Bài tập Vận dụng định lí ba đường vuông góc để chứng minh hai đường thẳng vuông góc lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AB

Vì BC ⊥ AB tại B nên theo định lí ba đường vuông góc ⇒ BC ⊥ SB

Xét mặt phẳng (SBC): BC ⊥ SB, BC ⊥ SA (do SA ⊥ (ABC)) ⇒ BC ⊥ (SAB)

Mặt khác, AH ⊂ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH

Xét mặt phẳng (SBC): AH ⊥ SB, AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ (SBC)

Vì SC ⊂ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC.

Đáp án đúng là: B

Vì SH ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AH

Vì ABCD là hình vuông ⇒ AC ⊥ BD. Do A, H, C thẳng hàng nên AH ⊥ BD

Lại có: BD ⊂ (ABCD) ⇒ BD ⊥ SA (định lý ba đường vuông góc).

Đáp án đúng là: B

Vì SO ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SH trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng OH

Đường thẳng BC ⊂ (ABCD) và BC ⊥ OH tại H

Áp dụng định lí ba đường vuông góc cho đường xiên SH và hình chiếu OH

⇒ BC ⊥ SH

Đáp án đúng là: A

Vì hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là H nên SH ⊥ (ABC). Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng HC

Do △ABC đều và H là trung điểm của AB nên đường trung tuyến HC đồng thời là đường cao ⇒ AB ⊥ HC

Theo định lí ba đường vuông góc, vì AB ⊥ HC ⇒ AB ⊥ SC.

Đáp án đúng là: B

Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC

Do ABCD là hình vuông ⇒ BD ⊥ AC

Theo định lí ba đường vuông góc, ta có: BD ⊂ (ABCD), BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ SC

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Do SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của S là A, hình chiếu vuông góc của D là chính nó

Vậy hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là AD.

b) Đúng. Theo câu a), hình chiếu vuông góc của đường thẳng SD trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AD

Ta có: CD ⊂ (ABCD), CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật)

Theo định lý ba đường vuông góc ⇒ CD ⊥ SD.

c) Sai. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC

Mà BC không vuông góc với AC ⇒ BC không vuông góc với SC.

d) Sai. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC

Mà BD không vuông góc với AC (do ABCD là hình chữ nhật)

⇒ BD không vuông góc với SC.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là O, điểm B ∈ (ABCD) nên hình chiếu của B trên (ABCD) là chính B

Do đó hình chiếu của đường thẳng SB trên (ABCD) là đường thẳng OB.

b) Đúng. Theo câu a), hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng OB

Vì O, B, D thẳng hàng nên OB ⊂ BD

Do AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ OB

Lại có: AC ⊂ (ABCD). Theo định lý ba đường vuông góc ⇒ AC ⊥ SB.

c) Đúng. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng OA

Vì O, A, C thẳng hàng nên OA ⊂ AC

Do AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ OA

Lại có: BD ⊂ (ABCD). Theo định lý ba đường vuông góc ⇒ BD ⊥ SA

d) Sai. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng OC

Vì O, A, C thẳng hàng nên OC ⊂ AC

Mà AB không vuông góc với đường chéo AC ⇒ AB không vuông góc với OC

⇒ AB không vuông góc với SC.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: SO ⊥ (ABCD) ⇒ Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng OC

Mà (ABCD) là hình vuông ⇒ BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ OC (do OC ⊂ AC)

Theo định lí ba đường vuông góc, suy ra BD ⊥ SC

b) Sai. Theo câu a), ta biết hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng OC

Vì O là tâm hình vuông nên O ∈ AC, suy ra OC ⊂ AC

Mà cạnh AD không vuông góc với đường chéo AC. Do đó, AD không vuông góc với OC

⇒ Theo định lý ba đường vuông góc: AD không vuông góc với SC.

c) Sai. Ta có SO ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SD trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng OD

Mà O, D, B thẳng hàng nên OD ⊂ BD. Trong hình vuông, đường chéo BD không vuông góc với cạnh AB. Do đó AB không vuông góc với OD

⇒ AB không vuông góc với SD.

d) Sai. Theo câu b), hình chiếu vuông góc của SB trên (ABCD) là OB

Mà O, B, D thẳng hàng nên OB ⊂ BD. Trong hình vuông, cạnh CD không vuông góc với đường chéo BD.

Do đó CD không vuông góc với OB

⇒ CD không vuông góc với SB.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì SO ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABC) là BO

Theo giả thiết BO ⊥ AC ⇒ theo định lí ba đường vuông góc, SB ⊥ AC.

b) Đúng. Vì tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp O cũng là giao điểm các đường trung tuyến và các đường cao.

⇒ AO ⊥ BC

Mà AO là hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABC)

Theo định lí ba đường vuông góc ⇒ SA ⊥ BC.

c) Đúng. Vì SO ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABC) là AO

Theo giả thiết, AO ⊥ BC

⇒ Theo định lí ba đường vuông góc, SA ⊥ BC.

d) Sai. Nếu AB ⊥ AC ⇒ △ABC vuông tại A

⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm O của cạnh BC

⇒ AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông

⇒ AO không vuông góc với AC

Mà AO là hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABC)

⇒ SA không vuông góc với AC.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SD trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AD.

Do ABCD là hình thang vuông tại D nên CD ⊥ AD

Áp dụng định lý ba đường vuông góc, do CD ⊥ AD nên CD ⊥ SD.

b) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC (1)

Gọi M là trung điểm của AB ⇒ AM = MB = a

⇒ Tứ giác ADCM là hình vuông cạnh a ⇒ AC = \(a\sqrt 2 \)

Xét △BMC vuông tại M:

BC = \(\sqrt {C{M^2} + M{B^2}} \) = \(\sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \) (định lý Pytago)

Xét △ABC có: AC² + BC² = 2a² + 2a² = 4a² = AB²

⇒ △ABC vuông tại C (định lý Pytago đảo) ⇒ BC ⊥ AC (2)

Từ (1), (2), áp dụng định lý ba đường vuông góc ⇒ BC ⊥ SC.

c) Sai. Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AB

Mà CD không vuông góc với AB

Áp dụng định lý ba đường vuông góc, do CD không vuông góc với hình chiếu AB nên CD không vuông góc với SB.

d) Sai. Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SD trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AD

Mà AD không vuông góc với CM (do ADCM là hình vuông ⇒ AD ∥ CM)

⇒ CM không vuông góc với SD.

Đáp án: 17

Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Vì △ABC cân tại A ⇒ AM ⊥ BC

Mặt khác, do SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SM trên (ABC) là AM

Theo định lý ba đường vuông góc, vì BC ⊂ (ABC) và BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ SM.

Do đó, SM là đường cao của △SBC

Xét △ABM vuông tại M, ta có:

AM = \(\sqrt {A{B^2} - B{M^2}} \) = \(\sqrt {{5^2} - {3^2}} \) = 4 (định lý Pytago)

Xét △SAM vuông tại A, ta có:

SM = \(\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} \) = \(\sqrt {{4^2} + {4^2}} \) = \(4\sqrt 2 \) (định lý Pytago)

⇒ S_△SBC = \(\frac{1}{2}\) ⋅ SM ⋅ BC = \(\frac{1}{2}\) ⋅ \(4\sqrt 2 \) ⋅ 6 = 12\(\sqrt 2 \) ≈ 17.

Đáp án: 7,5

Vì ABCD là hình vuông ⇒ CD ⊥ AD

Do SA ⊥ (ABCD) nên AD là hình chiếu vuông góc của SD trên (ABCD)

Theo định lý ba đường vuông góc, vì CD ⊂ (ABCD) và CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD

Do đó, △SCD vuông tại D

Xét △SAD vuông tại A, ta có:

SD = \(\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} \) = \(\sqrt {{4^2} + {3^2}} \) = 5 (định lý Pytago)

⇒ S_△SCD = \(\frac{1}{2}\) ⋅ SD ⋅ CD = \(\frac{1}{2}\) ⋅ 5 ⋅ 3 = 7,5.

Đáp án: 10,6

Xét hình thang vuông ABCD, kẻ đường cao CH ⊥ AB (H ∈ AB).

Khi đó AHCD là hình vuông cạnh bằng 3 ⇒ AH = 3 và BH = AB – AH = 6 – 3 = 3

Xét △ABC có đường trung tuyến CH = 3 = \(\frac{1}{2}\)AB, do đó △ABC vuông tại C ⇒ BC ⊥ AC

Do SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD)

Theo định lý ba đường vuông góc, vì BC ⊂ (ABCD) và BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ SC

Xét △ADC vuông tại D, ta có:

AC = \(\sqrt {A{D^2} + C{D^2}} \) = \(\sqrt {{3^2} + {3^2}} \) = 3\(\sqrt 2 \) (định lý Pytago)

Xét △SAC vuông tại A, ta có:

SC = \(\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = \(\sqrt {7 + 18} \) = 5 (định lý Pytago)

Xét △CHB vuông tại H (do CH ⊥ AB), ta có:

BC = \(\sqrt {B{H^2} + C{H^2}} \) = \(\sqrt {{3^2} + {3^2}} \) = \(3\sqrt 2 \) (định lý Pytago)

Diện tích △SBC là: S_△SBC = \(\frac{1}{2}\)SC ⋅ BC = \(\frac{1}{2}\) ⋅ 5 ⋅ \(3\sqrt 2 \) = \(\frac{{15\sqrt 2 }}{2}\) ≈ 10,6.

Đáp án: 8,7

Vì △ABC đều có I là trung điểm của BC nên ta có AI ⊥ BC

Do SA ⊥ (ABC) nên AI là hình chiếu vuông góc của SI trên (ABC)

Theo định lý ba đường vuông góc, vì BC ⊂ (ABC) và BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ SI.

Do đó △SBC cân tại S và có đường cao là SI

Đồng thời, △SAI là tam giác vuông tại A

Độ dài đường cao tam giác đều ABC là: AI = \(\frac{{2\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}{2}\) = 3

Xét △SAI vuông tại A, ta có:

SI = \(\sqrt {S{A^2} + A{I^2}} \) = \(\sqrt {{4^2} + {3^2}} \) = 5 (định lý Pytago)

Diện tích △SBC là: S_△SBC = \(\frac{1}{2}\)SI ⋅ BC = \(\frac{1}{2}\) ⋅ 5 ⋅ \(2\sqrt 3 \) = \(5\sqrt 3 \) ≈ 8,7.

Đáp án: 4

Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD ⊥ AD

Do SA ⊥ (ABCD) nên AD là hình chiếu vuông góc của SD trên (ABCD)

Theo định lý ba đường vuông góc, vì CD ⊂ (ABCD) và CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD.

Do đó, △SCD vuông tại D

⇒ S_△SCD = \(\frac{1}{2}\) ⋅ SD ⋅ CD ⇔ 10 = \(\frac{1}{2}\) ⋅ SD ⋅ 4 ⇔ SD = 5

Xét △SAD vuông tại A (với AD = BC = 3), ta có:

SA = \(\sqrt {S{D^2} - A{D^2}} \) = \(\sqrt {{5^2} - {3^2}} \) = 4 (định lý Pytago).