Chọn A

a) \[5{x^2}{y^4}.\left( {\frac{{ - 1}}{{20}}x{y^3}} \right)\]\[ = \frac{{ - 1}}{4}{x^3}{y^7}\]

b) \[\left( {{x^3}y + 4{x^2}{y^2} - 5{x^2}{y^3}} \right):xy - x\left( {x - 4{y^2}} \right)\].

\[ = {x^2} + 4xy - 5x{y^2} - {x^2} + 4x{y^2}\]

\[ = 4xy - x{y^2}\]

c) \[{\left( {x + 1} \right)^2} - \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)\].

\[ = {x^2} + 2x + 1 - 2{x^2} - 5x + 3 + {x^2} - 25\]

\[ = - 3x - 21\]

a) \[4x\left( {x - 3} \right) - 4{x^2} + 1 = 9\]

\[4{x^2} - 12x - 4{x^2} + 1 = 9\]

\[ - 12x = 8\]

\[x = \frac{{ - 2}}{3}\]

Vậy \[x = \frac{{ - 2}}{3}\]

b) \[\left( {2x - 5} \right)\left( {3x + 4} \right) - 6x\left( {x - 3} \right) = 5x\].

\[6{x^2} + 8x - 15x - 20 - 6{x^2} + 18x = 5x\]

\[11x - 20 = 5x\]

\[6x = 20\]

\[x = \frac{{10}}{3}\]

Vậy \[x = \frac{{10}}{3}\]

c) \[{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {x - 7} \right)^2} = x\left( {2x - 5} \right)\].

\[{x^2} + 6x + 9 + {x^2} - 14x + 49 = 2{x^2} - 5x\]

\[3x = 58\]

\[x = \frac{{58}}{3}\]

Vậy\[x = \frac{{58}}{3}\].

a) Cạnh của mảnh vườn sau khi mở rộng: \(10 + x\,\,({\rm{m}})\)

Diện tích của mảnh vườn sau khi mở rộng là: \({\left( {10 + x} \right)^2}\,\,({{\rm{m}}^{\rm{2}}}).\) (1)

b) Thay \(x = 4\,\,{\rm{m}}\) vào (1) ta được: \({\left( {10 + 4} \right)^2} = {14^2} = 196\,\,({{\rm{m}}^{\rm{2}}}).\)

a) Tứ giác \[ADME\] là hình gì? Vì sao?

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \[A\] nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DAE} = 90^\circ .\)

Vì \[MD\] vuông góc \[AB\] tại \[D\] nên \(\widehat {MDA} = 90^\circ .\)

\[ME\] vuông góc \[AC\] tại \[E\] nên \(\widehat {MEA} = 90^\circ .\)

• Xét tứ giác \[ADME\] có: \(\widehat {DAE} = \widehat {MDA} = \widehat {MEA} = 90^\circ \) nên tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật.

b) Lấy điểm \[I\] sao cho \[A\] là trung điểm của \[ID\]. Chứng minh tứ giác \[AIEM\] là hình bình hành.

Ta có \(\widehat {DAE} + \widehat {EAI} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Mà \(\widehat {DAE} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {EAI} = 180^\circ - \widehat {DAE} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {DAE} = \widehat {EAI} = 90^\circ .\)

Vì \[A\] là trung điểm của \[ID\] nên \(AI = AD.\)

• Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta AIE\) có: \[AE\]chung, \(\widehat {DAE} = \widehat {EAI} = 90^\circ \), \(AI = AD\).

Vậy \(\Delta ADE\)=\(\Delta AIE\)(c.g.c) suy ra \(DE = EI\) (hai cạnh tương ứng).

Vì tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật (câu a) nên \(DE = AM\)và \(AD = ME\)(tính chất hình chữ nhật)

Ta có \(DE = EI\), \(DE = AM\)(cmt) nên \(EI = AM.\)

\(AD = ME\), \(AI = AD\)(cmt) nên \(ME = AI.\)

Cách 1: Xét tứ giác \[AIEM\]có: \(EI = AM\), \(ME = AI\) nên tứ giác \[AIEM\]là hình bình hành (dhnb)

Cách 2: Ta có: \[AI\;{\rm{//}}\;ME\;\left( { \bot AC} \right)\,;\,\,AI = ME\;\left( { = AD} \right)\] nên tứ giác \[AIEM\]là hình bình hành (dhnb)

c) Lấy điểm \[K\] sao cho \[M\] là trung điểm của \[EK\]. Chứng minh ba đường thẳng \[IK,DE,AM\]cùng đi qua một điểm.

Gọi \[O\] là giao điểm của \[DE\] và \[AM\] mà tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật (cmt)

nên \[O\] là trung điểm của \[AM\]và\[DE\]. (1)

Vì \[M\] là trung điểm của \[EK\]nên \(KE = 2ME.\)

Vì \[A\] là trung điểm của \[DI\]nên \(DI = 2DA.\)

Mà \(AD = ME\), suy ra \(EK = DI.\)

Vì \[ADME\] là hình chữ nhật (cmt) nên \[DA\,{\rm{//}}\,ME\]hay\[DI\,{\rm{//}}\,KE\].

Xét tứ giác \[DIEK\]có: \(EK = DI,DI\,{\rm{//}}\,KE\) (cmt) nên tứ giác \[DIEK\] là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo \[DE\]và \[IK\]cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \[O\] là trung điểm của \[DE\](cmt)

Do đó, \[O\] là trung điểm của\[IK\]. (2)

Từ (1), (2) suy ra \[IK,DE,AM\] cùng đi qua một điểm.

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y - 4z + 6 = 0.\)

\({x^2} + 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1 + {z^2} - 4z + 4 = 0\)

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 0\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\y - 1 = 0\\z - 2 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\\z = 2\end{array} \right.\)

Thay \[x = - 1\,;\,\,y = 1\,;\,\,z = 2\] vào \[M\], ta được:

\(M = {\left( {x + 1} \right)^{2022}} + {y^{2023}} + {\left( {z - 1} \right)^{2024}}\)

\(M = {\left( { - 1 + 1} \right)^{2022}} + {1^{2023}} + {\left( {2 - 1} \right)^{2024}}\)

\(M = 1 + 1 = 2.\)

Vậy \(M = 2.\)