10 Bài tập Giải quyết một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số nhân (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội: 

$q=\frac{1}{2}$ và $u_1=\frac{12288}{2}=6144$ .

Khi đó diện tích mặt trên cùng là: $u_{11}=u_1\cdot q^{10}=\frac{6144}{2^{10}}=6$

Đáp án đúng là: B

Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là:

M₁ = 100 + 100.10% = 110.

Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là:

M₂ = 110 + 110.10% = 121.

Đáp án đúng là: D

Số tiền ban đầu là M₀ = 10⁸ (đồng)

Đặt r = 0,7% = 0,007

Số tiền sau tháng thứ nhất là: $M_1=M_0+M_{0}r=M_0(1+r)$ (đồng)

Số tiền sau tháng thứ hai là: $M_2=M_1+M_{1}r=M_0{(1+r)}^2$ (đồng)

Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là: M₆ = M₀(+ r)⁶  (đồng)

Do đó  $M_6=M_0{(1+r)}^6;M_6={10}^8{(1,007)}^6$.

Vậy sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về 10⁸.(1,007)⁶ (đồng).

Đáp án đúng là: C

Đặt P₀ = 2 000 000 = 2 . 10⁶ và r = 1,2% = 0,012.

Gọi P_n là số dân của tỉnh M sau n năm nữa.

Ta có:  $P_{n+1}=P_n+P_{n}r=P_n(1+r)$ .

Suy ra (P_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu P₀ và công bội q = 1+ r.

Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là:

$P_9=M_0{\left(1+r\right)}^9=2\cdot {10}^6\cdot {\left(1,012\right)}^{10}\approx 2227000$.

Đáp án đúng là: C

Lúc đầu có 10²² tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u₁ = 10²² và công bội q = 2.

Do cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 3 giờ sẽ có 9 lần phân chia tế bào.

Ta có u₁₀ là số tế bào nhận được sau 3 giờ.

Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là: $u_{10}=u_1{q}^9=512\cdot {10}^{12}.$

Đáp án đúng là: C

• Số lá sen ngày đầu là 1 = 3⁰;

• Số lá sen ngày thứ 2 là 1.3 = 3¹;

• Số lá sen ngày thứ ba là 3.3 = 3²;

...

• Số lá sen ngày thứ 10 là 3⁹.

Như vậy để hồ đầy lá sen thì cần 3⁹ lá.

+ Nếu ngày đầu có u₁ = 9 lá thì ngày thứ 2 có : 9.3 = 27 lá; ngày thứ 3 có: 27.3 = 81 lá...

Do đó; số lá sen mỗi ngày có trong hồ là 1 cấp số nhân với u₁ = 9; q = 3.

Số hạng thứ n là \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}} = {{\rm{u}}_1} \cdot {{\rm{q}}^{{\rm{n}} - 1}} = 9 \cdot {3^{{\rm{n}} - 1}}.\]

Để hồ đầy lá sen thì cần 3⁹ lá

\[ \Rightarrow {9.3^{{\rm{n}} - 1}} = {3^{10}} \Rightarrow {\rm{n}} + 1 = 9 \Rightarrow {\rm{n}} = 8\].

Vậy đến ngày thứ 8 thì hồ sẽ đầy lá.

Đáp án đúng là: A

Ta có chu vi đường tròn có bán kính r là: P = 2πr.

Do chu vi đường tròn (O; r₂) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r₁)

\[ \Rightarrow 2\pi {r_2} = 2.2\pi {r_1} \Leftrightarrow {{\rm{r}}_2} = 2{{\rm{r}}_1}.\]

…

Do chu vi đường tròn ( O; r_n) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r_{n – 1}) nên:

\[2\pi {r_n} = 2.2\pi {r_{n - 1}} \Leftrightarrow {{\rm{r}}_{\rm{n}}} = 2{{\rm{r}}_{{\rm{n}} - 1}}.\]

Þ Dãy số r₁; r₂; r₃....; r_n là cấp số nhân có u₁ = r₁ = 2 và công bội q = 2.

\[ \Rightarrow {{\rm{r}}_{\rm{n}}} = {{\rm{r}}_1} \cdot {2^{{\rm{n}} - 1}} = 2.256 = 512\]

\[ \Rightarrow {r_{n - 1}} = {r_n}:2 = 256\].

Đáp án đúng là: C

Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có u₁ = 20 000 và công bội q = 2.

Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:

\[{S_9} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {p^9}} \right)}}{{1 - p}} = 10\,\,220\,\,000\]

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là \[{u_{10}} = {u_1} \cdot {p^9} = 10\,\,240\,\,000\].

Ta có \[{u_{10}} - {S_9} = 20\,\,000 > 0\] nên du khách thắng 20 000 đồng.

Vậy du khác trên thắng 20 000 đồng.

Đáp án đúng là: C

Đặt a = 7 000 000 đồng; \[m = 20\% \,;\,\,n = 0,3\% \,;\,\,t = 7\% .\]

Hết tháng thứ nhất, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là \[{T_1} = am{(1 + n)^1}\].

Hết tháng thứ hai, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

\[{T_2} = \left( {{T_1} + am} \right)\left( {1 + n} \right) = am{\left( {1 + n} \right)^2} + am{\left( {1 + n} \right)^1}.\]

Hết tháng thứ 36, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

\[{T_{36}} = {\mathop{\rm am}\nolimits} {\left( {1 + n} \right)^{36}} + {\mathop{\rm am}\nolimits} {\left( {1 + n} \right)^{35}} + \ldots + am\left( {1 + n} \right)\]

\[ = am \cdot \left( {1 + n} \right)\frac{{{{\left( {1 + n} \right)}^{36}} - 1}}{n}\]

Thay số ta được \[{T_{36}} \approx 53\,\,297\,\,648,73{\rm{ }}\] (đồng).

Vậy sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được (cả vốn lẫn lãi) là 53 298 000 đồng.