20 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 3. Cấp số nhân (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Dãy số nào dưới đây không phải là cấp số nhân?1; −3; 9; −27; 54.
1; 2; 4; 8; 16.
1; −1; 1; −1; 1.
1; −2; 4; −8; 16.
A
Vì \(\frac{{ - 27}}{9} \ne \frac{{54}}{{ - 27}}\) nên dãy 1; −3; 9; −27; 54 không phải là cấp số nhân.
1; 2; 3; 4; 5.
1; 3; 6; 9; 12.
2; 4; 6; 8; 10.
2; 2; 2; 2; 2.
D
Dãy số2; 2; 2; 2; 2 là cấp số nhân với công bội q = 1.
un = 5n.
un = 1 + 5n.
un = 5n + 1.
un = 5 + n2.
A
Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{5^{n + 1}}}}{{{5^n}}} = 5\)nên un = 5n là một cấp số nhân.
−6.
3.
\(\frac{1}{3}\).
6.
B
Ta có q = u2 : u1 = 9 : 3 = 3.
8.
9.
\(\frac{3}{2}\).
6.
D
Ta có u2 = u1.q = 3.2 = 6.
18.
54.
162.
486.
C
Ta có u9 = u5.q4 Þ q4 = u9 : u5 = 6 : 2 = 3 \( \Rightarrow q = \sqrt[4]{3}\).
Khi đó u21 = u5.q16 \( = 2.{\left( {\sqrt[4]{3}} \right)^{16}} = 162\).
73872.
77832.
72873.
78732.
D
Dãy số 4; 12; 36; 108; 324; ... là cấp số nhân với công bội q = 3 và u1 = 4.
Khi đó u10 = u1.q9 = 4.39 = 78732.
S10 = −511.
S10 = −1023.
S10 = 1025.
S10 = −1025.
B
Ta có \({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3.\left( {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = - 1023\).
\(\frac{{1 - {3^8}}}{2}\).
\(\frac{{{3^8} - 1}}{6}\).
\(\frac{{{3^8} - 1}}{2}\).
\(\frac{{1 - {3^8}}}{6}\).
B
Ta có u8 = u1.q7 Û \(729 = \frac{1}{3}.{q^7}\)\( \Leftrightarrow {q^7} = 2187\) Û q = 3.
Khi đó \({S_8} = \frac{{{u_1}.\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{\frac{1}{3}.\left( {1 - {3^8}} \right)}}{{1 - 3}} = \frac{{{3^8} - 1}}{6}\).
8 m2.
6 m2.
10 m2.
12 m2.
B
Ta có \({u_1} = \frac{1}{2}.12288 = 6144;q = \frac{1}{2}\).
Khi đó \({u_{11}} = {u_1}.{q^{10}} = 6144.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{10}} = 6\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho dãy số (an) xác định bởi hệ thức truy hồi a1 = 2; an + 1 = −2an với n Î ℕ*.
a) (an) là một cấp số nhân với a1 = 2 và q = −2.
b) Số hạng thứ 8 của dãy bằng 256.
c) Số −2048 là một số hạng của dãy.
d)S10 = −682.
a) Ta có \(q = \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = - 2\).
Do đó (an) là một cấp số nhân với a1 = 2 và q = −2.
b) a8 = a1.q7 = 2.(−2)7 = −256.
c) Có an = a1.qn – 1. Khi đó −2048 = 2.(−2)n – 1 Û (−2)n – 1 = −1024 = −210 .
Không tồn tại n Î ℕ* để (−2)n – 1 = −1024. Do đó −2048 không là số hạng của dãy.
d) \({S_{10}} = \frac{{{a_1}\left( {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = \frac{{2\left( {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}} \right)}}{3} = - 682\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu bằng −2 và công bội bằng 2.
a) u5 = −32.
b) S3 = −8.
c) Số −50 là một số hạng của cấp số nhân (un).
d) \(\frac{{{S_4}}}{{{S_3}}} = {u_4}\).
Ta có un = −2.2n – 1.
a) Ta có u5 = −2.24 = −32.
b) \({S_3} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^3}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{ - 2.\left( {1 - {2^3}} \right)}}{{1 - 2}} = - 14\).
c) Ta có −50 = −2.2n – 1 Û 2n – 1 = 25.
Không tồn tại n Î ℕ* để 2n – 1 = 25 nên −50 không là một số hạng của cấp số nhân (un).
d) Ta có \({S_4} = {u_1}.\frac{{1 - {q^4}}}{{1 - q}} = - 2.\frac{{{2^4} - 1}}{{2 - 1}} = - 30\).
Suy ra \(\frac{{{S_4}}}{{{S_3}}} = \frac{{ - 30}}{{ - 14}} = \frac{{15}}{7}\) và u4 = −2.23 = −16. Vậy \(\frac{{{S_4}}}{{{S_3}}} \ne {u_4}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 2; u2 = −4.
a) Công bội q = 2.
b) u5 = −32.
c) Số −64 là số hạng thứ 6 của (un).
d) Tổng của 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng −170.
a) \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 4}}{2} = - 2\).
b) u5 = u1.q4 = 2.(−2)4 = 32.
c) u6 = u1.q5 = 2.(−2)5 = −64.
d) \({S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left[ {1 - {{\left( { - 2} \right)}^8}} \right]}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = - 170\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Tương truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó xin nhà vua: “Bàn cờ có 64 ô với ô thứ nhất thần xin nhận 1 hạt thóc, ô thứ hai thì gấp đôi ô đầu, ô thứ ba thì lại gấp đôi ô thứ hai, … cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước và thần xin nhận tổng số các hạt thóc ở 64 ô”. Biết rằng khối lượng của 100 hạt thóc là 20 gam.
a) Số hạt thóc ở 64 ô là một cấp số nhân có u1 = 1; q = 2.
b) Số hạt thóc ở ô thứ tám là 28.
c) Tổng khối lượng thóc của 64 ô trên bàn cờ là 364 tỉ tấn.
d) Giả sử người đó muốn chở số thóc ở trên 32 ô đầu tiên về bằng tàu thủy, biết rằng mỗi chuyến tàu chở tối đa 10 tấn hàng hóa. Khi đó, người đó cần tối thiểu 85 chuyến tàu để chở hết số thóc đó.
a) Số hạt thóc ở 64 ô là một cấp số nhân có u1 = 1; q = 2.
b) u8 = u1q7 = 27.
c) Tổng số thóc của 64 ô là:\({S_{64}} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{63}} = {2^{64}} - 1\) hạt thóc, do đó tổng khối lượng thóc trên 64 ô trên bàn cờ là \(\left( {{2^{64}} - 1} \right).\frac{{20}}{{100}} \approx 3,{69.10^8}\) (g) = 369 tỉ tấn.
d) Ta có khối lượng thóc của 32 ô đầu tiên là \(\left( {{2^{32}} - 1} \right).\frac{{20}}{{100}} = 858993459 \approx 859\) tấn.
Mỗi tàu chở tối đa 10 tấn hàng hóa thì cần tối thiểu 86 chuyến tàu có thể chở hết số thóc trên.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho dãy số (un) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_n} = 3{u_{n - 1}}\end{array} \right.\).
a) Ba số hạng đầu của dãy là 3; 9; 26.
b) Dãy (un) là cấp số nhân với công bội bằng 3.
c) Số hạng thứ 10 của dãy số này là u10 = 59049.
d) Tổng 11 số hạng đầu của dãy số trên là 88572.
a) Ta có u2 = 3u1 = 3.3 = 9; u3 = 3.u2 = 3.9 = 27.
Do đó 3 số hạng đầu của dãy là 3; 9; 27.
b) Ta có \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = 3\). Do đó (un) là cấp số nhân với công bội bằng 3.
c) Ta có u10 = u1.q9 = 3.39 = 59049.
d) \({S_{11}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {3^{11}}} \right)}}{{1 - 3}} = \frac{{3\left( {1 - {3^{11}}} \right)}}{{1 - 3}} = 265719\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân gồm sáu số hạng. Tìm tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân đó.
Gọi (un) là cấp số nhân lập được và q là công bội của cấp số nhân đó.
Cấp số nhân cần lập có dạng: 160; u2; u3; u4; u5; 5.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 160\\{u_6} = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 160\\{u_1}{q^5} = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 160\\160{q^5} = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 160\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Khi đó \({S_6} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^6}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{160\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^6}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 315\).
Trả lời: 315.
Tổng của chín số hạng đầu của cấp số nhân 20; 10; 5; … với kết quả làm tròn đến hàng phần mười.
Ta có u1 = 20; u2 =10 \( \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{2}\).
Khi đó \({S_9} = {u_1}.\frac{{1 - {q^9}}}{{1 - q}} = 20.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^9}}}{{1 - \frac{1}{2}}} \approx 39,9\).
Trả lời: 39,9.
Cho cấp số nhân (un) với số hạng đầu u1 = −5, công bội q = 2. Số −320 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?
Ta có un = u1.qn – 1 = −5.2n – 1.
Có −320 = −5.2n – 1 Û 64 = 2n – 1 Û n – 1 = 6 Û n = 7.
Vậy −320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân trên.
Trả lời: 7.
Do ảnh hưởng của dịch Covid 19 nên doanh thu 6 tháng đầu năm của công ty A không đạt kế hoạch. Cụ thể, doanh thu 6 tháng đầu năm đạt 20 tỷ đồng, trong đó tháng 6 đạt 6 tỷ đồng. Để đảm bảo doanh thu cuối năm đạt được kế hoạch năm, công ty đưa ra chỉ tiêu: kể từ tháng 7 mỗi tháng phải tăng doanh thu so với tháng kề trước 10%. Hỏi theo chỉ tiêu đề ra thì doanh thu cả năm của công ty A đạt được là bao nhiêu tỷ đồng (làm tròn đến một chữ số thập phân).
Doanh thu của công ty trong tháng 7: T7 = 6.(1 + 10%);
Doanh thu của công ty trong tháng 8: T8 = 6.(1 + 10%)2;
….
Doanh thu của công ty trong tháng 12: T12 = 6.(1 + 10%)6.
Do đó theo chỉ tiêu đề ta thì doanh thu cả năm của công ty A đạt được là
T = 20 + 6.(1 + 10%) + 6.(1 + 10%)2 + … + 6.(1 + 10%)6 \( = 20 + 6.\left( {1 + 10\% } \right).\frac{{{{\left( {1 + 10\% } \right)}^6} - 1}}{{10\% }} \approx 70,9\).
Trả lời: 70,9.
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 16 và có diện tích S1. Nối 4 trung điểm A1; B1; C1; D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai có diện tích S2. Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là A2B2C2D2 có diện tích S3, … và cứ tiếp tục làm như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích S4, S5, …, S100 (tham khảo hình bên dưới).
Biết tổng S = S1 + S2 + …+ S100 = \(\frac{{{2^a} - 1}}{{{2^b}}}\) (a, b Î ℕ). Tính a + b.
Đặt a = 16.
Ta có S1 = a2; \({S_2} = \frac{1}{2}{a^2};{S_3} = \frac{1}{4}{a^2}\);…
Do đó S1; S2; …; S100 là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = S1 = a2 và công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Suy ra S = S1 + S2 + …+ S100 = \({S_1}.\frac{{1 - {q^{100}}}}{{1 - q}} = {a^2}.\frac{{{2^{100}} - 1}}{{{2^{99}}}} = \frac{{{2^{100}} - 1}}{{{2^{91}}}}\).
Suy ra a = 100; b = 91. Do đó a + b = 191.
Trả lời: 191.
