Đề thi Đánh giá tư duy Đọc hiểu, Toán học - ĐH Bách khoa năm 2023 - 2024 có đáp án (Đề 1)

Phương pháp giải:

Căn cứ bài đọc hiểu, tìm ý.

Giải chi tiết:

Trong vòng 10-15 năm tới: Tất cả lực lượng lao động sẽ phải thay đổi để thích nghi với sự thay đổi của máy móc.

Phương pháp giải:

Căn cứ bài đọc hiểu, phân tích.

Giải chi tiết:

Theo Pachidi , mức độ ảnh hưởng và kiểm soát của công nghệ đối với con người là: Con người sẽ phụ thuộc vào hướng dẫn của công nghệ và dần mất đi sự khám phá, sáng tạo.

Phương pháp giải:

Căn cứ bài đọc hiểu, phân tích.

Giải chi tiết:

Nguyên nhân trực tiếp dẫn đến sự thay đổi cơ bản trong thị trường lao động của con người trong tương lai là: Thuật toán hóa các công việc phụ thuộc vào dữ liệu hơn là sản xuất.

Phương pháp giải:

Căn cứ bài đọc hiểu, phân tích.

Giải chi tiết:

Thuật toán được hiểu là: Một dãy các chỉ dẫn rõ ràng, có trình tự sao cho khi thực hiện những chỉ dẫn này người ta giải quyết được vấn đề hoặc nhiệm vụ đã cho.

Phương pháp giải:

Căn cứ bài đọc hiểu, phân tích.

Giải chi tiết:

Điều không đúng khi bàn về sự thay đổi “thuật toán hóa” các công việc phụ thuộc vào dữ liệu: Thuật toán hóa cho thông tin hoàn hảo 100% mà con người không thể can thiệp. Vì con người vẫn có thể can thiệp trong các thuật toán và điều chỉnh hoạt động của thuật toán theo lợi ích của họ.

Phương pháp giải:

Căn cứ bài đọc hiểu, tìm ý.

Giải chi tiết:

“những tình huống thế này” được hiểu là: Các nhà chiến lược làm cho thuật toán hoạt động như những gì họ mong muốn.

Phương pháp giải:

Căn cứ bài đọc hiểu, tìm ý.

Giải chi tiết:

Đoạn cuối, nhà nghiên cứu Pachidi đã khẳng định. Sự xuất hiện của tự động hóa, AI, robot khiến cho lực lượng lao động dư thừa, nhưng có thể giải quyết sự dư thừa này thông qua các chính sách xã hội tích cực.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn trích, phân tích.

Giải chi tiết:

Ý chính của bài là: Sự già hóa và việc cải thiện sức khỏe của dân cư hiện nay.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung bài đọc, tìm ý.

Giải chi tiết:

Cuộc điều tra đã khẳng định:

- Các bệnh liên quan đến tuổi già ngày càng tác động đến ít và khi tác động thì cũng đến vào giai đoạn rất muộn của cuộc đời.

- Các chứng viêm khớp, huyết áp cao, các vấn đề về lưu thông đã giảm đáng kể trong độ tuổi này.

- Các chứng mất trí nhớ, đột quỵ, xơ vữa động mạch và bệnh phổi cùng ngày càng ít hơn.

=> Từ đó có thê kết luận: Một số các bệnh thường gặp ở người già có xu hướng giảm dần.

 

Dựa vào nội dung đoạn trích, phân tích.

Giải chi tiết:

Sự lão hóa bình thường được hiểu là: Những vấn đề mà bác sĩ chấp nhận là bình thường ở người già trong giai đoạn trước.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn trích, phân tích.

Giải chi tiết:

Khẳng định không đúng là: Sự phát triển của y tế công cộng.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn trích, phân tích.

Giải chi tiết:

Dựa vào nội dung đoạn: Về nhược điểm, dữ liệu cũng cho thấy những thất bại trong y tế công cộng đã gây ra một số bệnh nặng. Các nhà nghiên cứu nói rằng sự gia tăng một số bệnh ung thư và viêm phế quản có thể phản ánh những thói quen hút thuốc và chất lượng không khí kém hơn.

=> Sự thất bại của y tế công cộng là: Gây nên một số bệnh nặng như ung thư và viêm phế quản.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn trích, phân tích.

Giải chi tiết:

Đoạn 6 đưa ra ví dụ: Ví dụ, những phụ nữ 65 tuổi có dưới 8 năm đi học dự kiến sẽ sống trung bình đến 82 tuổi. Những người mà tiếp tục học sẽ sống thêm 7 năm nữa.

Từ đó có thể thấy: Trình độ học vấn cao hơn sẽ sống lâu hơn.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn trích, phân tích.

Giải chi tiết:

Dựa vào nội dung đoạn: Gần 80% số người trong cuộc điều tra năm 1994 có thể hoàn thành các hoạt động hàng ngày từ ăn uống và mặc quần áo cho những công việc phức tạp như nấu ăn và quản lý tài chính của họ. Điều đó thể hiện sự sụt giảm đáng kể về số người già khuyết tật trong dân số.

Cuộc khảo sát đã khẳng định: Sự giảm thiểu số lượng người già khuyết tật đáng kể trong dân số.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn trích, phân tích.

Giải chi tiết:

Câu nói không đúng về sự tác động của độc lập là: Người già có khả năng duy trì sự độc lập thì khỏe mạnh hơn người không duy trì độc lập.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn trích, phân tích.

Giải chi tiết:

Nhận định sai là: Những người cao tuổi cảm thấy cô lập và họ mong muốn được giúp đỡ. Vì trong bài nghiên cứu đã khẳng định những người lớn tuổi sẽ tốt nhất khi họ cảm thấy tự lập nhưng biết họ có thể nhận sự trợ giúp khi cần.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn trích, phân tích.

Giải chi tiết:

Ý chính của bài là những tác động của Oxytocin đối với con người.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn 1.

Giải chi tiết:

Hormone Oxytocin được sản sinh trong tuyến yên ở não bộ.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn 2.

Giải chi tiết:

Vai trò của Oxytocin trong hành vi của con người được phát hiện lần đầu vào năm 2005.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn trích, chọn từ thích hợp.

Giải chi tiết:

Từ thay thế “hormone đó” là Oxytocin.

Phương pháp giải:

Dựa vào đoạn trích 2, loại trừ đáp án.

Giải chi tiết:

Thí nghiệm của Markus Heinrichs và cộng sự chỉ ra rằng, khi con người hít khí Oxytocin sẽ trở nên khoan dung hơn, giúp hiểu được cảm xúc trên gương mặt người khác tốt hơn và giúp lập luận vững chắc hơn. Vì vậy, Oxytocin bảo vệ con người từ những hiểm hoạ của xã hội không phải là kết quả nghiên cứu của Markus Heinrichs và cộng sự.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn trích, phân tích.

Giải chi tiết:

Thí nghiệm của Simone Shamay – Tsoory cho thấy khi con người hít phải Oxytocin sẽ khiến họ thoả mãn cao hơn khi họ đánh bại những người chơi khác và cảm thấy ganh tỵ hơn khi những người khác giành chiến thắng. => Đây là những ảnh hưởng tiêu cực của Oxytocin lên người chơi.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn 3.

Giải chi tiết:

Nghiên cứu của Jennifer Bartz cho thấy trên thực tế, Oxytocin làm giảm sự hợp tác trong những đối tượng và nhạy cảm đối với sự từ chối.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn trích, phân tích.

Giải chi tiết:

Với Bartz, chìa khoá của sự hiểu biết hormone nằm ở việc xác định chức năng cốt lõi của nó hơn là trong những tác động vô tận của nó.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn trích.

Giải chi tiết:

Theo hơn một nửa những nghiên cứu hiện tại, Oxytocin ảnh hưởng đến cá nhân nhất định hoặc trong trường hợp nhất định.

Phương pháp giải:

Dựa vào nội dung đoạn trích.

Giải chi tiết:

Tác động của Oxytocin có sự khác biệt rất lớn tuỳ thuộc vào con người và hoàn cảnh

Phương pháp giải:

Cách tìm số các tiệm cận:

+ Tiệm cận ngang: Cho x tiến tới dương vô cùng và âm vô cùng

+ Tiệm cận đứng: Tìm các nghiệm của mẫu thức, loại đi các nghiệm không phù hợp.

Giải chi tiết:

ĐK: {x≤2f2(x)+3f(x)≠0{x≤2f2(x)+3f(x)≠0

+ Tiệm cận ngang:

Vì hàm số y là hàm số phân thức, có bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=0$ .

⇒ Đồ thị có 1 TCN y=0.

+ Tiệm cận đứng:

Ta có $\left(x-3\right)\left[f^2\left(x\right)+3f\left(x\right)\right]=0$ 

$\left[\begin{array}{l}x=3\left(L\right)\\ f\left(x\right)=0\\ f\left(x\right)=-3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=x_1>2\\ x=z_2\in \left(-1;0\right)\\ x=x_3\in \left(0;1\right)\\ x=2\end{array}\right.$ 

Vì x=2 là nghiệm kép của mẫu, nên mẫu sẽ có nhân tử ${\left(x-2\right)}^2$. Do đó x=2 là một TCĐ.

Suy ra đồ thị hàm số có 4 TCĐ.

Vậy tổng số tiệm cận là 5.

Phương pháp giải:

- Nhóm lại x và (x + 5); (x + 2) và (x + 3) để thu được biểu thức giống nhau

- Sau đó dùng định lý Vi–ét

Giải chi tiết:

$\begin{array}{l}I=\int \frac{2x+5}{x(x+2)(x+3)(x+5)+9}dx=\int \frac{2x+5}{\left(x^2+5x\right)\left(x^2+5x+6\right)+9}dx\\ =\int \frac{2x+5}{{\left(x^2+5x\right)}^2+6\left(x^2+5x\right)+9}dx=\int \frac{2x+5}{{\left(x^2+5x+3\right)}^2}dx\\ =\int \frac{d\left(x^2+5x+3\right)}{{\left(x^2+5x+3\right)}^2}=-\frac{1}{x^2+5x+3}+C\\ \Rightarrow g\left(x\right)=x^2+5x+3\end{array}$ 

Theo định lý Vi–ét, tổng hai nghiệm của phương trình g(x) = 0 là –5.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức logarit, chuyển về phương trình thương của .

Giải chi tiết:

Ta có:${\log }_{\frac{1}{5}}\frac{4x+6}{x}\ge 0\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{4x+6}{x}>0\\ \frac{4x+6}{x}\le 1\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\\ \left[\begin{array}{l}x>0\\ x<-\frac{3}{2}\end{array}\right.\\ \frac{3x+6}{x}\le 0\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x>0\\ x<-\frac{3}{2}\end{array}\right.\\ -2\le x<0\end{array}\right.\iff -2\le x<-\frac{3}{2}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[-2;-\frac{3}{2}\right)$.

Phương pháp giải:

- Xác định các VTCP của ${\text{d}}_1, {\text{d}}_2, {\text{d}}_3$ lần lượt là ${\text{u}}_1,{\text{u}}_2,{\text{u}}_3$.

- Chứng minh 3 đường thẳng đã cho đôi một vuông góc và đồng quy tại .

- Chứng minh chóp ABCD là chóp tam giác đều.

- Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, chứng minh $\overrightarrow{\text{n}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{AD}}$ là một VTPT của (P).

- Giải hệ $\overrightarrow{{\text{n}}_{\text{P}}}=\text{k}\left(\overrightarrow{{\text{u}}_1}\pm \overrightarrow{{\text{u}}_2}\pm \overrightarrow{{\text{u}}_3}\right)$, thử các trường hợp tìm . Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng (P) và xác định điểm thuộc (P).

Giải chi tiết:

Ta có các VTCP của ${\text{d}}_1, {\text{d}}_2, {\text{d}}_3$ lần lượt là: $\overrightarrow{{\text{u}}_1}=(2;2;1),\overrightarrow{{\text{u}}_2}=(1;-2;2),\overrightarrow{{\text{u}}_3}=(2;-1;-2)$.

Ta có: $\overrightarrow{{\text{u}}_1}.\overrightarrow{{\text{u}}_2}=\overrightarrow{{\text{u}}_2}.\overrightarrow{{\text{u}}_3}=\overrightarrow{{\text{u}}_1}.\overrightarrow{{\text{u}}_3}=0$

Suy ra ba đường thẳng đã cho đôi một vuông góc.

Lại có $\text{A}(1;-1;1)$ nằm trên cả ba đường thẳng đã cho, nên chúng đồng quy tại .

Vì $\text{M}\in \left(\text{P}\right)\iff 2\text{a}+\text{c}-1=0\iff \text{c}=1-2\text{a}$, suy ra (P) nhận $\overrightarrow{n_{\text{P}}}=(\text{a};\text{b};1--2\text{a})$ làm VTPT.

Giả sử (P) cắt ba đường thẳng đã cho lần lượt tại B, C, D thì tam giác BCD đều.

Khi đó ABCD là tứ diện vuông, chóp ABCD là chóp đều.

Gọi H là trọng tâm tam giác $\text{BCD}\Rightarrow \text{AH}\perp \left(\text{BCD}\right)$ hay $\text{AH}\perp \left(\text{P}\right)$ và $\overrightarrow{\text{AH}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{AD}})$.

$\Rightarrow \overrightarrow{\text{n}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{AD}}$ là một VTPT của (P).

$\iff (\text{a};\text{b};1-2\text{a})=\text{k}\left(\overrightarrow{{\text{u}}_1}\pm \overrightarrow{{\text{u}}_2}\pm \overrightarrow{{\text{u}}_3}\right)(\text{k}\ne 0)$

Thử các trường hợp, ta có $(\text{a};\text{b};1-2\text{a})=(1;1;-1)\Rightarrow \left(\text{P}\right):\text{x}+\text{y}-\text{z}-1=0$.

Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm (1;3;3).

Phương pháp giải:

Tính cạnh của tứ diện ban đầu và tứ diện mới.

Áp dụng công thức tính nhanh thể tích tứ diện

Giải chi tiết:

Thể tích tứ diện đều cạnh x có diện tích một mặt và thể tích lần lượt là $\text{S}=\frac{{\text{x}}^2\sqrt{3}}{4};\text{V}=\frac{{\text{x}}^3\sqrt{2}}{12}$ 

Áp dụng vào tứ diện ABCD thì $\text{h}=\frac{3 \text{V}}{ \text{S}}=\frac{\text{x}\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}\Rightarrow \text{x}=\sqrt{3}$

Tứ diện có các đỉnh là trọng tâm bốn mặt sẽ có cạnh $\text{y}=\frac{\text{x}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$và thể tích ${\text{V}}^{\text{'}}=\frac{{\text{y}}^3\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{12.3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{108}$

Phương pháp giải:

Sắp xếp vị trí của từng lớp

Tại mỗi vị trí, tính số khả năng sắp xếp có thể xảy ra

Giải chi tiết:

Ký hiệu học sinh lớp 10,11,12 lần lượt là A, B, C

Chọn vị trí của cụm CAC trong hàng: Có 4 cách.

Chọn vị trí của học sinh C còn lại: 3 cách

Sắp xếp 2 học sinh lớp 11 vào 2 vị trí B: Có 2 cách

Sắp xếp 3 học sinh lớp 12 vào 3 vị trí B: Có 3! = 6 cách

Theo quy tắc nhân, số cách để học sinh lớp 10 xen giữa hai học sinh lớp 12 là 4.3.2.6 = 144

Không gian mẫu có số phần tử là 6!

Xác suất cần tìm là $P=\frac{144}{6!}=\frac{1}{5}$.

Phương pháp giải:

Xác định bán kính đáy và chiều cao của khối nón

Áp dụng công thức thể tích

Giải chi tiết:

Khối nón đã cho có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là $r=\sqrt{{10}^2-8^2}=6;h=8$.

Nên có thể tích là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.6}^2.8=96\pi$.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu số, đưa về phương trình bậc nhất với sin và cos

Áp dụng điều kiện có nghiệm của dạng phương trình này.

Từ đó cô lập được y

Giải chi tiết:

$y=\frac{2sinx-cosx}{sinx+2cosx+3}\iff 2sinx-cosx=y(sinx+2cosx+3)$ 

$\iff (2-y)sinx-(2y+1)cosx=3y$ 

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là ${\left(2-y\right)}^2+{\left(2y+1\right)}^2\ge {\left(3y\right)}^2\iff 4y^2\le 5$ 

Mà y nguyên nên $y\in \text{{}0;\pm 1\}$.

Phương pháp giải:

Tính bán kính đáy của đồ vật

Tính thể tích của 1 đồ vật và 10 đồ vật.

Tính giá tiền

Giải chi tiết:

Gọi bán kính đáy của đồ vật là x (cm) (x > 0,6).

Ta có phương trình

${(x-0,3)}^2+{(x-0,6)}^2=x^2\iff x^2-1,8x+0,45=0\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\left(tm\right)\\ x=\frac{3}{10}\left(ktm\right)\end{array}\right.$ 

Thể tích của 1 và 10 đồ vật lần lượt là

$\begin{array}{l}{V}_1=\pi .0,{015}^2.1,25\\ V_{10}=10\pi .0,{015}^2.1,25\end{array}$ 

Số tiền thu được là $T_{10}=20000.10\pi .0,{015}^2.1,25\approx 176,7$ (nghìn đồng)

Phương pháp giải:

Đặt z theo dạng tổng quát $z=a+bi$ rồi giải hệ đã cho.

Tìm được a và b.

Từ đó tìm ra số các số phức z thỏa mãn.

Giải chi tiết:

Đặt $z=a+bi(a,b\in R)\Rightarrow \frac{z}{\overline{z}}+\frac{\overline{z}}{z}=\frac{{(a+bi)}^2+{(a-bi)}^2}{a^2+b^2}=\frac{2\left(a^2-b^2\right)}{a^2+b^2}$

Hệ đã cho $\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=1\\ \left|2\left(a^2-b^2\right)\right|=\sqrt{3}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{b}^2=1-a^2\\ 2a^2-2\left(1-a^2\right)=\pm \sqrt{3}\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{b}^2=1-a^2\\ 2a^2-2+2a^2=\pm \sqrt{3}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{b}^2=1-a^2\\ 4a^2=2\pm \sqrt{3}\end{array}\right.\right.$

Có 4 cặp (a;b) thỏa mãn hệ này. Suy ra có 4 số phức cần tìm.

Phương pháp giải:

Chia hai số phức bằng cách nhân liên hợp với mẫu

Giải chi tiết:

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}=\frac{{\left(\sqrt{3}+i\right)}^2}{3-i^2}=\frac{3-1+2i\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ là không là số thuần ảo.

Vậy khẳng định D sai.

Phương pháp giải:

Hoán vị các chữ số ở các hàng còn lại.

Giải chi tiết:

Vì chữ số 4 ở hàng đơn vị nên các chữ số còn lại là một hoán vị của (1;2;3;5)

Số các số thỏa mãn là 4! = 24 số.

Phương pháp giải:

Đưa về công thức dạng truy hồi để tìm số hạng tổng quát của dãy

Giải chi tiết:

Từ giả thiết, ta có $\left(n+2\right)u_{n+1}=\left(n+1\right)u_n+3\iff (n+2)\left(u_{n+1}-3\right)=\left(n+1\right)\left(u_n-3\right)$ 

Đặt $v_n=(n+1)(u_n-3)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{v}_1=-4\\ v_{n+1}=v_n,\forall n\in N*\end{array}\right.$ .

$\Rightarrow v_{2022}=v_1=-4\Rightarrow 2023(u_{2022}-3)=-4$ 

$\Rightarrow u_{2022}=3-\frac{4}{2023}=\frac{6065}{2023}$ 

Phương pháp giải:

Tính khối lượng chất phóng xạ còn lại để suy ra phương trình mũ

Giải phương trình mũ

Giải chi tiết:

Vì đồng vị phóng xạ đã mất khoảng 25% khối lượng ban đầu của nó nên

${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}=\frac{3}{4}\iff 2^{\frac{t}{T}}=\frac{4}{3}\iff \frac{t}{T}={\log }_2\frac{4}{3}\iff t=T.{\log }_2\frac{4}{3}$ 

Thay T = 5730 năm ta có t≈2378 năm.

Phương pháp giải:

Công thức tính nhanh diện tích của “hình parabol” có chiều dài đáy a và chiều cao h là $S=\frac{2}{3}ah$ 

Từ đó tính thể tích dụng cụ

Giải chi tiết:

Diện tích đáy parabol của dụng cụ là $S=\frac{2}{3}\mathrm{.4.3}=8\left(c{m}^2\right)$ 

Thể tích dụng cụ là $V=S.h=8.6=48\left(c{m}^3\right)$ 

Phương pháp giải:

Gọi H là trung điểm BC, chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông SBC.

Đặt SC = x và giải phương trình tìm x.

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm $\text{BC.AB}=\text{AC}$ nên $\text{AH}\perp \text{BC}$. Mà $\left(\text{SBC}\right)\perp \left(\text{ABC}\right)$ nên $\text{AH}\perp \left(\text{SBC}\right)$

Vì $\text{AB}=\text{AC}=\text{AS}$ nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC. Suy ra tam giác SBC vuông tại S

Đặt SC $=x>0$, ta có$\begin{array}{l}\text{BC}=\sqrt{{\text{SB}}^2+{\text{SC}}^2}=\sqrt{4{\text{a}}^2+{\text{x}}^2}\\ \text{BH}=\frac{\text{BC}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{4{\text{a}}^2+{\text{x}}^2}=\sqrt{{\text{a}}^2+\frac{{\text{x}}^2}{4}}\\ \text{AH}=\sqrt{{\text{AB}}^2-{\text{BH}}^2}=\sqrt{4{\text{a}}^2-\left({\text{a}}^2+\frac{{\text{x}}^2}{4}\right)}=\sqrt{3{\text{a}}^2-\frac{{\text{x}}^2}{4}}\end{array}$

Từ giả thiết suy ra

$\begin{array}{l}{a}^3=V_{S.ABC}=\frac{1}{3}AH.S_{SBC}=\frac{1}{6}\sqrt{3a^2-\frac{x^2}{4}}.2a.x\iff 6a^2=\sqrt{12a^2-x^2}.x\\ \iff x^4-12a^2{x}^2+36a^4=0\iff {\left(x^2-6a^2\right)}^2=0\iff x^2=6a^2\iff x=a\sqrt{6}\end{array}$

Phương pháp giải:

Đưa về phương trình bậc nhất với sin và cos

Giải phương trình và tìm ra các giá trị k nguyên thỏa mãn

Giải chi tiết:

ĐK: $\sin x+\cos x\ne 0\iff x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi$. Ta có:

$\frac{\sin x.\sin 2x+2\sin x.{\cos }^{2}x+\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}=\sqrt{3}\cos 2x$
$\iff \frac{\sin x.\sin 2x+\sin 2x.\cos x+\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}=\sqrt{3}\cos 2x$
$\iff \frac{\sin 2x(\sin x+\cos x)+(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}=\sqrt{3}\cos 2x$
$\iff \frac{(\sin x+\cos x)(\sin 2x+1)}{\sin x+\cos x}=\sqrt{3}\cos 2x$
$\iff \sin 2x+1=\sqrt{3}\cos 2x$
$\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x=1$
$\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$
$\iff 2x+\frac{\pi }{6}=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$
$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+k\pi \left(\text{tm}\right)\\ x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(ktm\right)\end{array}\right.$

Với k nguyên, ta có $-4<\frac{\pi }{12}+\text{k}\pi <4\iff \text{k}\in \{-1;0;1\}$.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Phương pháp giải:

Đại số hóa, đưa về bài toán tìm GTLN với điều kiện cụ thể.

Giải chi tiết:

Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm loại A và B dự kiến làm ra. Ta có $\left\{\begin{array}{l}x,y\in N\\ 3x+y\le 6\\ x+y\le 4\end{array}\right.$ 

Cần tìm GTLN của $P=200x+160y$. Ta có

$P=20\left(3x+y\right)+140\left(x+y\right)\le 20.6+140.4=680$ 

Vậy có thể thu lãi nhiều nhất 680 nghìn đồng

Phương pháp giải:

Chia trường hợp theo số lần nhảy 2 bước của con ếch

Mỗi trường hợp sẽ có số cách nhảy tương ứng

Dùng quy tắc cộng

Giải chi tiết:

Nếu con ếch nhảy 4 lần 2 bước và 1 lần 1 bước: Số cách nhảy là số cách chọn vị trí của 1 bước nhảy trong 5 vị trí, là $C_5^1$  cách

Nếu con ếch nhảy 3 lần 2 bước và 3 lần 1 bước: Số cách nhảy là số cách chọn vị trí của 3 bước nhảy trong 6 vị trí, là $C_6^3$ cách

Tương tự với các trường hợp con ếch nhảy 2;1;0 lần 2 bước.

Tổng số cách nhảy theo quy tắc cộng là $C_5^1+C_6^3+C_7^5+C_8^7+C_9^9=55$ cách

Phương pháp giải:

Cần tính diện tích toàn phần của hình trụ

Từ giả thiết suy ra bán kính đáy và chiều cao, rồi áp dụng công thức diện tích toàn phần

Giải chi tiết:

Thiết diện thu được là hình vuông có diện tích bằng 9 nên có cạnh bằng 3

Suy ra bán kính đáy, chiều cao và diện tích toàn phần của hình trụ lần lượt là $r=\frac{3}{2},h=3$.

Vậy $S_{tp}=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r\left(r+h\right)=2\pi .\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}+3\right)=13,5\pi$.

Phương pháp giải:

Gọi điểm C thỏa mãn MA = 2MC

GTNN của MA + 2MB là BC

Tìm giao của BC với mặt cầu, chính là điểm M cần tìm

Giải chi tiết:

Mặt cầu (S) có tâm $\text{I}(1;0;2)$ và bán kính $\text{R}=\sqrt{10}$. Có

$\overrightarrow{\text{IA}}=(0;2;-6);\text{IA}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}=2\text{R}$

Gọi C là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{IA}=(0;\frac{1}{2};-\frac{3}{2})\Rightarrow C(1;\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ 

Có ${\text{IM}}^2=\text{IC}$. IA $\Rightarrow \Delta \text{IMC}~\Delta \text{IAM}$ (c. g.c)

$\Rightarrow \frac{\text{MA}}{\text{MC}}=\frac{\text{IA}}{\text{IM}}=2\Rightarrow \text{MA}=2\text{MC}\Rightarrow \text{MA}+2\text{MB}=2(\text{MB}+\text{MC})\ge \text{BC}$

Đẳng thức xảy ra khi M trùng M ' là giao của đoạn BC với (S)

M’ thuộc đoạn BC $\iff \overrightarrow{CM\text{'}}=k\overrightarrow{CB}=\left(0;\frac{3}{2}k;\frac{27}{2}k\right)(k>0)$ 

$\iff M^{\text{'}}\left(1;\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\text{k};\frac{1}{2}+\frac{27}{2}\text{k}\right)$. Ta có

${\text{M}}^{\text{'}}\in \left(\text{S}\right)\iff {\text{IM}}^{\text{'}}=\sqrt{10}\iff 0+{\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\text{k}\right)}^2+{\left(\frac{27}{2}\text{k}-\frac{3}{2}\right)}^2=10$
$\iff \text{k}=\frac{1}{3}\Rightarrow {\text{M}}^{\text{'}}(1;1;5).$

Vậy $a+b+c=7$.