Do ba số \(\frac{2}{{b - a}},\,\,\frac{1}{b},\,\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

\(\frac{1}{b} - \frac{2}{{b - a}} = \frac{2}{{b - c}} - \frac{1}{b}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{b - a - 2b}}{{b\left( {b - a} \right)}} = \frac{{2b - \left( {b - c} \right)}}{{b\left( {b - c} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - a - b}}{{b - a}} = \frac{{b + c}}{{b - c}}\) (do b ≠ 0)

\( \Rightarrow \left( { - a - b} \right)\left( {b - c} \right) = \left( {b - a} \right)\left( {b + c} \right)\)

⇔ – ab + ac – b² + bc = b² + bc – ab – ac

⇔ ac – b² = b² – ac

⇔ 2b² = 2ac

⇔ b² = ac

\( \Leftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{c}{b}\).

Suy ra ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Ba số 2x – 3; x; 2x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân khi

\(\frac{x}{{2x - 3}} = \frac{{2x + 3}}{x}\)

⇒ x² = (2x – 3)(2x + 3)

⇔ x² = 4x² – 9

⇔ 3x² = 9

⇔ x² = 3

\( \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \).

Vậy \(x = \pm \sqrt 3 \) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có u₂ + u₄ = \(\frac{{{u_3}}}{q} + {u_3}q = \frac{{16}}{q} + 16q\).

Mà u₂ + u₄ = 40 nên \(\frac{{16}}{q} + 16q = 40\)⇒ 16 + 16q² = 40q

⇔ 2q² – 5q + 2 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Lại có u₃ = u₁ q² = 16, suy ra u₁ = \(\frac{{16}}{{{q^2}}}\).

Với \(q = \frac{1}{2}\) thì \({u_1} = \frac{{16}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}} = 64\).

Với q = 2 thì \({u_1} = \frac{{16}}{{{2^2}}} = 4\).

Vậy u₁ = 64, q = \(\frac{1}{2}\) hoặc u₁ = 4, q = 2.

Ta có u₁ + u₆ = u₁ + u₁ . q⁵ = 244, suy ra u₁ . q⁵ = 244 – u₁.

Lại có u₂ . u₅ = (u₁ . q) . (u₁ . q⁴) = u₁ . (u₁ . q⁵) = u₁ . (244 – u₁) = 244u₁ – u₁².

Suy ra 244u₁ – u₁² = 243 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 243\end{array} \right.\).

Với u₁ = 1 thì q⁵ = 244 – 1 = 243 = 3⁵, suy ra q = 3.

Với u₁ = 243 thì 243q⁵ = 244 – 243 ⇔ 243q⁵ = 1 \( \Leftrightarrow {q^5} = \frac{1}{{243}} \Leftrightarrow {q^5} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^5}\)\( \Leftrightarrow q = \frac{1}{3}\).

Vậy u₁ = 1, q = 3 hoặc u₁ = 243, \(q = \frac{1}{3}\).

Ta có $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\left(1+q+q^2\right)=13\left(1\right)\\ u_1{q}^3\left(1+q+q^2\right)=351\left(2\right)\end{array}\right.$

Lấy (2) chia vế theo vế cho (1), ta được q³ = 27, suy ra q = 3.

Ta có u₁(1 + 3 + 3²) = 13 ⇔ 13u₁ = 13 ⇔ u₁ = 1.

Vậy u₁ = 1, q = 3.

Xét số hạng đầu u₁ và công bội q. Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (2) chia vế theo vế (1) ta được q = 2.

Suy ra u₁ . (1 + 2⁴) = 51 ⇔ 17u₁ = 51 ⇔ u₁ = 3.

Do đó, u₁₀ = u₁ . q⁹ = 3 . 2⁹ = 1 536.

Giả sử số 192 là số hạng thứ k của cấp số nhân (u_n).

Ta có u_k = u₁ . q^{k – 1} = 3 . 2^{k – 1} = 3 . 2^k . \(\frac{1}{2}\) = 192, suy ra 2^k = 128 = 2⁷, suy ra k = 7.

Vậy số 192 là số hạng thứ 7.

Giả sử 9 216 là số hạng thứ n của cấp số nhân (u_n).

Ta có 3 . 2^{n – 1} = 9 216 ⇔ 2^{n – 1} = 3 072.

Do 3 072 chia hết cho 3 mà với n là số nguyên dương thì 2^{n – 1} không chia hết cho 3 nên không tồn tại n thoả mãn.

Vậy số 9 216 không là số hạng nào của (u_n).

Giả sử cấp số nhân đó là (u_n) với n = 7.

Theo bài ra ta có: u₄ = 2 và u₇ = 32u₂.

Ta có u₇ = u₁ . q⁶ và u₂ = u₁ . q, do đó u₁ . q⁶ = 32u₁ . q, suy ra q = 2.

Lại có u₄ = u₁ . q³ = u₁ . 2³ = 8u₁, suy ra 8u₁ = 2 ⇔ u₁ = \(\frac{1}{4}\).

Do vậy, u₂ = \(\frac{1}{4}.2 = \frac{1}{2}\); u₃ = \(\frac{1}{2}.2 = 1\); u₅ = 2 . 2 = 4; u₆ = 4 . 2 = 8; u₇ = 8 . 2 = 16.

Giả sử công bội của cấp số nhân là q, công sai của cấp số cộng là d, khi đó gọi ba số cần tìm là a, aq, aq². (với a, p ≠ 0)

Theo bài ra ta có: a + aq + aq² = 78 (*); aq = a + 2d; aq² = a + 8d.

Từ aq = a + 2d, suy ra aq – a = 2d ⇔ a(q – 1) = 2d. (1)

Từ aq² = a + 8d, suy ra aq² – a = 8d ⇔ a(q² – 1) = 8d ⇔ a(q – 1)(q + 1) = 8d. (2)

Với q = 1 thì a = aq = aq², mà ba số cần tìm là phân biệt nên q = 1 không thỏa mãn.

Do vậy, q ≠ 1 ⇒ q – 1 ≠ 0, do đó a(q – 1) ≠ 0. Chia vế theo vế của (2) cho (1):

Ta được: q + 1 = 4 ⇔ q = 3.

Thay q = 3 vào (*): a + 3a + 9a = 78 ⇔ 13a = 78 ⇔ a = 6.

Suy ra ba số cần tìm là 6; 6 . 3 = 18; 18 . 3 = 54.

Vậy ba số cần tìm là: 6; 18; 54.

Ta có: \({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\left( { - 1} \right).\left( {1 - {3^{10}}} \right)}}{{1 - 3}} = - 29\,\,524\).

Ta có: \({S_m} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^m}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\left( { - 1} \right)\left( {1 - {3^m}} \right)}}{{1 - 3}} = \frac{{1 - {3^m}}}{2}\).

Mà S_m = – 364, do đó \(\frac{{1 - {3^m}}}{2} = - 364\) ⇔ 1 – 3^m = – 728

⇔ 3^m = 729 ⇔ 3^m = 3⁶ ⇔ m = 6.

Vậy m = 6.

Dãy \(\frac{1}{{{u_1}}};\,\frac{1}{{{u_2}}};\frac{1}{{{u_3}}};\frac{1}{{{u_4}}};\frac{1}{{{u_5}}}\) là cấp số nhân với số hạng đầu là \({u'_1} = \frac{1}{{{u_1}}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1\) và công bội là \(q' = \frac{1}{q} = \frac{1}{3}\).

Suy ra \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}}\)\( = \frac{{\left( { - 1} \right).\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^5}} \right]}}{{1 - \frac{1}{3}}} = - \frac{{121}}{{81}}\).

Ta có \({v_1} = {u_1} - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}\)

\({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\)\( = \frac{1}{3}{u_{n - 1}} + 1 - \frac{3}{2} = \frac{1}{3}{u_{n - 1}} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\left( {{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}} \right) = \frac{1}{3}{v_{n - 1}}\) với mọi n ∈ ℕ^*, n ≥ 2.

Vậy dãy số (v_n) là cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = - \frac{1}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\).

Ta có: \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = - \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\).

Từ \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\), suy ra \({u_n} = {v_n} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{{{{2.3}^{n - 1}}}} = \frac{{{{3.3}^{n - 1}} - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\).

Ta có S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₁₀

\( = \left( {{v_1} + \frac{3}{2}} \right) + \left( {{v_2} + \frac{3}{2}} \right) + \left( {{v_3} + \frac{3}{2}} \right) + ... + \left( {{v_{10}} + \frac{3}{2}} \right)\)

= (v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₁₀) + \(\frac{3}{2}.10\)

\( = \frac{{{v_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} + 15\)\( = \frac{{ - \frac{1}{2}.\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{3}}} + 15\)\( = \frac{{280\,\,483}}{{19\,\,683}}\).

Ta có tiền lương năm thứ nhất của anh Dũng là: 120 triệu đồng.

Tiền lương năm thứ hai của anh Dũng là:

120 + 120 . 10% = 120(1 + 0, 1) = 120 . 1,1 (triệu đồng).

Tiền lương năm thứ ba của anh Dũng là:

120 . 1,1 + 120 . 1,1 . 10% = 120 . 1,1 (1 + 0,1) = 120 . 1,1² (triệu đồng).

Cứ tiếp tục như vậy, ta được tiền lương năm thứ 10 của anh Dũng là 120 . 1,1⁹ (triệu đồng).

Do vậy, tiền lương mỗi năm của anh Dũng nhận được trong 10 năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 120 và công bội q = 1,1.

Khi đó tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm là:

\({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{120.\left[ {1 - {{\left( {1,1} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - 1,1}} \approx 1\,\,912\) (triệu đồng).

Vậy tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm là 1 912 triệu đồng.