10 Bài tập Vận dụng định lí ba đường vuông góc để chứng minh hai đường thẳng vuông góc (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a' của a trên (P).

Đáp án đúng là: A

Do SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là A.

Do đó, hình chiếu vuông góc của SB lên (ABCD) là AB.

Do ABCD là hình vuông nên AB ⊥ AD.

Suy ra: SB ⊥ AD (định lí ba đường vuông góc).

Đáp án đúng là: B

Vì SH ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD) là AH

Vì ABCD là hình vuông, H là tâm hình vuông ABCD nên AH vuông góc với BD

Do đó, SA vuông góc với BD (định lí ba đường vuông góc).

Đáp án đúng là: A

Do SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là A.

Do đó, hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD) là AD.

Do ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD.

Suy ra: SD ⊥ CD (định lí ba đường vuông góc).

Do đó, tam giác SCD vuông tại D.

Đáp án đúng là: D

Do SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là A, do đó, hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD) là AC.

Mà do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD

Theo định lí ba đường vuông góc, ta có: SC ⊥ BD

Do SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là A, do đó, hình chiếu vuông góc của SB lên (ABCD) là AB.

Mà do ABCD là hình vuông nên AB ⊥ BC

Theo định lí ba đường vuông góc, ta có: SB ⊥ BC

Do SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là A, do đó, hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD) là AD.

Mà do ABCD là hình vuông nên AD ⊥ CD

Theo định lí ba đường vuông góc, ta có: SD ⊥ CD

Vậy các đáp án A, B, C đúng nên D sai.

Đáp án đúng là: A

Do ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD = a, AD = BC = a\(\sqrt 2 \)

Do AD // BC nên tam giác AIM đồng dạng với tam giác CIB

Ta có tỉ số đồng dạng: \(\frac{{AI}}{{IC}} = \frac{{MI}}{{IB}} = \frac{{AM}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) (vì M là trung điểm của AD và AD = BC)

Suy ra:

AI = \(\frac{1}{3}\)AC, IB = \(\frac{2}{3}\)BM

Xét tam giác BAM vuông tại A có:

BM² = AB² + AM² = \({a^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow BM = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow IB = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Xét tam giác BAC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC² = \({a^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 3{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác ABI có:

AI² + BI² = \({\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{9{a^2}}}{9} = {a^2}\) = AB²

Do đó, tam giác ABI vuông tại I (theo định lí Py-ta-go đảo)

Suy ra: AI vuông góc với BI hay AC vuông góc với BM tại I

Mà AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD) nên SC vuông góc với BM.

Đáp án đúng là: A

Hình chóp S.ABC có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên là hình tứ diện đều.

Khi đó, hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và chính là trọng tâm H của tam giác ABC.

Do đó, H thuộc đường trung tuyến AM của tam giác ABC, mà ABC là tam giác đều nên AH cũng là đường cao, do đó, AH ⊥ BC.

Hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC) là AH.

Suy ra: SA ⊥ BC.

Đáp án đúng là: D

Ta có hình chiếu vuông góc của S lên (MNPQ) là A.

Vì N thuộc (MNPQ) nên hình chiếu vuông góc của N lên (MNPQ) là N.

Do đó, hình chiếu vuông góc của SN lên (MNPQ) là AN.

Vì A là trung điểm của MN, B là trung điểm của QP và MNPQ là hình chữ nhật.

Nên AB // MQ // NP.

Mà AN vuông góc với NP.

Suy ra: AB vuông góc với AN.

Theo định lí ba đường vuông góc, ta có: SN vuông góc với AB.

Đáp án đúng là: A

Vì SA vuông góc với đáy nên hình chiếu vuông góc của S lên (MNPQ) là A.

Vì C thuộc (MNPQ) nên hình chiếu vuông góc của C lên (MNPQ) là C.

Do đó, hình chiếu vuông góc của SC lên (MNPQ) là AC.

Vì MNPQ là hình vuông nên:

MP ⊥ NQ, MP = NQ

Vì A, B, C, D lần lượt là trung điểm của của MN, PQ, MQ, NP

Do đó, ACBD là hình vuông.

Suy ra: AC ⊥ CB

Vậy SC ⊥ CB (theo định lí ba đường vuông góc).