10 Bài tập Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho hình chóp S.ABC, có SA ⊥ (ABC). Góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy là góc nào dưới đây?
SAC^
SBC^
SCA^
CSA^
Đáp án đúng là: C
Ta có: SC ∩ (ABC) = C.
Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A.
Do đó, ta có: SC,ABC=SC,AC=SCA^ .
Cho hình chóp S.ABC, có SA ⊥ (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và đáy là góc nào dưới đây?
SBA^
SBC^
SCA^
CSA^
Đáp án đúng là: A
Ta có: SB ∩ (ABC) = B
Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A.
Do đó, ta có: SB,ABC=SB,AB=SBA^ .
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA ⊥ (ABC). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc nào dưới đây?
SCA^
SBC^
BSC^
SCB^
Đáp án đúng là: C
Ta có:
BC ⊥ AB (tam giác ABC vuông tại B)
BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABC))
Suy ra: BC ⊥ (SAB).
Khi đó hình chiếu vuông góc của C lên (SAB) là B.
SC ∩ (SAB) = S
Vậy SC,SAB=SC,SB=BSC^.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xác định góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABCD).
A'CA^
AA'C^
A'CB^
A'CD'^
Đáp án đúng là: A
Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABCD) là A
A'C ∩ (ABCD) = C
Suy ra: A'C,ABCD=A'C,AC=A'CA^ .
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = 3 và AA' = 1. Góc tạo bởi đường thẳng AC' và (ABC) bằng:
60°
30°
90°
45°
Đáp án đúng là: B
Hình chiếu vuông góc của C' lên (ABC) là C
AC' ∩ (ABC) = A
Suy ra: AC',ABC=AC',AC=C'AC^ .
Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác đều nên AC = AB = 3 , CC' = AA' = 1.
Xét tam giác ACC' vuông tại C có:
tanC'AC^=CC'AC=13⇒C'AC^=30°.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AD = 2 và AA' = 22. Góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng (ABCD) bằng:
30°
60°
90°
45°
Đáp án đúng là: D
Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABCD) là A
A'C ∩ (ABCD) = C
Suy ra: A'C,ABCD=A'C,AC=A'CA^
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = 22 + 22 = 8⇒AC=22
Xét tam giác vuông ACA' có:
tanACA'^=AA'AC=2222=1⇒ACA'^=45°
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính côsin góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABB'A').
33
63
2
22
Đáp án đúng là: B
Ta có:
BC ⊥ AB (do ABCD là hình vuông)
BC ⊥ AA' (do AA' ⊥ (ABCD))
Suy ra: BC ⊥ (ABB'A').
Hình chiếu vuông góc của C lên (ABB'A') là B
Mà A'C ∩ (ABB'A') = A'.
Do đó, ta có: A'C,ABB'A'=A'C,A'B=BA'C^
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABA' ta có:
A'B2 = AB2 + AA'2 = 12 + 12 = 2
⇒A'B=2
Tương tự, ta tính được AC = 2.
Từ đó suy ra A'C = 3 (định lí Pythagore trong tam giác vuông A'AC).
Xét tam giác A'BC vuông tại B có:
cosBA'C^=A'BA'C=23=63.
Vậy côsin góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABB'A') bằng 63.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 22. Khi đó góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
30°
45°
60°
90°
Đáp án đúng là: C
Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có: SO ⊥ (ABCD).
Chọn cạnh bên SA.
SA ∩ (ABCD) = A và O là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) nên:
SA,ABCD=SA,OA=SAO^
Ta có: AO=12AC=12AB2+BC2=1222+22=2
⇒cosSAO^=OASA=222=12⇒SAO^=60°.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính côsin góc giữa đường thẳng BD' và mặt phẳng đáy bằng bao nhiêu?
33
63
2
22
Đáp án đúng là: B
Giả sử cạnh của hình lập phương là 1.
Hình chiếu vuông góc của BD' lên đáy (ABCD) là BD nên: BD',(ABCD)=BD',BD=DBD'^
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông BCD ta có:
BD2 = BC2 + CD2 = 12 + 12 = 2 ⇒BD=2
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông BDD' ta có:
BD'2 = BD2 + D'D2 = 22 + 12 = 3 ⇒BD'=3
Trong tam giác vuông BDD' có:
cosDBD'^=BDBD'=23=63.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, biết SA ⊥ (ABCD) và SA = a6. Gọi M là trung điểm của SB. Tính góc giữa đường thẳng BM và (ABCD).
30°
45°
60°
90°
Đáp án đúng là: C
Gọi O là tâm của đáy ABCD.
Vì MO // SA (sử dụng tính chất đường trung bình)
Mà SA ⊥ (ABCD) nên MO ⊥ (ABCD)
Hình chiếu vuông góc của M lên (ABCD) là O
BM ∩ (ABCD) = B
Do đó: BM,(ABCD)=BM,BO=MBO^.
MO là đường trung bình của tam giác SAC nên: MO=12SA=a62.
Ta có:BO=12BD=a22 .
Trong tam giác vuông BMO có:
tanMBO^=MOBO=a62a22=3⇒BMO^=60°.
Vậy góc giữa đường thẳng BM và (ABCD) bằng 60°.
