10 Bài tập Lập phương trình chính tắc của hypebol (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử hypebol (H) có phương trình là: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,a,b>0.$

(H) có tiêu điểm $F_1\left(-\sqrt{5};0\right)$ suy ra $c=\sqrt{5}$ nên c² = 5.

Độ dài trục ảo 2b = 4 suy ra b = 2 nên b² = 4.

Ta có c² = a² + b² nên a² = c² – b² = 5 – 4 = 1.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{4}=1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Do (H) đi qua điểm A₁(–7; 0) nên $\frac{{\left(-7\right)}^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$ do đó a² = 49.

Theo bài, $\frac{a^2+b^2}{a^2}=2.$ Hay $\frac{c^2}{a^2}=2.$ Do đó c² = 98.

Ta có c² = a² + b² nên b² = c² – a² = 98 – 49 = 49.

Phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{49}=1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử hypebol có phương trình là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,a,b>0.$

Giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 6 nên 2a = 6, suy ra a = 3.

Hypebol có tiêu cự bằng 8 suy ra 2c = 8, tức là c = 4.

Ta có c² = a² + b² nên b² = c² – a² = 4² – 3² = 7.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử hypebol có phương trình là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,a,b>0.$

Hai điểm $A\left(4\sqrt{2};2\right),B\left(-6;-\sqrt{5}\right)$ thuộc vào hypebol nên ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{32}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1\\ \frac{36}{a^2}-\frac{5}{b^2}=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a^2}=\frac{1}{16}\\ \frac{1}{b^2}=\frac{1}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=16\\ b^2=4\end{array}\right.$.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình chính tắc của hypebol (H): $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,a,b>0.$ 

(H) có một tiêu điểm là $\left(\sqrt{34};0\right)$ suy ra $c=\sqrt{34}$ nên c² = 34.

Độ dài trục thực là 2a = 10 nên a = 5, do đó a² = 25.

Ta có c² = a² + b² nên b² = c² – a² = 34 – 25 = 9.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là: $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình chính tắc của hypebol (H): $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,a,b>0.$ 

(H) có một tiêu điểm là (5; 0) nên c = 5 suy ra c² = 25.

Độ dài trục ảo là 2b = 6 nên b = 3. Do đó b² = 9.

Ta có c² = a² + b² nên a² = c² – b² = 25 – 9 = 16.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là: $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $c=\sqrt{a^2+b^2}=O{F}_1=O{F}_2$ và $MO=\sqrt{{\left(\frac{4\sqrt{34}}{5}\right)}^2+{\left(\frac{9}{5}\right)}^2}=5$.

Mà tam giác MF₁F₂ vuông tại M có đường trung tuyến MO ứng với cạnh huyền F₁F₂ nên $MO=\frac{1}{2}{F}_1{F}_2$

Suy ra F₁F₂ = 2OM = 10.

Mà F₁F₂ = 2c nên 2c = 10 do đó c = 5.

Ta có c² = a² + b² nên a² + b² = 25 nên b² = 25 – a².

Vì (H) đi qua điểm $M\left(\frac{4\sqrt{34}}{5};\frac{9}{5}\right)$ nên ta có $\frac{{\left(\frac{4\sqrt{34}}{5}\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(\frac{9}{5}\right)}^2}{b^2}=1$ hay $\frac{544}{25a^2}-\frac{81}{25b^2}=1$

Do đó $\frac{544}{a^2}-\frac{81}{b^2}=25$ (*)

Thay b² = 25 – a² vào (*) ta được:

$\frac{544}{a^2}-\frac{81}{25-a^2}=25\iff 544\left(25-a^2\right)-81a^2=25a^2\left(25-a^2\right)$

⇔ 13 600 – 544a² – 81a² = 625a² – 25a⁴

⇔ 25a⁴ – 1 250a² + 13 600 = 0

⇔ a² = 34 hoặc a² = 16

Với a² = 34 ta có b² = 25 – a² = 25 – 34 = –9 (loại).

Với a² = 16 ta có b² = 25 – a² = 25 – 16 = 9. Do đó b = 3 (do b > 0).

Khi a² = 16 thì a = 4 (do a > 0).

Vậy a.b = 12.