Bài tập Xác định hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng, một tam giác lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD tại O ⇒ BO ⊥ AC (1)

Mà SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BO (2)

Từ (1) và (2), suy ra BO ⊥ (SAC)

Do O ∈ (SAC), nên O là hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (SAC)

Lại có S ∈ (SAC), nên hình chiếu vuông góc của điểm S lên (SAC) là chính S

Do đó SO là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAC).

Đáp án đúng là: D

Vì SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC (1)

Do △ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2), suy ra BC ⊥ (SAB)

⇒ BC ⊥ AH (3)

Mà AH là đường cao của ΔSAB ⇒ AH ⊥ SB (4)

Từ (3), (4) suy ra AH ⊥ (SBC).

Do AH ⊥ (SBC) và H ∈ (SBC) ⇒ H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (SBC).

Đáp án đúng là: D

Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là điểm A

Mặt khác, C ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của điểm C trên (ABC) là chính C

Vậy hình chiếu của SC trên (ABC) là AC.

Đáp án đúng là: B

Vì SA ⊥ (ABC) tại A ⇒ Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là điểm A

Hai điểm B, C ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của chúng trên mặt phẳng (ABC) lần lượt là B và C

Vậy hình chiếu vuông góc của △SBC trên mặt phẳng (ABC) là △ABC.

Đáp án đúng là: B

Vì SA ⊥ (ABCD) tại A

⇒ Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm A

Hai điểm C, D ∈ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của chúng trên mặt phẳng (ABCD) lần lượt là C, D

Vậy hình chiếu vuông góc của △SCD trên (ABCD) là △ACD.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là điểm A.

b) Đúng. Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là điểm A.

Điểm B ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (ABC) là chính điểm B.

Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng đi qua hai điểm A và B, tức là đường thẳng AB.

c) Sai. Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là điểm A.

Điểm C ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của C trên mặt phẳng (ABC) là chính điểm C.

Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AC.

d) Đúng. Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là điểm A.

Hai điểm B, C ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của chúng trên mặt phẳng này lần lượt là B, C.

Vậy hình chiếu vuông góc của △SBC trên mặt phẳng (ABC) là △ABC.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì SO ⊥ (ABC) nên SO ⊥ OA, SO ⊥ OB, SO ⊥ OC.

Xét các tam giác vuông SOA, SOB, SOC có: SO là cạnh chung và SA = SB = SC (theo giả thiết).

⇒ △SOA = △SOB = △SOC

⇒ OA = OB = OC. Do đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC.

Mặt khác, △ABC vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp O chính là trung điểm của cạnh huyền AC

Vậy hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là trung điểm O của cạnh AC

b) Đúng. Ta có:

Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là điểm O

Điểm A ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là chính nó

Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng OA.

c) Sai. Ta có:

Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là điểm O

Điểm B ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của B trên (ABC) là chính nó.

Do đó, hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng SB trên mặt phẳng (ABC) là đoạn thẳng OB.

d) Đúng. Ta có:

Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là điểm O

Các điểm B, C ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của B, C trên (ABC) lần lượt là chính B và C

Vậy hình chiếu vuông góc của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC) là △OBC.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là điểm A

Điểm M ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của M trên (ABC) là chính điểm M

Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng SM trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AM.

b) Đúng. Vì △ABC cân tại A và M là trung điểm của BC nên AM ⊥ BC (1)

Lại có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SAM)

Vì BC ⊥ (SAM) và M ∈ BC ∩ (SAM) ⇒ M là hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng (SAM).

c) Đúng. Theo câu b), hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng (SAM) là điểm M

Mặt khác, S ∈ (SAM) nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (SAM) là chính điểm S.

Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (SAM) là đường thẳng SM.

d) Đúng. Ta có: Hình chiếu vuông góc của S trên (SAM) là S

Theo câu b), hình chiếu vuông góc của B trên (SAM) là M

Lại có: BC ⊥ (SAM) (chứng minh câu b)

Vì BC ⊥ (SAM) và M ∈ BC ∩ (SAM) ⇒ M là hình chiếu vuông góc của điểm C trên (SAM)

Vậy hình chiếu vuông góc của △SBC là đoạn thẳng SM.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (SAB) là chính điểm S

Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AD

Lại có ABCD là hình chữ nhật ⇒ AB ⊥ AD

AB và SA là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SAB) nên AD ⊥ (SAB)

Mà A ∈ (SAB), nên A là hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB)

Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng SD trên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng SA.

b) Đúng. Vì S ∈ (SAD), nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (SAD) là chính điểm S

Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB

Theo câu a), AB ⊥ AD

AD và SA là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SAD) nên AB ⊥ (SAD)

Mà A ∈ (SAD), nên A là hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (SAD) là đường thẳng SA.

c) Đúng. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (ABCD) ⇒ MH ⊥ (ABCD)

Vì SA ⊥ (ABCD) và MH ⊥ (ABCD) nên MH ∥ SA

Mặt khác, M ∈ SC nên hình chiếu của M trên (ABCD) thuộc hình chiếu của đường thẳng SC trên (ABCD)

Do SA ⊥ (ABCD), hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên (ABCD) là đường thẳng AC ⇒ H ∈ AC

Xét △SAC có: M là trung điểm của SC; MH ∥ SA

Theo định lí đường trung bình trong △SAC, suy ra H là trung điểm của AC

Vậy hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn thẳng AC.

d) Đúng. Vì S, M, C thẳng hàng nên SM ⊂ SC. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC

Do đó hình chiếu vuông góc của đường thẳng SM trên mặt phẳng (ABCD) cũng là đường thẳng AC.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Theo giả thiết, SH ⊥ (ABCD) tại H

Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H.

b) Đúng. Ta có: S và M cùng thuộc đường thẳng SC

Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H

Điểm C ∈ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (ABCD) là chính nó

Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng SM trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng HC.

c) Đúng. Ta có:

Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H

Các điểm C, D ∈ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của C và D trên (ABCD) lần lượt là chính C và D

Vậy hình chiếu vuông góc của △SCD trên mặt phẳng (ABCD) là △HCD.

d) Sai. Vì ABCD là hình vuông nên AD ⊥ AB

Mặt khác, SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AD

⇒ AD ⊥ (SAB) tại A

Do đó:

Hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB) là điểm A

Điểm S ∈ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của S trên (SAB) là chính nó

Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng SD trên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng SA.

Đáp án: 7,5

Vì SA ⊥ (ABCD) tại A nên hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm A

Mặt khác, hai điểm B, D ∈ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của B, D trên (ABCD) lần lượt là chính B, D

Do đó, hình chiếu vuông góc của △SBD trên mặt phẳng (ABCD) là △ABD

Vì ABCD là hình chữ nhật nên △ABD vuông tại A

Diện tích của △ABD là:

S_△ABD = \(\frac{1}{2}\) ⋅ AB ⋅ AD = \(\frac{1}{2}\) ⋅ 3 ⋅ 5 = 7,5 (cm²)

Vậy diện tích của hình chiếu vuông góc của △SBD trên mặt phẳng (ABCD) là 7,5 cm².

Đáp án: 2,2

Ta có: SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là điểm A

M ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của M trên (ABC) là chính M

⇒ Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng SM trên mặt phẳng (ABC) là đoạn thẳng AM

Vì △ABC vuông cân tại B, AB = BC = 2, M là trung điểm của BC

⇒ BM = \(\frac{{BC}}{2}\) = \(\frac{2}{1}\) = 1

Lại có: AB ⊥ BC ⇒ AB ⊥ BM ⇒ △ABM vuông tại B

Áp dụng định lý Pitago cho △ABM vuông tại B:

AM = \(\sqrt {A{B^2} + B{M^2}} \) = \(\sqrt {{2^2} + {1^2}} \) = \(\sqrt 5 \) ≈ 2,2.

Đáp án: 9,1

Vì SA ⊥ (ABC) tại A, M ∈ SA nên hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (ABC) là điểm A

Điểm C ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của C trên (ABC) chính là C

Gọi N' là hình chiếu vuông góc của N trên (ABC)

Do SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên (ABC) là đường thẳng AB

Vì N ∈ SB nên N' ∈ AB

Do đó, hình chiếu vuông góc của △MNC trên mặt phẳng (ABC) là △AN'C

Vì NN' ⊥ (ABC) ⇒ NN' ∥ SA

Ta có: SN = \(\frac{1}{4}\)SB ⇒ BN = \(\frac{3}{4}\)SB ⇒ \(\frac{{BN}}{{SB}} = \frac{3}{4}\)

Áp dụng định lý Ta-lét trong △SAB:

\(\frac{{BN'}}{{BA}} = \frac{{BN}}{{BS}}\) ⇒ BN' = \(\frac{3}{4}\) ⋅ AB = \(\frac{3}{4}\) ⋅ 4 = 3 (cm)

⇒ AN' = AB – BN' = 4 – 3 = 1 (cm)

△ABC vuông tại A nên AC ⊥ AB ⇒ AC ⊥ AN'

Do đó, △AN'C vuông tại A. Áp dụng định lý Pytago trong △AN'C:

N'C = \(\sqrt {A{{N'}^2} + A{C^2}} \) = \(\sqrt {{1^2} + {4^2}} \) = \(\sqrt {17} \) (cm) (định lý Pytago)

⇒ P_△AN'C = AN' + AC + N'C = 1 + 4 + \(\sqrt {17} \) ≈ 9,1 (cm)

Vậy chu vi của tam giác là hình chiếu vuông góc của △MNC trên mặt phẳng (ABC) xấp xỉ bằng 9,1 cm.

Đáp án: 4

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD)

⇒ Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm O

Mặt khác, A; B ∈ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của A và B trên (ABCD) lần lượt là chính A và B

⇒ Hình chiếu vuông góc của các điểm S, A, B lần lượt là O, A, B. Do đó hình chiếu vuông góc của tam giác SAB là tam giác OAB

Vì đáy ABCD là hình vuông cạnh 4, nên theo định lý Pitago:

AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \) = \(\sqrt {{4^2} + {4^2}} \) = \(4\sqrt 2 \)

⇒ OA = \(\frac{{AC}}{2}\) = \(\frac{{4\sqrt 2 }}{2}\) = \(2\sqrt 2 \)

Tương tự, OB = \(\frac{{BD}}{2}\) = \(2\sqrt 2 \)

Xét △AOB, ta có: OA² + OB² = \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2}\) = 8 + 8 = 16 = AB²

⇒ △AOB vuông tại O

⇒ S_AOB = \(\frac{1}{2}\) ⋅ OA ⋅ OB = \(\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt 2 \cdot 2\sqrt 2 \) = 4.

Đáp án: 5

Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là điểm A

Hai điểm A, B ∈ (ABCD) nên hình chiếu của chúng lần lượt là chính A, B

⇒ Hình chiếu vuông góc của △SAB trên (ABCD) là đoạn thẳng AB

Vì G là trọng tâm của △SAB nên hình chiếu vuông góc G' của G phải nằm trên đoạn thẳng AB

⇒ AG′ = \(\frac{1}{3}\)AB = \(\frac{1}{3}\) ⋅ 9 = 3

Do ABCD là hình chữ nhật nên AD ⊥ AB

Mà G′ ∈ AB ⇒ AD ⊥ AG′

⇒ △ADG′ vuông tại A. Áp dụng định lý Pitago:

DG′ = \(\sqrt {A{D^2} + A{{G'}^2}} \) = \(\sqrt {{4^2} + {3^2}} \) = \(\sqrt {25} \) = 5

Vậy DG′ = 5.