Giải SGK Toán 11 CD Bài 3. Cấp số nhân có đáp án

Lời giải

Số lượng vi khuẩn lúc đầu Q₀ = 100 (vi khuẩn).

Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi đầu tiên (sau 20 = 1.20 phút) là: Q₁ = 100.2 = 200 (vi khuẩn).

Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ hai (sau 40 = 2.20 phút) là: Q₂ = 100.2.2 = 100.2² = 400 (vi khuẩn).

Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ ba (sau 60 = 3.20 phút) là: Q₃ = 100.2.2.2 = 100.2³ = 800 (vi khuẩn).

Tổng quát: Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ n (sau n. 20 phút) là: Q_n = 100.2ⁿ (vi khuẩn).

Vì vậy số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ thứ 9 (sau 180 = 9.20 phút) là: Q₉ = 100.2⁹ = 51 200 (vi khuẩn).

Lời giải

a) (u_n) là cấp số nhân có công bội \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 2}}{{ - 6}} = \frac{1}{3}\).

b) Năm số hạng đầu tiên của dãy cấp số nhân là:

u₁ = – 6, u₂ = – 2; \({u_3} = \left( { - 6} \right).{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = - \frac{2}{3};{u_4} = \left( { - 6} \right).{\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = - \frac{2}{9};{u_5} = \left( { - 6} \right).{\left( {\frac{1}{3}} \right)^4} = - \frac{2}{{27}}\).

Lời giải

a) Năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là: u₁; u₁.q; u₁.q²; u₁q³; u₁q⁴.

b) Dự đoán công thức tính u_n theo u₁ và q là: u_n = u₁q^n-1.

Lời giải

a) Ta có: S_n.q = (u₁ + u₁q + u₁q² + ... + u₁q^n-1).q = u₁.q + u₁.q² + u₁q³ + ... + u₁qⁿ

S_n – S_n.q =  u₁ + u₁q + u₁q² + ... + u₁q^n-1 – (u₁.q + u₁.q² + u₁q³ + ... + u₁qⁿ)

= u₁ – u₁qⁿ

b) Ta có: \({S_n} - {S_n}q = {u_1} - {u_1}{q^n}\)

\( \Leftrightarrow {S_n}\left( {1 - q} \right) = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).

Vậy công thức tính S_n là: \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).

Lời giải

a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với u₁ = 3 và công bội q = – 2.

Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

\({S_{12}} = \frac{{3\left[ {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{12}}} \right]}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 12\,\,285\).

b) Ta có: \(\frac{1}{{10}},\frac{1}{{100}},\frac{1}{{1\,\,000}},...\) là một cấp số nhân với u₁ = \(\frac{1}{{10}}\) và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\)

Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

\({S_5} = \frac{{\frac{1}{{10}}\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{{10}}} \right)}^5}} \right]}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = 0,1111\).

Lời giải

a) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp \( - \frac{1}{{10}}\) lần số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = – 0,5.

b) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp \( - \frac{1}{3}\) số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = – 9 và công bội \(q = - \frac{1}{3}\).

c) Ta có: \(\frac{8}{2} = \frac{{32}}{8} = \frac{{256}}{{64}} \ne \frac{{64}}{{32}}\)

Vì vậy dãy trên không là cấp số nhân.

Lời giải

a) Ta có: \({u_{n + 1}} = - \frac{3}{4}{.2^{n + 1}}\)

Xét \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \left( { - \frac{3}{4}{{.2}^{n + 1}}} \right):\left( { - \frac{3}{4}{{.2}^n}} \right) = 2\)

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

b) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{5}{{{3^{n + 1}}}}\)

Xét \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{5}{{{3^{n + 1}}}}:\frac{5}{{{3^n}}} = \frac{1}{3}\).

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

c) Ta có: u_n+1 = (– 0,75)ⁿ⁺¹.

Xét \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = {\left( { - 0,75} \right)^{n + 1}}:{\left( { - 0,75} \right)^n} = - 0,75\).

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

Lời giải

a) Ta có (u_n) là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = – 5 và công bội q = 2 có số hạng tổng quát là: u_n = – 5.2^n-1 với mọi n ∈ ℕ^*.

b) Xét u_n = – 5.2^n-1 =  – 320

⇔ 2^n-1 = 64

⇔ n – 1 = 6

⇔ n = 7.

Vậy số – 320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

c) Xét u_n =  – 5.2^n-1 = 160

⇔ 2^n-1 = – 32

⇔ n – 1 = – 5

⇔ n = – 4 ∉ ℕ*

Vậy số 160 không phải là một số hạng của cấp số nhân.  

Lời giải

a) Ta có u₃ = u₁.q²

Xét \({q^2} = \frac{{{u_3}}}{{{u_1}}} = \frac{{\frac{{27}}{4}}}{3} = \frac{9}{4} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = - \frac{3}{2}\\q = \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

+) Với \(q = - \frac{3}{2}\) ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u₁ = 3, u₂ = \(3.\left( { - \frac{3}{2}} \right) = - \frac{9}{4}\); \({u_3} = \frac{{27}}{4}\); u₄ = \(3.{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^3} = - \frac{{81}}{8}\); u₅ = \(3.{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^4} = \frac{{243}}{{16}}\).

 +) Với \(q = \frac{3}{2}\) ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u₁ = 3, u₂ = \(3.\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{9}{4}\); \({u_3} = \frac{{27}}{4}\); u₄ = \(3.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^3} = \frac{{81}}{8}\); u₅ = \(3.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^4} = \frac{{243}}{{16}}\).

b) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và công bội \(q = - \frac{3}{2}\) là: \({S_{10}} = \frac{{3\left( {1 - {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \left( { - \frac{3}{2}} \right)}} \approx - 68\).

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và công bội \(q = \frac{3}{2}\) là: \({S_{10}} = \frac{{3\left( {1 - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \left( {\frac{3}{2}} \right)}} \approx 340\).

Lời giải

a) Ta có dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là u₀ = 2 triệu dân và công sai q = 1 + 1% = 1,01.

Khi đó số hạng tổng quát của u_n = 2.1,01^n-1 (triệu dân).

b) Số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 là:

u₁₁ = 2.1,01^11-1 ≈ 2,21 (triệu dân).

Lời giải

a) Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u₁ = 800 – 800.4% = 800.(1 – 4%) = 768 (triệu đồng).

Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u₁ = 800.(1 – 4%) – 800.(1 – 4%).4% = 800.(1 – 4%)² = 737,28 (triệu đồng).

b) Gọi u_n là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.

Dãy số (u_n) tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là u₀ = 800 triệu đồng và công bội q = 1 – 4%.

Khi đó công thức tổng quát để tính u_n = 800.(1 – 4%)ⁿ.

c) Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là:

u₁₀ = 800.(1 – 4%)¹⁰ ≈ 531,87 (triệu đồng).