20 câu trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 6. Ba đường conic (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{5} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1\) là
\({F_1}\left( { - 3;0} \right),{F_2}\left( {3;0} \right)\).
\({F_1}\left( { - 7;0} \right),{F_2}\left( {7;0} \right)\).
\({F_1}\left( { - \sqrt 7 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).
\({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\).
\({F_1}\left( { - \sqrt 7 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 7 ;0} \right)\) là hai tiêu điểm của hypebol. Chọn C.
Các tiêu điểm của Elip \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) là
\({F_1}\left( {3;0} \right),{F_2}\left( {0; - 3} \right)\).
\({F_1}\left( {\sqrt 8 ;0} \right),{F_2}\left( {0; - \sqrt 8 } \right)\).
\({F_1}\left( { - 3;0} \right),{F_2}\left( {0; - 3} \right)\).
\({F_1}\left( { - \sqrt 8 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 8 ;0} \right)\).
\({F_1}\left( { - \sqrt 8 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 8 ;0} \right)\) là các tiêu điểm của elip. Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm tiêu cự của \(\left( E \right)\).
\({F_1}{F_2} = 12\).
\({F_1}{F_2} = 8\).
\({F_1}{F_2} = 2\sqrt 5 \).
\({F_1}{F_2} = 4\sqrt 5 \).
\({F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {36 - 16} = 4\sqrt 5 \). Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình chính tắc là \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\). Biết \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {4;0} \right)\). Giá trị của \(p\) bằng
\(4\).
\(2\).
\(16\).
\(8\).
Ta có \(\frac{p}{2} = 4 \Rightarrow p = 8\). Chọn D.
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?
\(\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) là phương trình chính tắc của elip. Chọn B.
Viết phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right)\), biết \(\left( H \right)\) đi qua các điểm \(M\left( {4;\sqrt 8 } \right)\) và \(N\left( {2\sqrt 3 ;2} \right)\)
\({x^2} - {y^2} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{8} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\).
Gọi \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\left( {a > 0,b > 0} \right)\).
Vì \(\left( H \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {4;\sqrt 8 } \right)\) và \(N\left( {2\sqrt 3 ;2} \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{4^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{\left( {\sqrt 8 } \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\\\frac{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{2^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{8}\\\frac{1}{{{b^2}}} = \frac{1}{8}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 8\\{b^2} = 8\end{array} \right.\). Vậy \(\frac{{{x^2}}}{8} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\). Chọn B.
Phương trình chính tắc của elip có tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì đến hai tiêu điểm bằng 10 và có tiêu cự bằng \(2\sqrt 5 \) là
\(\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{{2\sqrt 5 }} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\).
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10\\{F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt 5 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 5 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\{b^2} = 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 20\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho Hypebol \(\left( H \right)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{6} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\). Trên \(\left( H \right)\) lấy điểm \(M\) bất kì ta có \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right|\) bằng
\(\sqrt 6 \).
\(6\).
\(2\sqrt 6 \).
\(12\).
\(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a = 2\sqrt 6 \). Chọn C.
Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 6x\). Đường chuẩn của parabol \(\left( P \right)\) là
\(x = - \frac{2}{3}\).
\(x = - \frac{1}{3}\).
\(x = - \frac{3}{2}\).
\(x = \frac{2}{3}\).
\(x = - \frac{3}{2}\) là phương trình đường chuẩn của parabol. Chọn C.
Cho Parabol \(\left( P \right):{y^2} = 8x\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
\(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( { - 2;0} \right)\).
\(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {2;0} \right)\).
\(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {0;2} \right)\).
\(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {0; - 2} \right)\).
\(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {2;0} \right)\). Chọn B.
Cho elip \(\left( E \right)\) có một tiêu điểm \(F\left( {5;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {0;3} \right)\).
Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{34}} = 1\).
\(\left( E \right)\) cắt trục hoành tại điểm \(A,B\) có \(AB = 2\sqrt {34} \).
Tiêu cự \({F_1}{F_2} = 10\).
Đường thẳng \(d:2x - y = 0\) cắt \(\left( E \right)\) tại hai điểm \(M,N\) có \(MN = 7\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
a) Gọi \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).
Vì \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(M\) nên \(\frac{9}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = 9\).
Mà \(\left( E \right)\) có một tiêu điểm \(F\left( {5;0} \right)\) nên \(\sqrt {{a^2} - {b^2}} = 5 \Rightarrow {a^2} = 34\).
Vậy \[\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\].
b) Cho \(y = 0 \Rightarrow {x^2} = 34 \Rightarrow x = \pm \sqrt {34} \).
Do đó \(A\left( { - \sqrt {34} ;0} \right),B\left( {\sqrt {34} ;0} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt {34} \).
c) Ta có \(c = 5 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 10\).
d) Tọa độ điểm \(M,N\)là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\2x - y = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{4{x^2}}}{9} = 1\\y = 2x\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{306}}{{145}}\\y = 2x\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \sqrt {\frac{{306}}{{145}}} \\y = 2x\end{array} \right.\].
Suy ra \(M\left( { - \sqrt {\frac{{306}}{{145}}} ; - 2\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} } \right);N\left( {\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} ;2\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} } \right)\).
Khi đó \(MN = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} } \right)}^2} + {{\left( {4\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} } \right)}^2}} \approx 6\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho Parabol \(\left( P \right)\) có phương trình dạng chính tắc. Biết \(\left( P \right)\) qua \(A\left( {1;1} \right)\)
Phương trình chính tắc của \(\left( P \right)\) là \({y^2} = x\).
Tiêu điểm của \(\left( P \right)\) là \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).
Đường chuẩn của \(\left( P \right)\) là \(\Delta :x + \frac{1}{4} = 0\).
Một điểm \(M\) nằm trên \(\left( P \right)\) có tung độ \(y = - 2\) thì \(MF = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
a) Gọi \(\left( P \right):{y^2} = 2px\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) nên \(1 = 2p \cdot 1 \Leftrightarrow p = \frac{1}{2}\).
Vậy \({y^2} = x\).
b) Tiêu điểm của \(\left( P \right)\) là \(F\left( {\frac{1}{4};0} \right)\).
c) Đường chuẩn của \(\left( P \right)\) là \(\Delta :x + \frac{1}{4} = 0\).
d) Có \({\left( { - 2} \right)^2} = x \Rightarrow x = 4\).
Vậy \(M\left( {4; - 2} \right)\). Khi đó \(MF = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{4} - 4} \right)}^2} + {{\left( {0 + 2} \right)}^2}} = \frac{{17}}{4}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Có \({a^2} = 25;{b^2} = 9\).
Elip có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right);{F_2}\left( {3;0} \right)\).
Elip cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là \({A_1}\left( { - 6;0} \right);{A_2}\left( {6;0} \right)\).
Elip cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm tạo thành hình thoi có diện tích bằng 15.
a) \({a^2} = 25;{b^2} = 9\).
b) \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4\).
Vậy elip có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 4;0} \right);{F_2}\left( {4;0} \right)\).
c) Cho \(y = 0 \Rightarrow {x^2} = 25 \Rightarrow x = \pm 5\).
Vậy elip cắt cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là \({A_1}\left( { - 5;0} \right);{A_2}\left( {5;0} \right)\).
d) Cho \(x = 0 \Rightarrow {y^2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3\).
Vậy elip cắt trục tung tại 2 điểm có tọa độ là \({B_1}\left( {0; - 3} \right);{B_2}\left( {0;3} \right)\).
Khi đó diện tích hình thoi \({A_1}{B_1}{A_2}{B_2}\) là \(S = {A_1}{A_2} \cdot {B_1}{B_2} = 60\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\).
Tọa độ một tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \(\left( {5;0} \right)\).
Elip \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\).
Elip \(\left( E \right)\) có tiêu cự bằng 10.
Với điểm \(M\) bất kì thuộc elip \(\left( E \right)\), khi đó tổng khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) bằng 26.
a) Tọa độ một tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \(\left( {5;0} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\) vào phương trình \(\left( E \right)\) ta thấy không thỏa mãn.
Vậy Elip \(\left( E \right)\)không đi qua điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\).
c) Ta có \(c = \sqrt {169 - 144} = 5\). Suy ra \({F_1}{F_2} = 2c = 10\).
d) \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 13 = 26\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hypebol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Có \(a = 2;b = 3\).
Hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt {13} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {13} ;0} \right)\).
Điểm \(M\left( {5;{y_M}} \right)\) với \({y_M} > 0\) nằm trên hypebol có tung độ \({y_M} = \frac{{2\sqrt {21} }}{3}\).
Đường thẳng \(y = 3\) cắt hypebol tại hai điểm \(A,B\). Diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(3\sqrt 2 \).
a) Có \(a = 2;b = 3\).
b) \({F_1}\left( { - \sqrt {13} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {13} ;0} \right)\) là hai tiêu điểm của hypebol.
c) \(M\left( {5;{y_M}} \right)\) thuộc hypebol nên \(\frac{{{5^2}}}{4} - \frac{{{y_M}^2}}{9} = 1 \Rightarrow y_M^2 = \frac{{189}}{4} \Rightarrow {y_M} = \frac{{3\sqrt {21} }}{2}\) (vì \({y_M} > 0\)).
d) Tọa độ điểm A, B là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 2\sqrt 2 \\y = 3\end{array} \right.\).
Suy ra \(AB = 4\sqrt 2 \).
Khi đó \({S_{AOB}} = \frac{1}{2}d\left( {O,y = 3} \right) \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4\sqrt 2 = 6\sqrt 2 \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Tọa độ điểm \(M,N\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 4x\\x - 2y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 8y\\x = 2y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 8\end{array} \right.\).
Suy ra \(M\left( {0;0} \right),N\left( {16;8} \right)\). Do đó \(M{N^2} = {16^2} + {8^2} = 320\).
Theo đề bài con tàu nhận được tín hiệu từ \(B\) sớm hơn từ \(A\) 500 micro giấy.
Vì âm thanh di chuyển với tốc độ 300 mét/micro giây nên hiệu số khoảng cách từ con tàu tới \(A\) và \(B\) là \(500 \cdot 300 = 150000 = 150\;{\rm{km}}\).
Hiệu khoảng cách này là \(2a = 150 \Rightarrow a = 75\).
Con tàu nằm trên một nhánh của hypebol, với hai tháp vô tuyến \(A\) và \(B\) là hai tiêu điểm, \(A\) và \(B\) cách nhau 200 km, nghĩa là \(2c = 200 \Rightarrow c = 100\).
Theo tính chất của hypebol ta có \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = \sqrt {{{100}^2} - {{75}^2}} = \sqrt {4375} \).
Phương trình chính tắc của hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{5625}} - \frac{{{y^2}}}{{4375}} = 1\).
Vì con tàu nằm ở phía Bắc của tháp \(B\), nghĩa là có hoành độ \(x = c = 100\).
Thay \(x = 100\) vào phương trình ta có \(y \approx 58,3\).
Vậy tàu cách bờ biển 58,3 km.
Cho \(\left( P \right):{y^2} = 4x\). Một điểm \(A \in \left( P \right)\). Nếu khoảng cách từ \(A\) đến đường chuẩn bằng 5 thì khoảng cách từ \(A\) đến trục hoành bằng bao nhiêu?
Ta có \(A \in \left( P \right) \Rightarrow A\left( {{m^2};2m} \right)\), đường chuẩn \(\Delta :x = - 1\).
Khoảng cách từ \(A\) đến đường chuẩn \(d\left( {A,\Delta } \right) = \left| {{m^2} + 1} \right| = 5 \Rightarrow {m^2} = 4\).
Khoảng cách từ \(A\) đến trục hoành bằng \(\left| {2m} \right| = 4\).
Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Cho \(M\) là điểm thuộc \(\left( E \right)\) thỏa mãn \(M{F_1} + 2M{F_2} = 11\). Tính \(5M{F_1} + M{F_2}\).Vì \(M \in \left( E \right)\)nên \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 4 = 8\) mà \(M{F_1} + 2M{F_2} = 11\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = 5\\M{F_2} = 3\end{array} \right.\).
Do đó \(5M{F_1} + M{F_2} = 28\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hypebol \(\left( H \right)\) có phương trình \({x^2} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Điểm \(M\left( {a;b} \right),\left( {a > 0,b > 0} \right)\) thuộc \(\left( H \right)\) thỏa mãn \(OM = \sqrt {11} \). Giá trị của \(b\) bằng bao nhiêu?
Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - \frac{{{b^2}}}{9} = 1\\{a^2} + {b^2} = 11\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 2\\{b^2} = 9\end{array} \right.\). Suy ra \(b = 3\) vì \(b > 0\).
