10 Bài tập Nhận biết, chứng minh dãy số là một cấp số nhân (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Xét dãy số (u_n): \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = \frac{9}{{{u_n}}}\end{array} \right.\) ta có:

\[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{9}{{{u_n}}}:\frac{9}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_n}}} \Rightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n}} + 1}} = {{\rm{u}}_{{\rm{n}} - 1}}{\rm{ }}\forall n \ge 2.{\rm{ }}\]

Do đó có: u₁ = u₃ = u₅ = … = u_{2n+ 1} = ... (1)

Và u₂ = u₄ = u₆ = ... = u_2n = ... (2)

Theo đề bài có \[{{\rm{u}}_1} = 3 \Rightarrow {u_2} = \frac{9}{{{u_1}}} = 3 \,\, \left( 3 \right)\]

Từ (1), (2) ,(3) suy ra u₁ = u₂ = u₃ =...= u_2n = u_{2n+ 1} =....

Vậy (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 1.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[{u_{n + 1}} = \frac{{10}}{{{8^{n + 1}}}}\]

Xét tỉ số: \[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{10}}{{{8^{n + 1}}}}:\frac{{10}}{{{8^n}}} = \frac{1}{8}\] (không đổi)

Do đó, dãy số (u_n) là cấp số nhân với \[q = \frac{1}{8}\].

Đáp án đúng là: D

Ta có: u₂ = u₁.(–1); u₃ = u₂.(–1); u₄ = u₃.(–1); …

Do đó, dãy số (4) là một cấp số nhân có q = –1.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \({u_{n + 1}} = {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 1 + 10}} = {\left( {\frac{{ - 1}}{5}} \right)^{n + 11}}\)

Xét tỉ số: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 11}}:{\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n + 10}} = \frac{{ - 1}}{5}{\rm{ }}\) (không đổi)

Do đó, dãy số (u_n) là cấp số nhân.

Đáp án đúng là: B

• Xét dãy số u_n, ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2 - (n + 1)}}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{1 - n}}}}\)

⇒ \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{1 - n}}}}:\frac{{{2^n}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2 - n}}}} = - 6\) (không đổi)

Do đó, dãy (u_n) là cấp số nhân.

• Xét dãy số w_n = 5^–n, ta có: w_{n + 1} = 5^{– n – 1}

⇒ w_n+1 = 5^–1.w_n

⇒ (w_n) là cấp số nhân.

Ta có: v_n = u_n+ 3 ( 1) nên v_{n + 1} = u_{n + 1} + 3     (2).

Theo đề bài: u_{n + 1} = 4u_n + 9 ⇒ u_{n + 1} + 3 = 4u_n + 9 + 3 = 4(u_n + 3)      (3)

Thay (1) và (2) vào (3) được: v_{n + 1} = 4v_n ∀n ≥ 1

\( \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = 4\) (không đổi).

Vậy (v_n) là cấp số nhân với công bội q = 4 và số hạng đầu v₁ = u₁ + 3 = 5.

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số: 128; –64; 32; –16; 8; …

Có: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = ... = \frac{1}{2}\) là một số không đổi.

Suy ra dãy số 128; –64; 32; –16; 8; … là một cấp số nhân.

Đáp án đúng là: D

Xét dãy số: \(\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}};...\)

Có: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\left( {\frac{1}{\pi } \ne \frac{1}{{{\pi ^2}}}} \right)\).

Do đó: \(\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}};...\) không là một cấp số nhân.

Đáp án đúng là: A

• Với \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}\), ta có: \[q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{3^{n - 3}}}}:\frac{1}{{{3^{n - 2}}}} = 3\] là một số không đổi.

Vậy dãy số (u_n) có số hạng tổng quát: \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}\) là một cấp số nhân.

• Với \({u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\), ta có: \[q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{{3^{n + 1}}}}:\frac{n}{{{3^n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}\] không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u_n) có số hạng tổng quát: \({u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\) không là một cấp số nhân.

• Với u_n = (n + 2).3ⁿ, ta có: \[q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ 3}}} \right){{.3}^{n + 1}}}}{{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){{.3}^n}}} = \frac{{3(n + 3)}}{{n + 2}}\] không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u_n) có số hạng tổng quát: u_n = (n + 2).3ⁿ không là một cấp số nhân.

• Với u_n = n², ta có: \[q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ 1}}} \right)}^2}}}{{{n^2}}} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^2}\] không phải là một số không đổi.

Vậy dãy số (u_n) có số hạng tổng quát: u_n = n² không là một cấp số nhân.