10 Bài tập Công bội, số hạng đầu và số hạng tổng quát của cấp số nhân (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{1}{2}{u_n}\) nên \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{2}\) không đổi

⇒ (u_n) là cấp số nhân có công bội \({\rm{q}} = \frac{1}{2}\) .

Dãy số (u_n) có số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}} = - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\).

Đáp án đúng là: A

Theo tính chất của cấp số nhân ta có :

\(u_2^2 = {u_1} \cdot {u_3}{\rm{ hay }}{4^2} = {u_1}.8\)\( \Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} = 2\) công bội \({\rm{q}} = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2.\)

Đáp án đúng là: A

Theo đầu bài ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} + {u_6} = 102}\\{{u_1} + {u_5} = 51}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^5} = 102}\\{{u_1} + {u_1} \cdot {q^4} = 51}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} \cdot \left( {q + {q^5}} \right) = 102 \,\, \left( 1 \right)}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51 \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ (1) và (2) vế chia vế ta được (u₁ ≠ 0)

\(\frac{{q + {q^5}}}{{1 + {q^4}}} = \frac{{102}}{{51}} = 2\)

\( \Leftrightarrow {\rm{q}} + {{\rm{q}}^5} = 2\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right) \Leftrightarrow {\rm{q}}\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right) - 2\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow ({\rm{q}} - 2)\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{q}} = 2\)

\( \Leftrightarrow {u_1} = \frac{{51}}{{1 + {q^4}}} = \frac{{51}}{{17}} = 3\).

Số hạng thứ 6 của cấp số nhân là : u₆ = u₁ . q₅ = 3 . 25 = 96.

Đáp án đúng là: B

Nếu ta viết thêm 4 số nữa vào giữa hai số 243 và 1 thì ta được cấp số nhân có 6 số hạng trong đó số hạng đầu tiên là: u₁ = 243 và số hạng thứ 6 là u₆ = 1 .

Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 243}\\{{u_6} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 243}\\{{u_1}{q^5} = 1}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 243}\\{{q^5} = \frac{1}{{243}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 243}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.\)

Do đó; u₂ = 81; u₃ = 27; u₄ = 9 và u₅ = 3.

Tổng bốn số cần tìm là: 81+ 27 + 9 + 3 = 120.

Đáp án đúng là: A

Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là u₁; u₂; u₃ với công bội là q.

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} = 19}\\{{u_1} \cdot {u_2} \cdot {u_3} = 216}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_1}q + {u_1} \cdot {q^2} = 19}\\{u_2^3 = {6^3}\left( {do\;{u_1} \cdot {u_3} = u_2^2} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19}\\{{u_2} = {u_1} \cdot q = 6}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19 \,\, (*)}\\{{u_1} = \frac{6}{q}}\end{array}} \right.\)

Thay \({u_1} = \frac{6}{q}\) vào (*) được:

\(\frac{6}{q} \cdot \left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19 \Rightarrow 6\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19q\)

\[ \Leftrightarrow 6{{\rm{q}}^2} - 13{\rm{q}} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = \frac{2}{3}}\\{q = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\]

•Với \[q = \frac{2}{3} \Rightarrow {u_1} = 9,{u_2} = 6,{u_3} = 4\];

•Với \[q = \frac{3}{2} \Rightarrow {u_1} = 4,{u_2} = 6,{u_3} = 9.\]

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) + {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = 11}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{82}}{{11}} + {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = 11}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = \frac{{39}}{{11}} \,\, \left( 1 \right)}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = \frac{{82}}{{11}} \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]

Từ (1) và (2) vế chia vế ta được: \[\frac{{q + {q^2} + {q^3}}}{{1 + {q^4}}} = \frac{{39}}{{82}}\]

\[ \Leftrightarrow 82\left( {{\rm{q}} + {{\rm{q}}^2} + {{\rm{q}}^3}} \right) = 39\left( {1 + {{\rm{q}}^4}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow - 39{q^4} + 82{q^3} + 82{q^2} + 82q - 39 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 3}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\].

Đáp án đúng là: B

Trước tiên; ta đi tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.

Gọi q là công bội của cấp số.

Khi đó từ giả thiết ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{u_1} + {u_5}} \right) + \left( {{u_2} + {u_3} + {u_4}} \right) = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^2} + {u_1} \cdot {q^3} = 11 - \frac{{82}}{{11}} = \frac{{39}}{{11}}\\{u_1} + {u_1} \cdot {q^4} = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = \frac{{39}}{{11}} \,\, (1)}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = \frac{{82}}{{11}} \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]

Từ (1) và (2) chia vế ta được: \[\frac{{q + {q^2} + {q^3}}}{{1 + {q^4}}} = \frac{{39}}{{82}}\]

\[ \Leftrightarrow - 39{q^4} + 82{q^3} + 82{q^2} + 82q - 39 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 3}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\].

•Với \[q = \frac{1}{3} \Rightarrow {u_1} = \frac{{81}}{{11}}\].

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \[{u_n} = \frac{{81}}{{11}} \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\]

Để số hạng thứ n thuộc khoảng \[\left( {\frac{1}{2}\,;\,\,1} \right)\] thì

\[\frac{1}{2} < \frac{{81}}{{11}} \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{11}}{{162}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} < \frac{{11}}{{81}}\]

Û n = 3 nên có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.

•Với \[{\rm{q}} = 3 \Rightarrow {u_1} = \frac{1}{{11}}\] .

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \[{u_n} = \frac{1}{{11}} \cdot {3^{n - 1}}\].

Để số hạng thứ n thuộc khoảng thì

\[\frac{1}{2} < \frac{1}{{11}} \cdot {3^{n - 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{11}}{2} < {3^{n - 1}} < 11\]Û n = 3 nên có một số hạng của dãy thỏa mãn.

Như vậy, trong cả 2 trường hợp chỉ có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Theo giả thiết ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} + {u_3} + {u_4} = \frac{{35}}{2}}\\{{u_1} \cdot {u_5} = 25}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^2} + {u_1} \cdot {q^3} = \frac{{35}}{2} \,\, (1)}\\{{u_1} \cdot {u_1} \cdot {q^4} = 25 \,\, (2)}\end{array}} \right.\]

Từ (2) \[ \Leftrightarrow {\left( {{u_1} \cdot {q^2}} \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow {u_1} \cdot {q^2} = 5\] (vì u_i > 0)

\[ \Rightarrow {u_1} = \frac{5}{{{q^2}}}\] thay vào (1) ta được:

\[\frac{5}{{{q^2}}}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = \frac{{35}}{2}\]

\[ \Leftrightarrow 10.\left( {{\rm{q}} + {{\rm{q}}^2} + {{\rm{q}}^3}} \right) = 35{{\rm{q}}^2}\]

\[ \Leftrightarrow 10{q^3} - 25{q^2} + 10q = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 0\left( {loai} \right)\\q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

•Với q = 2 thì \[{u_1} = \frac{5}{4}\];

•Với \[q = \frac{1}{2}\] thì u₁ = 20.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} - {u_3} + {u_5} = 65}\\{{u_1} + {u_7} = 325}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} - {u_1} \cdot {q^2} + {u_1} \cdot {q^4} = 65}\\{{u_1} + {u_1} \cdot {q^6} = 325}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {1 - {q^2} + {q^4}} \right) = 65{\rm{ (1) }}}\\{{u_1}\left( {1 + {q^6}} \right) = 325 \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]

Lấy (2) chia (1) vế chia vế ta được: \[\frac{{1 + {q^6}}}{{1 - {q^2} + {q^4}}} = \frac{{325}}{{65}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {1 + {q^2}} \right)\left( {1 - {q^2} + {q^4}} \right)}}{{1 - {q^2} + {q^4}}} = 5 \Leftrightarrow 1 + {{\rm{q}}^2} = 5\]

\[ \Leftrightarrow {q^2} = 4\] nên \[q = \pm 2\]

•Với q = 2 thay vào (2) ta được u₁ = 5.

•Với q = −2 thay vào (2) ta được u₁ = 5.

Như vậy, trong cả hai trường hợp ta có: u₁ = 5.

Đáp án đúng là: C

Theo giả thiết ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_6} = 165}\\{{u_3} + {u_4} = 60}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_1}{q^5} = 165}\\{{u_1}{q^2} + {u_1}{q^3} = 60}\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}\left( {1 + {q^5}} \right) = 165 \,\, \left( 1 \right)}\\{{u_1}\left( {{q^2} + {q^3}} \right) = 60 \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]

Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:

\[\frac{{1 + {q^5}}}{{{q^2}(1 + q)}} = \frac{{11}}{4} \Leftrightarrow \frac{{(1 + q)\left( {1 - q + {q^2} - {q^3} + {q^4}} \right)}}{{{q^2}(1 + q)}} = \frac{{11}}{4}\]

\[ \Leftrightarrow 4\left( {1 - q + {q^2} - {q^3} + {q^4}} \right) = 11{q^2}\]

\[ \Leftrightarrow 4{q^4} - 4{q^3} - 7{q^2} - 4q + 4 = 0\]

Chia cả hai vế của phương trình trên cho q² ≠ 0 ta được:

\[\frac{{4{q^4}}}{{{q^2}}} - \frac{{4{q^3}}}{{{q^2}}} - \frac{{7{q^2}}}{{{q^2}}} - \frac{{4q}}{{{q^2}}} + \frac{4}{{{q^2}}} = 0\]

\[ \Leftrightarrow 4\left( {{q^2} + \frac{1}{{{q^2}}}} \right) - 4\left( {q + \frac{1}{q}} \right) - 7 = 0(*)\]

Đặt\[t = q + \frac{1}{q} \Rightarrow {t^2} = {\left( {q + \frac{1}{q}} \right)^2} \Rightarrow {q^2} + \frac{1}{{{q^2}}} = {t^2} - 2\].

Điều kiện: | t | ≥ 2.

Khi đó phương trình (*) trở thành:

\[4\left( {{{\rm{t}}^2} - 2} \right) - 4{\rm{t}} - 7 = 0 \Leftrightarrow 4{{\rm{t}}^2} - 4{\rm{t}} - 15 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{5}{2}}\\{t = - \frac{3}{2}\,\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\]

* Với \[t = \frac{5}{2} \Leftrightarrow q + \frac{1}{q} = \frac{5}{2}\]\[ \Leftrightarrow 2{q^2} - 5q + 2 = 0 \Leftrightarrow q = 2{\rm{ }}\]hoặc \[{\rm{q}} = \frac{1}{2}\].

•\[q = 2 \Rightarrow {u_1} = \frac{{165}}{{1 + {q^5}}} = \frac{{165}}{{{1^2} + {2^5}}} = 5\];

•\[q = \frac{1}{2} \Rightarrow {u_1} = \frac{{165}}{{1 + {q^2}}} = \frac{{165}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}}} = 160.\] 

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 5 hoặc 160.