Lời giải

a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với u₁ = 3 và công bội q = – 2.

Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

\({S_{12}} = \frac{{3\left[ {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{12}}} \right]}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 12\,\,285\).

b) Ta có: \(\frac{1}{{10}},\frac{1}{{100}},\frac{1}{{1\,\,000}},...\) là một cấp số nhân với u₁ = \(\frac{1}{{10}}\) và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\)

Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

\({S_5} = \frac{{\frac{1}{{10}}\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{{10}}} \right)}^5}} \right]}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = 0,1111\).

Lời giải

a) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp \( - \frac{1}{{10}}\) lần số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = – 0,5.

b) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp \( - \frac{1}{3}\) số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = – 9 và công bội \(q = - \frac{1}{3}\).

c) Ta có: \(\frac{8}{2} = \frac{{32}}{8} = \frac{{256}}{{64}} \ne \frac{{64}}{{32}}\)

Vì vậy dãy trên không là cấp số nhân.

Lời giải

a) Ta có: \({u_{n + 1}} = - \frac{3}{4}{.2^{n + 1}}\)

Xét \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \left( { - \frac{3}{4}{{.2}^{n + 1}}} \right):\left( { - \frac{3}{4}{{.2}^n}} \right) = 2\)

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

b) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{5}{{{3^{n + 1}}}}\)

Xét \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{5}{{{3^{n + 1}}}}:\frac{5}{{{3^n}}} = \frac{1}{3}\).

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

c) Ta có: u_n+1 = (– 0,75)ⁿ⁺¹.

Xét \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = {\left( { - 0,75} \right)^{n + 1}}:{\left( { - 0,75} \right)^n} = - 0,75\).

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

Lời giải

a) Ta có (u_n) là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = – 5 và công bội q = 2 có số hạng tổng quát là: u_n = – 5.2^n-1 với mọi n ∈ ℕ^*.

b) Xét u_n = – 5.2^n-1 =  – 320

⇔ 2^n-1 = 64

⇔ n – 1 = 6

⇔ n = 7.

Vậy số – 320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

c) Xét u_n =  – 5.2^n-1 = 160

⇔ 2^n-1 = – 32

⇔ n – 1 = – 5

⇔ n = – 4 ∉ ℕ*

Vậy số 160 không phải là một số hạng của cấp số nhân.  

Lời giải

a) Ta có u₃ = u₁.q²

Xét \({q^2} = \frac{{{u_3}}}{{{u_1}}} = \frac{{\frac{{27}}{4}}}{3} = \frac{9}{4} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = - \frac{3}{2}\\q = \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

+) Với \(q = - \frac{3}{2}\) ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u₁ = 3, u₂ = \(3.\left( { - \frac{3}{2}} \right) = - \frac{9}{4}\); \({u_3} = \frac{{27}}{4}\); u₄ = \(3.{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^3} = - \frac{{81}}{8}\); u₅ = \(3.{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^4} = \frac{{243}}{{16}}\).

 +) Với \(q = \frac{3}{2}\) ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u₁ = 3, u₂ = \(3.\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{9}{4}\); \({u_3} = \frac{{27}}{4}\); u₄ = \(3.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^3} = \frac{{81}}{8}\); u₅ = \(3.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^4} = \frac{{243}}{{16}}\).

b) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và công bội \(q = - \frac{3}{2}\) là: \({S_{10}} = \frac{{3\left( {1 - {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \left( { - \frac{3}{2}} \right)}} \approx - 68\).

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và công bội \(q = \frac{3}{2}\) là: \({S_{10}} = \frac{{3\left( {1 - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \left( {\frac{3}{2}} \right)}} \approx 340\).

Lời giải

a) Ta có dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là u₀ = 2 triệu dân và công sai q = 1 + 1% = 1,01.

Khi đó số hạng tổng quát của u_n = 2.1,01^n-1 (triệu dân).

b) Số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 là:

u₁₁ = 2.1,01^11-1 ≈ 2,21 (triệu dân).

Lời giải

a) Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u₁ = 800 – 800.4% = 800.(1 – 4%) = 768 (triệu đồng).

Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u₁ = 800.(1 – 4%) – 800.(1 – 4%).4% = 800.(1 – 4%)² = 737,28 (triệu đồng).

b) Gọi u_n là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.

Dãy số (u_n) tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là u₀ = 800 triệu đồng và công bội q = 1 – 4%.

Khi đó công thức tổng quát để tính u_n = 800.(1 – 4%)ⁿ.

c) Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là:

u₁₀ = 800.(1 – 4%)¹⁰ ≈ 531,87 (triệu đồng).