a) \(2x{y^3} + 4x{y^3} = 6x{y^3}\)

b) \(3x\left( {2x - 5{x^3}{y^2}} \right) = 6{x^2} - 15{x^4}{y^2}\)

c) \({\left( {x - 7} \right)^2} = {x^2} - 14x + 49\)

d) Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{5x + 6}}{{x - 3}}\) là \(x \ne 3\)

a) \({x^2} + 2x = x(x + 2)\)

b) \({\left( {x + 5} \right)^2} - {y^2} = (x + 5 + y)(x + 5 - y)\)

a) \({x^2} - 4x + 4 = 0\)

\({\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)

\[x - 2 = 0\]

\[x = 2\]

b) \(x\left( {3 + x} \right) - 12 = {x^2}\)

\(\begin{array}{l}3x + {x^2} - 12 = {x^2}\\3x = 12\\x = 4\end{array}\)

a) Độ dài của cạnh \[AC\] là: \[AC = BC = 6cm\]

Độ dài chiều cao của hình chóp là \[SO = 10cm\]

b) Xét \(\Delta ABC\) có \(CH\) là đường trung tuyến nên \(CH \bot AB\)

Suy ra \(HB = \frac{{AB}}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\,({\rm{cm)}}\).

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta CHB\) vuông tại \(H\), ta có:

\(C{H^2} = B{C^2} - H{B^2}\)\( = 36 - 9 = 27\) suy ra \(CH = \sqrt {27} {\rm{cm}}\).

Diện tích \(\Delta ABC\) là \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt {27} = 3\sqrt {27} \,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

Thể tích của hình chóp \(S. ABC\) là: \[S = \frac{1}{3}. {S_{ABC}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt {27} \cdot 10 = 10\sqrt {27} \, \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\]

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \[B\], áp dụng định lý Pythagore, ta có

\[A{C^2} = {(3,1)^2} + {(2,2)^2} = 14,45\] suy ra \[AC \approx 3,8\]

Chiều cao của cái cây khoảng \[3,8 + 3,1 = 6,9\,\,({\rm{m}}).\]

Vì \(D\,E\,{\rm{//}}\,BC\) nên tứ giác \[BDEC\] là hình thang

Hình thang \[BDEC\] có \[\widehat {CBD} = \widehat {BCE}\] (\[\Delta ABC\] cân tại A) nên tứ giác \[BDEC\] là hình thang cân.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Suy ra A nằm trên đường trung trực của BC. (1)

Tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao nên AH cũng là đường trung tuyến hay BH = CH.

Xét \[\Delta OBC\] có OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \[\Delta OBC\] cân tại O.

Suy ra \[OB = OC\] hay O nằm trên đường trung trực của BC. (2)

Từ (1), (2) suy ra \[AO\] là đường trung trực của \(BC\).

Do đó \[AO\] vuông góc với \(BC\).

\(A = 5 + 4xy - 10y - {x^2} - 8{y^2} - 2x\)

\( = - \left( {{x^2} - 4xy + 4{y^2}} \right) - 4{y^2} - 2x - 10y + 5\)

\[ = - {(x - 2y)^2} - 4{y^2} - 2x - 10y + 5\]

Đặt \(u = x - 2y\) nên \(x = u + 2y\), thay vào biểu thức:

\(A = - {(u + 1)^2} - 4{\left( {y + \frac{7}{4}} \right)^2} + \frac{{73}}{4}\)

Vì \( - {(u + 1)^2} \le 0\) và \( - 4{\left( {y + \frac{7}{4}} \right)^2} \le 0\), nên giá trị lớn nhất của \(A\) đạt được khi:

• \(u + 1 = 0\) nên \[x - 2y + 1 = 0\]

• \[y + \frac{7}{4} = 0\] nên \[y = - \frac{7}{4}\]

Thay \(y = - \frac{7}{4}\) vào \(x = 2y - 1\) : \(x = 2\left( { - \frac{7}{4}} \right) - 1 = - \frac{7}{2} - 1 = - \frac{9}{2}\)

Khi đó \({A_{{\rm{max}}}} = \frac{{73}}{4}\) khi \(x = - \frac{9}{2},{\rm{\;}}y = - \frac{7}{4}\).