Bài tập Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên AB = BC = a\(\sqrt 2 \)

Xét △ABC vuông cân tại B:

AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = \(\sqrt {2{a^2} + 2{a^2}} \) = 2a (định lý Pytago)

Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AC

⇒ Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là \(\widehat {SCA}\)

Mà SA ⊥ AC, SA = AC = 2a ⇒ △SAC vuông cân tại A ⇒ \(\widehat {SCA}\) = 45°

Đáp án đúng là: A

Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ SA

Mà ABCD là hình chữ nhật ⇒ BC ⊥ AB

Vì AB và SA là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SAB) ⇒ BC ⊥ (SAB)

Do đó, hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng SB

⇒ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc \(\widehat {CSB}\)

Xét tam giác SBC, ta có BC ⊥ SB nên tam giác SBC vuông tại B

Mặt khác, SB = \(\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} \) = \(\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = \(a\sqrt 3 \) (định lý Pytago) và BC = AD = a

⇒ tan\(\widehat {CSB}\) = \(\frac{{BC}}{{SB}}\) = \(\frac{a}{{a\sqrt 3 }}\) = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\) ⇒ \(\widehat {CSB}\) = 30°.

Đáp án đúng là B

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vì hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD)

⇒ Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AO

⇒ Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SAO}\)

Xét tam giác SAO vuông tại O: AO = \(\frac{{AC}}{2}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) = \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

Mặt khác: SO = \(\sqrt {S{A^2} - A{O^2}} \) = \(\sqrt {{{(2a)}^2} - {{\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} \) = \(\sqrt {4{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} \) = \(\frac{{a\sqrt {14} }}{2}\)

⇒ tan\(\widehat {SAO}\) = \(\frac{{SO}}{{AO}}\) = \(\frac{{a\sqrt {14} }}{2}\) : \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\) = \(\sqrt 7 \).

Đáp án đúng là: B

Do △ABC vuông cân tại B và M là trung điểm của AC

⇒ BM ⊥ AC và BM = \(\frac{1}{2}\)AC = a

Mặt khác, SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BM

Từ BM ⊥ AC và BM ⊥ SA ⇒ BM ⊥ (SAC)

Do đó, M là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (SAC)

Vì S ∈ (SAC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (SAC) là đường thẳng SM

⇒ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) là góc \(\widehat {BSM}\)

Xét △ABC vuông cân tại B với AC = 2a, ta có: AB = \(\frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \)

Xét △SAB vuông tại A (do SA ⊥ AB), ta có:

SB = \(\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = 2a (định lý Pytago)

Xét △SBM vuông tại M (do BM ⊥ (SAC) ⇒ BM ⊥ SM), ta có:

sin\(\widehat {BSM}\) = \(\frac{{BM}}{{SB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}\) ⇒ \(\widehat {BSM}\) = 30°.

Đáp án đúng là: C

Ta có: BC ⊥ AB (do △ABC vuông tại B)

Mặt khác, SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Từ BC ⊥ AB và BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) tại B

Do đó, điểm B là hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (SAB)

Vì S ∈ (SAB) và B là hình chiếu vuông góc của C trên (SAB), nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng SB

⇒ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc α = \(\widehat {CSB}\)

Xét △SAB vuông tại A (do SA ⊥ AB), ta có:

SB = \(\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \) (định lý Pytago)

Xét △SBC vuông tại B (do BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB), ta có:

⇒ tan α = tan\(\widehat {CSB}\) = \(\frac{{BC}}{{SB}}\) = \(\frac{a}{{a\sqrt 2 }}\) = \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Vậy tan α = \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AB

⇒ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là \(\widehat {SBA}\).

b) Đúng. Theo câu a), (SB, (ABC)) = \(\widehat {SBA}\)

Xét tam giác vuông SAB tại A: SA = AB = a

⇒ tan\(\widehat {SBA}\) = \(\frac{{SA}}{{AB}}\) = \(\frac{a}{a}\) = 1.

c) Sai. Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AC

Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là \(\widehat {SCA}\).

d) Sai. Theo câu c), (SC, (ABC)) = \(\widehat {SCA}\)

Xét tam giác ABC vuông tại B:

AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \) = \(\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} \) = 2a (định lý Pytago)

Xét tam giác SAC vuông tại A: tan\(\widehat {SCA}\) = \(\frac{{SA}}{{AC}}\) = \(\frac{a}{{2a}}\) = \(\frac{1}{2}\) ⇒ \(\widehat {SCA}\) ≈ 26,6° ≠ 30°.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB

Mà ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ AD ⊥ AB

Vì AD và SA là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SAD) ⇒ AB ⊥ (SAD)

Mà CD ∥ AB, nên CD ⊥ (SAD)

⇒ Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (SAD) là đường thẳng SD

⇒ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc \(\widehat {CSD}\)

Xét △SAD vuông tại A có: SD = \(\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} \) = \(a\sqrt 3 \) (định lý Pytago)

Xét △SAC vuông tại A: SC = \(\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} \) = \(\sqrt {2{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = 2a (định lý Pytago)

Mà SD² + CD² = \({\left( {a\sqrt 3 } \right)^2}\) + a² = 3a² + a² = 4a² = SC²

⇒ △SCD vuông tại D (áp dụng định lý Pytago đảo)

⇒ tan\(\widehat {CSD}\) = \(\frac{{CD}}{{SD}}\) = \(\frac{a}{{a\sqrt 3 }}\) = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\) ⇒ \(\widehat {CSD}\) = 30°.

b) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AB

⇒ Góc giữa SB và (ABCD) là \(\widehat {SBA}\)

Xét tam giác vuông SAB tại A, ta có: tan\(\widehat {SBA}\) = \(\frac{{SA}}{{AB}}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{a}\) = \(\sqrt 2 \)

⇒ \(\widehat {SBA}\) ≈ 54,75°.

c) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC

⇒ Góc giữa SC và (ABCD) là \(\widehat {SCA}\)

Xét △SAC: AC = SA = \(a\sqrt 2 \), SA ⊥ AC

⇒ △SAC vuông cân tại A ⇒ \(\widehat {SCA}\) = 45°.

d) Sai. Ta có: BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông), BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD))

Vì AB và SA cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (SAB) ⇒ BC ⊥ (SAB)

Do đó, hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng SB

⇒ Góc giữa SC và (SAB) là \(\widehat {CSB}\)

Xét tam giác vuông SBC tại B:

SB = \(\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} \) = \(a\sqrt 3 \) (định lý Pytago trong △SAB vuông tại A)

BC = a

⇒ tan\(\widehat {CSB}\) = \(\frac{{BC}}{{SB}}\) = \(\frac{a}{{a\sqrt 3 }}\) = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\) ⇒ \(\widehat {CSB}\) = 30° ≠ 60°.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì SO ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng OB

Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là \(\widehat {SBO}\)

Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt 3 \) nên: OB = \(\frac{2}{3} \cdot \frac{{\left( {a\sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 }}{2}\) = a

Xét tam giác SOB vuông tại O, ta có:

SO = \(\sqrt {S{B^2} - O{B^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} \) = a\(\sqrt 3 \)

⇒ tan\(\widehat {SBO}\) = \(\frac{{SO}}{{OB}}\) = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{a}\) = \(\sqrt 3 \).

b) Đúng. Vì SO ⊥ (ABC) (do O là tâm của tam giác ABC)

⇒ Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AO

⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AO) = \(\widehat {SAO}\).

c) Đúng. Theo câu b), (SA, (ABC)) = (SA, AO) = \(\widehat {SAO}\)

Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt 3 \) nên: AO = \(\frac{2}{3}\)AM = \(\frac{2}{3} \cdot \frac{{\left( {a\sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 }}{2}\) = a

Xét tam giác SAO vuông tại O: SA = 2a, AO = a

⇒ cos\(\widehat {SAO}\) = \(\frac{{AO}}{{SA}}\) = \(\frac{a}{{2a}}\) = \(\frac{1}{2}\) ⇒ \(\widehat {SAO}\) = 60°.

d) Sai. Vì SO ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SM trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng OM

⇒ (SM, (ABC)) = (SM, OM) = \(\widehat {SMO}\)

Trong tam giác đều ABC: OM = \(\frac{1}{3}\)AM = \(\frac{1}{3} \cdot \frac{{\left( {a\sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 }}{2}\) = \(\frac{a}{2}\)

Ta có: SO = \(a\sqrt 3 \)

⇒ tan\(\widehat {SMO}\) = \(\frac{{SO}}{{OM}}\) = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{{\frac{a}{2}}}\) = 2\(\sqrt 3 \) ⇒ \(\widehat {SMO}\) ≈ 73,9°.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông) và BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD))

⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AE (vì AE ⊂ (SAB))

Lại có: vì E là hình chiếu của A trên SB nên AE ⊥ SB

Do đó AE ⊥ (SBC). Suy ra (AE, (SBC)) = 90°.

b) Sai. Vì F là hình chiếu của A trên SD nên AF ⊥ SD

Do CD ⊥ AD (ABCD là hình vuông), CD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) ⇒ CD ⊥ (SAD)

Vì AF ⊂ (SAD) nên AF ⊥ CD

Do SD và CD cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (SCD) ⇒ AF ⊥ (SCD)

⇒ (AF, (SCD)) = 90° ≠ 60°.

c) Đúng. Ta có: BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông), BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD))

Vì AB và SA cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (SAB) ⇒ BC ⊥ (SAB)

Mà AE ⊂ (SAB) ⇒ BC ⊥ AE

Vì AE vuông góc với hai đường thẳng BC và SB cắt nhau tại B và cùng thuộc mặt phẳng (SBC) ⇒ AE ⊥ (SBC)

Do đó, hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (SBC) là đường thẳng SE

Mà SE ⊂ SB ⊂ (SBC)

⇒ (SA, (SBC)) = \(\widehat {ASB}\)

Xét △SAB vuông A có: SA = AB = a ⇒ △SAB vuông cân A

⇒ \(\widehat {ASB}\) = 45°

d) Sai. Theo câu a, AE ⊥ (SBC)

Vì SC ⊂ (SBC) ⇒ AE ⊥ SC (1)

Theo câu b), AF ⊥ (SCD)

Vì SC ⊂ (SCD) ⇒ AF ⊥ SC (2)

Từ (1), (2) ⇒ SC ⊥ (AEF) ⇒ (SC, (AEF)) = 90°.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Do SA ⊥ (ABC) tại A nên A là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC)

Điểm B ∈ (ABC) nên hình chiếu của B lên (ABC) là chính nó

Do đó, AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABC)

⇒ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là góc \(\widehat {SBA}\).

b) Đúng. △SAB vuông tại A (do SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AB)

Mặt khác, SA = a và AB = a nên △SAB vuông cân tại A

Do đó, \(\widehat {SBA}\) = 45°

Vậy số đo góc giữa SB và (ABC) bằng 45°.

c) Sai. Vì A là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)

⇒ AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABC)

⇒ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) phải là góc \(\widehat {SCA}\).

d) Đúng. Theo câu c), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc \(\widehat {SCA}\)

Xét △ABC vuông cân tại B có AB = BC = a: AC = \(\sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)

Xét △SAC vuông tại A: tan\(\widehat {SCA}\) = \(\frac{{SA}}{{AC}}\) = \(\frac{a}{{a\sqrt 2 }}\) = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án: 60

Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC

⇒ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SCA}\)

Xét tam giác ABC vuông tại B:

AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \) = \(\sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} \) = \(a\sqrt 5 \) (định lý Pytago)

Vì SA ⊥ (ABCD), AC ⊂ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC ⇒ Tam giác SAC vuông tại A

Xét tam giác SAC vuông tại A: tan\(\widehat {SCA}\) = \(\frac{{SA}}{{AC}}\) = \(\frac{{a\sqrt {15} }}{{a\sqrt 5 }}\) = \(\sqrt 3 \) ⇒ \(\widehat {SCA}\) = 60°.

Đáp án: 30

Do ABCD là hình vuông nên AD ⊥ AB

Mặt khác, SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AD

Từ AD ⊥ AB và AD ⊥ SA ⇒ AD ⊥ (SAB) tại A

Do đó, A là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (SAB)

Vì S ∈ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (SAB) là đoạn thẳng SA

⇒ Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) là góc \(\widehat {DSA}\)

Xét △SAD vuông tại A (do SA ⊥ AD), ta có:

tan\(\widehat {DSA}\) = \(\frac{{AD}}{{SA}}\) = \(\frac{a}{{a\sqrt 3 }}\) = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\) ⇒ \(\widehat {DSA}\) = 30°.

Đáp án: 45

Vì hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và các cạnh đều bằng a, nên S cách đều bốn đỉnh A, B, C, D. Do đó S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) đi qua tâm O của hình vuông ⇒ SO ⊥ (ABCD)

Mà AC, BD ⊂ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AC, SO ⊥ BD

Lại có SO ⊂ (SBD), nên SO là hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (SBD)

Do đó, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) là \(\widehat {ASO}\)

Xét tam giác SAC, ta có: SA² + SC² = a² + a² = 2a² = \({\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\) = AC² và SA = SC

⇒ Tam giác SAC vuông cân tại S (áp dụng định lý Pytago đảo)

Do O là trung điểm của AC, nên trong tam giác vuông SAC, O là trung điểm của cạnh huyền AC ⇒ SO = AO = \(\frac{{AC}}{2}\) ⇒ tam giác SAO vuông cân tại O ⇒ \(\widehat {ASO}\) = 45°.

Đáp án: 38

Gọi S là đỉnh của kim tự tháp, ABCD là đáy hình vuông, O là tâm của hình vuông đáy

Theo giả thiết, SO ⊥ (ABCD), SO = 100 m

Vì O là tâm hình vuông cạnh 180 m: OA = \(\frac{{AC}}{2}\) = \(\frac{{180\sqrt 2 }}{2}\) == \(90\sqrt 2 \) (m)

Do SO ⊥ (ABCD) ⇒ hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AO

⇒ Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD) là \(\widehat {SAO}\)

Vì SO ⊥ (ABCD), AO ⊂ AC ⊂ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AO ⇒ △SAO vuông tại O

Xét tam giác SAO vuông tại O, ta có: tan\(\widehat {SAO}\) = \(\frac{{SO}}{{OA}}\) = \(\frac{{100}}{{90\sqrt 2 }}\) = \(\frac{{5\sqrt 2 }}{9}\) ⇒ \(\widehat {SAO}\) ≈ 38°.

Vậy góc giữa cạnh bên và mặt đáy của kim tự tháp đó bằng xấp xỉ 38°.

Đáp án: 45

Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC

⇒ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SCA}\)

Xét tam giác ACD vuông tại C: AC = \(\sqrt {A{D^2} - C{D^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} \) = \(a\sqrt 3 \)

Vì SA ⊥ (ABCD), AC ⊂ (ABCD), SA = AC = \(a\sqrt 3 \) ⇒ tam giác SAC vuông cân tại A

⇒ \(\widehat {SCA}\) = 45°

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.