1) \({x^3} - 9x = x.\left( {{x^2} - 9} \right) = x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right).\)

2) \({x^2} + 8xy + 16{y^2} - 1 = \left( {{x^2} + 8xy + 16{y^2}} \right) - 1 = {\left( {x + 4y} \right)^2} - 1 = \left( {x + 4y - 1} \right)\left( {x + 4y + 1} \right).\)

3) \({x^3} + {y^3} - 4x - 4y = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - 4\left( {x + y} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2} - 4} \right).\)

1) a) Thể tích của bể là \[V = \frac{1}{3}{.3^2}.5 = 15{m^3}\]

b) Có \[1{m^3}\] nước giá \[8000\] đồng.

Số tiền phải trả nếu đổ đầy nước vào chiếc bể đó là \[15 \cdot 8\,\,000 = 120\,\,000\] (đồng).

2)

a) Xét tứ giác \(ADCE\) có

\[K\] là trung điểm \[AC\]; \[K\] là trung điểm \[ED\] \[\left( {KE = KD} \right)\]

Suy ra tứ giác \(ADCE\) là hình bình hành.

b) Có tứ giác \(ADCE\) là hình bình hành suy ra \[CD = EA\]; \[CD//EA\]

Có \[CD = EA\] mà \[CD = DB\] suy ra \[EA = BD\].

Có \[CD\,{\rm{//}}\,EA\] mà \[B \in CD\] suy ra \[EA\,{\rm{//}}\,BD\].

Xét hình bình hành \(ABDE\) có

\[AD\] và \[EB\] là 2 đường chéo; \[M\] là trung điểm của \[AD\].

Suy ra \[M\] là trung điểm của \[EB\] nên \(B,M,E\) thẳng hang.

c) Xét tam giác \[ACB\] có

\[D\] là trung điểm của \[CB\]; \[K\] là trung điểm của \[AC\].

Suy ra \[DK\] là đường trung bình tam giác \[ACB\] nên \[DK\,{\rm{//}}\,AB\].

Mà \[AC \bot AB\] nên \[KD \bot AC\], suy ra tam giác \[KDA\] vuông tại \[K\].

Vì \[K\] là trung điểm của \[ED\] nên \[KD = \frac{{ED}}{2}.\]

Vì \[K\] là trung điểm của \[AC\] nên \[AK = \frac{{AC}}{2}.\]

Xét tam giác \[KDA\] vuông tại \[K\] có \[A{K^2} + K{D^2} = A{D^2}.\]

Mà \[KD = \frac{{ED}}{2}\]; \[AK = \frac{{AC}}{2}\] nên \[{\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ED}}{2}} \right)^2} = A{D^2}\] suy ra \(4A{D^2} = A{C^2} + D{E^2}.\)

1) \(A = 2{x^2} + {y^2} - 2xy + 6x - 2y + 10\)

\(A = \left( {{x^2} + {y^2} - 2xy + 2x - 2y} \right) + \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 5\)

\(A = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 5\)

Vì \({\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0\) và \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\).

Suy ra \({\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 5 \ge 5\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 1\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thứ A bằng \(5\) khi \(x = - 2;y = - 1\).

2) Chiều rộng của hình chữ nhật bằng \(x\left( {dm} \right)\).

Chiều dài của hình chữ nhật bằng \(y\left( {dm} \right)\).

Mà diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) bằng \(40{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\) nên ta có: \(xy = 40\) \(\left( 1 \right)\)

Tổng độ dài hai cạnh của hai hình lập phương là \(x + y = 22\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 2 \right)\) suy ra \(x = 22 - y\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\(\left( {22 - y} \right)y = 40\)

\({y^2} - 22y + 40 = 0\)

\({y^2} - 2y - 20y + 40 = 0\)

\(y\left( {y - 2} \right) - 20\left( {y - 2} \right) = 0\)

\(\left( {y - 2} \right)\left( {y - 20} \right) = 0\)

Suy ra \(y = 2\) hoặc \(y = 20\)

Từ đó ta có \(x = 20\) hoặc \(x = 2\).

Mà \(x < y\) nên \(x = 2,y = 20\).

1) Diện tích vườn rau là \[{x^2}\] \[\left( {{m^2}} \right)\]

Biểu thức diện tích khu đất không trồng rau là \[S = 625 - {x^2}\] \[\left( {{m^2}} \right)\]

\[S = \left( {25 - x} \right)\left( {25 + x} \right)\]\[\left( {{m^2}} \right)\]

2) Diện tích khu đất không trồng rau khi \[x = 16m\] là \[625 - {16^2} = 369\,\left( {{m^2}} \right)\]