10 Bài tập Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân (có lời giải)
10 câu hỏi
Tổng \[{\rm{S}} = 3 + {\left( { - 3} \right)^2} + {3^3} + {\left( { - 3} \right)^4} + \ldots + {\left( { - 3} \right)^{20}}\] có giá trị là
\[A.\frac{{3\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{2}\];
\[B.\;{3^{30}} - 1\];
\[C.\frac{{2\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{3}\];
\[D.10 \cdot \left( {{3^{20}} - 3} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[{\rm{S}} = 3 + {\left( { - 3} \right)^2} + {3^3} + {\left( { - 3} \right)^4} + \ldots + {\left( { - 3} \right)^{20}}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{S}} = 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + \ldots + {3^{20}}\]
Nhận xét: Dãy số 3; 32; 33; 34; ... ; 320 là cấp số nhân với số hạng đầu là u1 = 3 và công bội q = 3.
Do đó, tổng 20 số hạng của dãy số là: \[S = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {3^{20}}} \right)}}{{1 - 3}} = \frac{{3\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{2}\].
Tổng \[S = \left( { - 1} \right) + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^3} + \cdots + {\left( { - 1} \right)^{41}}\] có giá trị là
1
–1;
0;
20,5.
Đáp án đúng là: B
Ta có dãy số (–1); (–1)2; (–1)3; …; (–1)41 là cấp số nhân gồm 41 số hạng với số hạng đầu là u1 = −1 và công bội q = −1.
Do đó \[S = \frac{{( - 1) \cdot \left[ {1 - {{( - 1)}^{41}}} \right]}}{{1 - ( - 1)}} = \frac{{( - 1) \cdot \left[ {1 + 1} \right]}}{{1 + 1}} = - 1\].
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3 và công bội là số nguyên tố bé nhất, biết Sk = 189. Hỏi k bằng bao nhiêu?
k = 4;
k = 5;
k = 7;
k = 6.
Đáp án đúng là: D
Số nguyên tố bé nhất là 2 nên q = 2.
Ta có: \[{S_k} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^k}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^k}} \right)}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^k} - 1} \right)\]
Theo giả thiết, ta có: \[3\left( {{2^{\rm{k}}} - 1} \right) = 189\]
\[ \Leftrightarrow {2^{\rm{k}}} - 1 = 63 \Leftrightarrow {2^{\rm{k}}} = 64 \Leftrightarrow {\rm{k}} = 6\].
Tổng \[{S_n} = \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + .. + \frac{1}{{{4^n}}}\] có giá trị là
\[A.1 - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n}\quad \];
\[B.\frac{1}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\];
\[C.3.\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\];
\[D.\frac{2}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\].
Đáp án đúng là: B
Ta có dãy số \[\frac{1}{4}\,;\,\,\frac{1}{{{4^2}}}\,;\,\,\frac{1}{{{4^3}}}\,;\,\, \ldots \,;\,\,\frac{1}{{{4^n}}}\] theo thứ tự lập thành cấp số nhân với n số hạng, với \[{u_1} = \frac{1}{4}\,;\,\,q = \frac{1}{4}\].
Tổng n số hạng đầu tiên của dãy là:
\[{S_n} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\].
Cho biết \[{{\rm{S}}_{\rm{n}}} = 5 + 55 + 555 + \ldots + 555 \ldots .5\]. Giá trị của Sn là
\[\frac{{10}}{{21}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];
\[\frac{{50}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];
\[\frac{{10}}{9}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];
Đáp án khác
Đáp án đúng là: B
Nhận xét: \[9\left( {5 + 55 + 555 + \ldots + 555 \ldots 5} \right)\]
\[ = 5.\left( {9 + 99 + 999 + 9999 \ldots 9} \right)\]
Do đó: \[{{\rm{S}}_{\rm{n}}} = 5 + 55 + 555 + . + 555 \ldots 5\]
\[ = \frac{5}{9}\left( {9 + 99 + 999 + \ldots + 999 \ldots 9} \right)\]
\[ = \frac{5}{9} \cdot \left[ {(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + .. + \left( {{{10}^n} - 1} \right)} \right]\]
\[ = \frac{5}{9}\left[ {\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + .. + {{10}^n}} \right) - n} \right]\]
\[ = \frac{5}{9} \cdot \left[ {10 \cdot \frac{{1 - {{10}^n}}}{{1 - 10}} - n} \right] = \frac{{50}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\].
Ta có 10 + 102 + 103 + ..+ 10n là tổng của cấp số nhân với số hạng đầu u1 =10 và công bội q = 10.
Do đó \[10 + {10^2} + {10^3} + .. + {10^{\rm{n}}} = \frac{{10 \cdot \left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}}\].
Cấp số nhân cho bởi công bội q = 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối bằng 486. Phần tử đầu tiên của cấp số nhân là
2;
3;
4;
5.
Đáp án đúng là: A
Theo đề bài ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{S_n} = 728}\\{{u_n} = 486}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 728}\\{{u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 486}\end{array}} \right.} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} - {u_1}{q^n} = 728\left( {1 - q} \right)}\\{{u_1} \cdot {q^n} = 486q}\end{array}} \right.\]
Thay q= 3 vào (*) ta được :
\[ \Rightarrow {{\rm{u}}_1} - 486{\rm{q}} = 728\left( {1 - q} \right)\]
\[{{\rm{u}}_1} - 486.3 = 728.(1 - 3)\]\[ \Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} = 2\]
Giá trị của \[B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace {{\rm{77}}...{\rm{7 }}}_{n\,{\rm{ số \,7}}}\]là
\[\frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\];
\[\frac{{7\left( {{{10}^n} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\];
\[\frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{9}\];
\[\frac{{{{10}^{n + 1}} - 9n - 10}}{{81}}\].
Đáp án đúng là: A
Ta có:\[B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace {{\rm{77}}...{\rm{7 }}}_{n\,{\rm{ số \, 7}}}\]
\[ \Leftrightarrow B = 7\left( {1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace {{\rm{11}}...{\rm{1 }}}_{n\,{\rm{ số }}\,1}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{B}{7} = 1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace {{\rm{11}}...{\rm{1 }}}_{n\,{\rm{ số\, }}1}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = 9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace {{\rm{99}}...{\rm{9 }}}_{n\,{\rm{ số\, 9}}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = (10 - 1) + \left( {{{10}^2} - 1} \right) + \left( {{{10}^3} - 1} \right) + \cdots + \left( {{{10}^n} - 1} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + \cdots + {{10}^n}} \right) - (1 + 1 + \underbrace {......}_{n{\rm{ \,số\, }}1} + 1)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \frac{{10\left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}} - n\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 9n - 10}}{9}\]
\[ \Leftrightarrow B = \frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\].
Vậy \[B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace {{\rm{77}}...{\rm{7 }}}_{n{\rm{ \,số\, 7}}} = \frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\].
Cho dãy số (un) xác định bởi \[{u_1} = \frac{1}{3}\,{\rm{ và }}\,{{\rm{u}}_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{{{\rm{n}} + 1}}{{3{\rm{n}}}}{u_{\rm{n}}}\].
Tổng \[{\rm{S}} = {u_1} + \frac{{{u_2}}}{2} + \frac{{{u_3}}}{3} + \ldots + \frac{{{u_{10}}}}{{10}}\] có giá trị bằng
\[\frac{{3\,\,280}}{{6\,\,561}}\];
\[\frac{{29\,\,524}}{{59\,\,049}}\];
\[\frac{{25\,\,942}}{{59\,\,049}}\];
\[\frac{1}{{243}}\].
Đáp án đúng là: B
Đặt \[{v_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{{{u_{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{1}{3}\;{v_{\rm{n}}}}\\{{v_1} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\]
Suy ra \[{\rm{S}} = \sum\limits_1^{10} {\;{v_{\rm{n}}}} \] trong đó là cấp số nhân với công sai \[{\rm{q}} = \frac{1}{3}\].
Do đó \[{\rm{S}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{29\,\,524}}{{59\,\,049}}\].
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: u1 = 4; q = 2 và Sn = 2 044. Giá trị của S2n là
4 088;
16 352;
4(212 – 1);
4(218 – 1).
Đáp án đúng là: D
Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy là:
\[{S_n} = \frac{{4 \cdot \left( {{2^n} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 2044\]
\[ \Leftrightarrow {2^{\rm{n}}} - 1 = 511 \Leftrightarrow {2^{\rm{n}}} = 512 \Leftrightarrow {\rm{n}} = 9.\]
Khi đó: \[{S_{18}} = \frac{{4 \cdot \left( {{2^{18}} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 4 \cdot \left( {{2^{18}} - 1} \right)\].
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right.\]. Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là
\[A.\frac{2}{3} \cdot \left[ {1 - {3^{19}}} \right]\];
\[B.\frac{2}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]\];
\[C.\frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]\];
\[D.\frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {3^{20}}} \right]\].
Đáp án đúng là: C
Gọi q là công bội của cấp số nhân.
Theo giả thiết ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_1} \cdot {q^2} = 243{u_1} \cdot {q^7}}\end{array}} \right.} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{{q^2} = 243{q^7}}\end{array}} \right.\] (vì \[{u_1} \ne 0\])
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{1 = 243{q^5}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.\].
Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là:
\[{S_{20}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{20}}}}{{1 - q}} = 1 \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]\].
