 3} \right)\) song song với \(d\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;5} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 3 + 5t\end{array} \right.\).

b) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {5; - 2} \right)\).

c) Đường thẳng đi qua \(M\left( {1;1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 5y - 7 = 0\).

d) Cho \(x = 0\) thì \( - 2y + 2024 = 0 \Leftrightarrow y = 1012\).

Vậy đường thẳng \(d\)cắt trục \(Oy\) tại điểm có tung độ bằng 1012.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;    c) Sai;   d) Đúng.

a) Đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {5; - 12} \right)\).

b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {0;3} \right)\) vào phương trình đường thẳng \({d_2}\) ta thấy không thỏa mãn.

Vậy đường thẳng \({d_2}\) không đi qua điểm \(A\left( {0;3} \right)\).

c) Đường thẳng \(\Delta //{d_2}\) có dạng \(x + 2y + c = 0\).

Mà \(\Delta \) đi qua \(I\left( {2;1} \right)\) nên \(2 + 2 \cdot 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 4\).

Vậy \(x + 2y - 4 = 0\).

d) \(M \in {d_2}\) nên \(M\left( {3 - 2b;b} \right)\).

Khi đó \(I{M^2} = {\left( {1 - 2b} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow 5{b^2} - 6b + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).

Vì \(b \ge 1\) nên \(b = 1 \Rightarrow M\left( {1;1} \right)\). Khi đó \(a + b = 2\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;    c) Đúng;   d) Sai.

a) Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(A\left( { - 4;2} \right)\).

b) Đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {5; - 2} \right)\) nên \(\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\).

c) Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(A\left( { - 4;2} \right)\) và có \(\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)\) là một vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \(2\left( {x + 4} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 5y - 2 = 0\).

d) Đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \(\left( {1;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'} = \left( {3; - 7} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( {7;3} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 3t\end{array} \right.\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;    c) Sai;   d) Đúng.

Vì \(P \in \Delta \) nên \(P\left( {a;a + 2} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {PM} = \left( {1 - a; - a - 2} \right);\overrightarrow {PN} = \left( { - 1 - a;1 - a} \right)\).

Do tam giác \(MNP\) vuông tại \(P\) nên \(\overrightarrow {PM} \cdot \overrightarrow {PN} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {1 - a} \right)\left( { - 1 - a} \right) + \left( { - a - 2} \right)\left( {1 - a} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 1 + {a^2} + a - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 2{a^2} + a - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

Vì \(a \in \mathbb{Z}\) nên \(a = 1 \Rightarrow b = 3\).

Vậy \(T = 2a + 3b = 11\).

Tọa độ điểm \(A\left( { - 2;0} \right),B\left( {0;6} \right)\).

Tọa độ trung điểm \(I\) của \(AB\) là \(I\left( { - 1;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;6} \right) = 2\left( {1;3} \right) = 2\overrightarrow n \).

Đường thẳng trung trưc \(\Delta \) của đoạn thẳng \(AB\) đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(1\left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 8 = 0\).

Suy ra \(a = 1;b = 3\). Vậy \(a + b = 4\).

Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\).

Ta có \(AH \bot BC\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(BC\).

Suy ra \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(BC\).

Lại có \(AH \bot BC\) nên \(AH\) nhận \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó đường thẳng \(AH\) có phương trình là \( - \left( {x + 1} \right) + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + y + 1 = 0\).

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - x + y + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AH\) nên \(I\left( { - \frac{5}{4}; - \frac{9}{4}} \right)\).

Đường trung bình D ứng với cạnh đáy \(BC\) có dạng \(x + y + c = 0\).

Lại có \(\Delta \) đi qua \(I\) nên \( - \frac{5}{4} - \frac{9}{4} + c = 0 \Rightarrow c = \frac{7}{2}\).

Vậy \(\Delta :x + y + \frac{7}{2} = 0\) hay \(\Delta :2x + 2y + 7 = 0\)

Dễ thấy \(A,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d\).

Khi đó \(AM + MB \ge AB\).

Do đó đường đi ngắn nhất khi 3 điểm \(A,B,M\) thẳng hàng.

Suy ra \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương.

Ta có \(M \in d \Rightarrow M\left( {t; - 5 - 2t} \right)\), \(\overrightarrow {AM} = \left( {t - 1; - 2t - 2} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;5} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương nên \(\frac{{t - 1}}{{ - 5}} = \frac{{ - 2t - 2}}{5}\)\( \Leftrightarrow 5\left( {t - 1} \right) - \left( { - 2t - 2} \right) \cdot \left( { - 5} \right) = 0 \Rightarrow t = - 3\)\( \Rightarrow M\left( { - 3;1} \right)\).

Do đó \(a + b = - 2\).

Vì \(d//\Delta \) nên \(d:2x - y + c = 0,c \ne 1\).

Vì \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\) nên \(2 \cdot 1 - \left( { - 2} \right) + c = 0 \Rightarrow c = - 4\).

Vậy \(d:2x - y - 4 = 0\). Suy ra \(b = - 1;c = - 4\).

Vậy \(T = 2b + c = - 6\).