Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có đáp án
8 câu hỏi
Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).
Kẻ AH ^ (BCD) tại H, ta có BH là hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (BCD) nên góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng góc giữa hai đường AB và BH, mà (AB, BH) = ABH^.
Vì AB = AC = AD nên HD = HB = HC hay H là tâm của tam giác BCD.
Gọi M là giao điểm của BH là CD.
Vì tam giác BCD đều cạnh a nên BM là đường cao, trung tuyến và BM=a32, suy ra BH=23BM=a33.
Xét tam giác ABH vuông tại H có: cosABH^=BHAB=a33a=33.
Vậy côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng 33.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA ⊥(ABCD), SA=a2.
a) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
a) Vì SA ^ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD). Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và AC, mà (SC, AC) = SCA^.
Do ABCD là hình vuông cạnh a nên AC2 = AB2 + BC2 = 2a2 ⇒AC=a2.
Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ AC mà SA=AC=a2 nên tam giác SAC vuông cân tại A. Do đó SCA^=45°.
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 45°.
b) Tính tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB).
b) Vì SA ^ (ABCD) nên BC ^ SA mà BC ^ AB nên BC ^ (SAB), suy ra SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB).
Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng góc giữa đường thẳng SC và đường thẳng SB, mà SB,SC=BSC^.
Xét tam giác SAB vuông tại A, có SB=SA2+AB2=a3
Xét tam giác SBC vuông tại B, ta có: tanBSC^=BCSB=aa3=33.
Vậy tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng 33.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và AA'=a2, hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A'B'C'D') trùng với trung điểm của B'D'. Tính góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (A'B'C'D').
cosAA'O^=OA'AA'=a22a2=12⇒AA'O^=60°
Gọi O là giao điểm của A'C' và B'D'.
Khi đó, O là trung điểm của A'C' và B'D'.
Theo đề bài ta có O là hình chiếu của A trên mặt phẳng (A'B'C'D').
Do đó, A'O là hình chiếu vuông góc của AA' trên mặt phẳng (A'B'C'D'). Khi đó góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng góc giữa AA' và A'O. Mà AA',A'O=AA'O^.
Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên A'B'C'D' là hình vuông cạnh a. Do đó A'C'2 = A'B'2 + B'C'2 = a2 + a2 = 2a2 ⇒ A'C'=a2.
⇒A'O=a22.
Xét tam giác AOA' vuông tại O, có cosAA'O^=OA'AA'=a22a2=12⇒AA'O^=60°.
Vậy góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng 60°.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a.
a) Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD).
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
c) Gọi M là trung điểm của cạnh SC và a là góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC). Tính sina.
Một con diều được thả với dây căng, tạo với mặt đất một góc 60°. Đoạn dây diều (từ đầu ở mặt đất đến đầu ở con diều) dài 10 m. Hỏi hình chiếu vuông góc trên mặt đất của con diều cách đầu dây diều trên mặt đất bao nhiêu centimét (lấy giá trị nguyên gần đúng)?
Gọi A là vị trí con diều, B là vị trí đầu dây diều trên mặt đất, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt đất.
Xét tam giác ABH vuông tại H, ABH^=60°, AB = 10 m = 1 000 cm.
Ta có AH = AB × sin60°» 866 (cm).
Vậy hình chiếu vuông góc trên mặt đất của con diều cách đầu dây diều trên mặt đất khoảng 866 centimét.
