Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 6 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Tự luận
46 câu hỏi
Thực hiện phép tính (tính hợp lí nếu có thể):
a) \(\frac{6}{{13}} + \frac{{ - 17}}{{39}}.\)
b) \( - 1,25 - 2\frac{1}{4}.\)
c) \(\frac{{ - 15}}{{16}} \cdot \frac{8}{{ - 25}}.\)
d) \(\frac{5}{6}:\frac{{ - 7}}{{12}}.\)
e) \(\frac{2}{3} - \left( {\frac{{ - 5}}{7} + \frac{2}{3}} \right).\)
f) \(\frac{3}{4} - \frac{4}{5} + \frac{{ - 17}}{{20}}.\)
g) \(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}:\left( { - \frac{6}{7}} \right).\)
h) \[\frac{9}{{11}} - \frac{7}{8} + \frac{{13}}{{11}} + \frac{{ - 1}}{8}.\]
i) \[12\frac{5}{{14}} - \left( {3\frac{5}{7} + 5\frac{5}{{14}}} \right).\]
j) \(\left( {\frac{{ - 12}}{5} + \frac{5}{{12}} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{7}{5} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}}} \right) - {2024^0}.\)
k) \[\frac{7}{{12}} \cdot \frac{2}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{7}{{12}} + \frac{7}{{12}} \cdot 3.\]
l) \(\frac{2}{3}:\frac{4}{5} - \frac{5}{4} + \frac{1}{3}:\frac{4}{5}.\)
m) \(\frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right):2.\)
n) \(\frac{2}{{15}} \cdot \frac{3}{8} - \left( {\frac{7}{{20}} - 75\% } \right):\frac{8}{5}.\)
p) \({\left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot \left( {4,5 - 2} \right) - 25\% .\)
Hướng dẫn giải
a) \(\frac{6}{{13}} + \frac{{ - 17}}{{39}} = \frac{{18}}{{39}} + \frac{{ - 17}}{{39}}\) \( = \frac{{18 + \left( { - 17} \right)}}{{39}} = \frac{1}{{39}}.\) c) \(\frac{{ - 15}}{{16}} \cdot \frac{8}{{ - 25}} = \frac{{ - 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 8}}{{8 \cdot 2 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot {5^2}}} = \frac{3}{{10}}.\) e) \(\frac{2}{3} - \left( {\frac{{ - 5}}{7} + \frac{2}{3}} \right)\)\( = \frac{2}{3} + \frac{5}{7} - \frac{2}{3}\) \( = \left( {\frac{2}{3} - \frac{2}{3}} \right) + \frac{5}{7}\)\( = 0 + \frac{5}{7}\)\( = \frac{5}{7}.\) g) \(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}:\left( { - \frac{6}{7}} \right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{{ - 7}}{6}\) \( = \frac{1}{4} + \frac{{ - 7}}{8} = \frac{2}{8} - \frac{7}{8} = \frac{{ - 5}}{8}.\) i) \[12\frac{5}{{14}} - \left( {3\frac{5}{7} + 5\frac{5}{{14}}} \right)\] \[ = 12\frac{5}{{14}} - 3\frac{5}{7} - 5\frac{5}{{14}}\]\( = \left( {12\frac{5}{{14}} - 5\frac{5}{{14}}} \right) - 3\frac{5}{7}\) \( = 7 - 3\frac{5}{7} = \frac{{49}}{7} - \frac{{26}}{7} = \frac{{23}}{7}.\) k) \[\frac{7}{{12}} \cdot \frac{2}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{7}{{12}} + \frac{7}{{12}} \cdot 3\] \( = \frac{7}{{12}} \cdot \left( {\frac{2}{3} - \frac{5}{3} + 3} \right)\) \( = \frac{7}{{12}} \cdot \left( {\frac{2}{3} - \frac{5}{3} + \frac{9}{3}} \right) = \frac{7}{{12}} \cdot 2 = \frac{7}{6}.\) | b) \( - 1,25 - 2\frac{1}{4} = - 1,25 - 2,25 = - 3,5.\) d) \(\frac{5}{6}:\frac{{ - 7}}{{12}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{{12}}{{ - 7}} = \frac{{10}}{{ - 7}} = - \frac{{10}}{7}.\) f) \(\frac{3}{4} - \frac{4}{5} + \frac{{ - 17}}{{20}} = \frac{{15}}{{20}} - \frac{{16}}{{20}} + \frac{{ - 17}}{{20}}\) \( = \frac{{15 - 16 + \left( { - 17} \right)}}{{20}} = \frac{{ - 18}}{{20}} = \frac{{ - 9}}{{10}}.\) h) \[\frac{9}{{11}} - \frac{7}{8} + \frac{{13}}{{11}} + \frac{{ - 1}}{8}\] \[ = \left( {\frac{9}{{11}} + \frac{{13}}{{11}}} \right) + \left( { - \frac{7}{8} + \frac{{ - 1}}{8}} \right)\]\[ = \frac{{22}}{{11}} + \frac{{ - 8}}{8} = 2 - 1 = 1.\] j) \(\left( {\frac{{ - 12}}{5} + \frac{5}{{12}} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{7}{5} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}}} \right) - {2024^0}\) \[ = \frac{{ - 12}}{5} + \frac{5}{{12}} + \frac{1}{4} + \frac{7}{5} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}} - 1\] \[ = \left( {\frac{{ - 12}}{5} + \frac{7}{5}} \right) + \left( {\frac{5}{{12}} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}}} \right) - 1 + \frac{1}{4}\] \[ = \frac{{ - 5}}{5} + \frac{{ - 12}}{{12}} - 1 + \frac{1}{4} = - 1 + \left( { - 1} \right) - 1 + \frac{1}{4}\] \[ = - 3 + \frac{1}{4} = \frac{{ - 12}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{{ - 11}}{4}.\] l) \(\frac{2}{3}:\frac{4}{5} - \frac{5}{4} + \frac{1}{3}:\frac{4}{5}\) \( = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} - \frac{5}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{4}\) \( = \frac{5}{4} \cdot \left( {\frac{2}{3} - 1 + \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{4} \cdot \left[ {\left( {\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \right) - 1} \right]\) \( = \frac{5}{4} \cdot \left[ {\frac{3}{3} - 1} \right] = \frac{5}{4} \cdot \left( {1 - 1} \right) = \frac{5}{4} \cdot 0 = 0.\) | |
m) \(\frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right):2\) \( = \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right) \cdot \frac{1}{2}\) \( = \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{{ - 18}}{{13}}} \right) - \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right)\) \[ = \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{{ - 18}}{{13}} - \frac{4}{{13}} + \frac{5}{{12}}} \right)\] \[ = \frac{1}{5} \cdot \left[ {\left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{5}{{12}}} \right) + \left( {\frac{{ - 18}}{{13}} - \frac{4}{{13}}} \right)} \right]\] \[ = \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 22}}{{13}}} \right) = \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 65}}{{156}} + \frac{{ - 264}}{{156}}} \right)\] \[ = \frac{1}{5} \cdot \frac{{ - 329}}{{156}} = \frac{{ - 329}}{{780}}.\] | ||
n) \(\frac{2}{{15}}.\frac{3}{8} - \left( {\frac{7}{{20}} - 75\% } \right):\frac{8}{5}\) \( = \frac{1}{{20}} - \left( {\frac{7}{{20}} - \frac{{75}}{{100}}} \right):\frac{8}{5}\) \( = \frac{1}{{20}} - \left( {\frac{{35}}{{100}} - \frac{{75}}{{100}}} \right):\frac{8}{5}\) \( = \frac{1}{{20}} + \frac{{40}}{{100}}.\frac{5}{8}\) \( = \frac{1}{{20}} + \frac{1}{4}\) \( = \frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}\). | p) \({\left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot \left( {4,5 - 2} \right) - 25\% \) \( = \frac{4}{{25}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} - \frac{1}{4}\) \( = \frac{4}{{25}} + \frac{5}{4} - \frac{1}{4}\) \( = \frac{4}{{25}} + 1 = \frac{{29}}{{25}}.\)
| |
Thực hiện phép tính (tính hợp lí nếu có thể):
a) \(7,84 + 1,837 + 5,163 + 0,16.\)
b) \(\left( { - 8,217} \right) + 5,7 + \left( { - 2,583} \right) - 2,7.\)
c) \[4,35 - \left( {2,67 - 1,65} \right) + \left( {3,54 - 6,33} \right).\]
d) \[2,63 \cdot 24,45 + 2,63 \cdot 75,55.\]
e) \(2,35:\left( { - 0,01} \right) + 7,6 \cdot \left( { - 1,25} \right).\)
f) \(\left( { - 1,5} \right):\left( { - 0,1} \right) - {0,2^2} + 4,56 \cdot 9 + 9 \cdot 5,44.\)
g) \(14,65 \cdot 75 + 14,65 \cdot 40 + 14,65 \cdot \left( { - 15} \right).\)
Hướng dẫn giải
a) \(7,84 + 1,837 + 5,163 + 0,16\) \( = \left( {7,84 + 0,16} \right) + \left( {1,837 + 5,163} \right)\) \( = 8 + 7\)\( = 15.\) c) \[4,35 - \left( {2,67 - 1,65} \right) + \left( {3,54 - 6,33} \right)\] \[ = 4,35 - 2,67 + 1,65 + 3,54 - 6,33\] \[ = \left( {4,35 + 1,65} \right) - \left( {2,67 + 6,33} \right) + 3,54\] \[ = 6 - 9 + 3,54\] \[ = - 3 + 3,54\] \[ = 0,54.\] e) \(2,35:\left( { - 0,01} \right) + 7,6 \cdot \left( { - 1,25} \right)\) \( = \left( { - 235} \right) + \left( { - 9,5} \right)\) \( = - 244,5.\) g) \(14,65 \cdot 75 + 14,65 \cdot 40 + 14,65 \cdot \left( { - 15} \right)\) \( = 14,65 \cdot \left[ {75 + 40 + \left( { - 15} \right)} \right]\) \( = 14,65 \cdot 100\) \( = 1\,\,465.\) | b) \(\left( { - 8,217} \right) + 5,7 + \left( { - 2,583} \right) - 2,7\) \( = \left[ {\left( { - 8,217} \right) + \left( { - 2,583} \right)} \right] + \left( {5,7 - 2,7} \right)\) \( = - 10,8 + 3\)\( = - 7,8.\) d) \[2,63 \cdot 24,45 + 2,63 \cdot 75,55\] \[ = 2,63 \cdot \left( {24,45 + 75,55} \right)\] \[ = 2,63 \cdot 100\] \[ = 263.\] f) \(\left( { - 1,5} \right):\left( { - 0,1} \right) - {0,2^2} + 4,56 \cdot 9 + 9 \cdot 5,44\) \( = 15 - 0,04 + \left( {4,56 \cdot 9 + 9 \cdot 5,44} \right)\) \( = 14,96 + 9 \cdot \left( {4,56 + 5,44} \right)\) \( = 14,96 + 9 \cdot 10\) \( = 14,96 + 90\) \( = 104,96.\) |
Thực hiện phép tính một cách hợp lí:
a) \(A = \frac{2}{{3 \cdot 5}} + \frac{2}{{5 \cdot 7}} + \frac{2}{{7 \cdot 9}} + ... + \frac{2}{{61 \cdot 63}}.\)
b) \(B = \frac{2}{{1 \cdot 4}} + \frac{2}{{4 \cdot 7}} + \frac{2}{{7 \cdot 11}} + ... + \frac{2}{{100 \cdot 103}}.\)
c) \(C = \frac{{10}}{{56}} + \frac{{10}}{{140}} + \frac{{10}}{{260}} + ... + \frac{{10}}{{1\,\,400}}.\)
d) \(D = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{1\,\,024}}.\)
Hướng dẫn giải
a) \(A = \frac{2}{{3 \cdot 5}} + \frac{2}{{5 \cdot 7}} + \frac{2}{{7 \cdot 9}} + ... + \frac{2}{{61 \cdot 63}}\)
\( = \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{7} - \frac{1}{9}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{61}} - \frac{1}{{63}}} \right)\)
\( = \frac{1}{3} - \frac{1}{{63}} = \frac{{21}}{{63}} - \frac{1}{{63}} = \frac{{20}}{{63}}.\)
b) \(B = \frac{2}{{1 \cdot 4}} + \frac{2}{{4 \cdot 7}} + \frac{2}{{7 \cdot 11}} + ... + \frac{2}{{100 \cdot 103}}\)
\( = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{3}{{1 \cdot 4}} + \frac{3}{{4 \cdot 7}} + \frac{3}{{7 \cdot 11}} + ... + \frac{3}{{100 \cdot 103}}} \right)\)
\( = \frac{2}{3} \cdot \left( {1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{{11}} + ... + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{103}}} \right)\)
\( = \frac{2}{3} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{103}}} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{103 - 1}}{{103}}\)
\( = \frac{2}{3} \cdot \frac{{102}}{{103}} = \frac{2}{1} \cdot \frac{{34}}{{103}} = \frac{{68}}{{103}}.\)
c) \(C = \frac{{10}}{{56}} + \frac{{10}}{{140}} + \frac{{10}}{{260}} + ... + \frac{{10}}{{1\,\,400}}\)
\( = \frac{{20}}{{112}} + \frac{{20}}{{280}} + \frac{{20}}{{520}} + ... + \frac{{20}}{{2\,\,800}}\)
\( = \frac{{20}}{6} \cdot \left( {\frac{6}{{8 \cdot 14}} + \frac{6}{{14 \cdot 20}} + \frac{6}{{20 \cdot 26}} + ... + \frac{6}{{50 \cdot 56}}} \right)\)
\( = \frac{{20}}{6} \cdot \left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{14}} - \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{20}} - \frac{1}{{26}} + ... + \frac{1}{{50}} - \frac{1}{{56}}} \right)\)
\( = \frac{{10}}{3} \cdot \left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{{56}}} \right) = \frac{{10}}{3} \cdot \left( {\frac{7}{{56}} - \frac{1}{{56}}} \right) = \frac{{10}}{3} \cdot \frac{6}{{56}} = \frac{{10}}{3} \cdot \frac{3}{{28}} = \frac{5}{{14}}.\)
d) \(D = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{1\,\,024}}\)
\( = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ...... + \frac{1}{{{2^{10}}}}\)
Đặt \(S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{10}}}},\) khi đó \(D = 1 + S.\)
Do đó \(2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ...... + \frac{1}{{{2^9}}}\)
Suy ra \(2S - S = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ...... + \frac{1}{{{2^9}}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ...... + \frac{1}{{{2^9}}} + \frac{1}{{{2^{10}}}}} \right)\)
\(S = 1 - \frac{1}{{{2^{10}}}}\)
Vậy \(D = 1 + S = 1 + 1 - \frac{1}{{{2^{10}}}} = 2 - \frac{1}{{{2^{10}}}}.\)
Tìm \(x \in \mathbb{Z},\) biết:
a) \(\frac{9}{x} = \frac{{ - 35}}{{105}}.\) b) \(\frac{6}{{ - x}} = \frac{x}{{ - 24}}.\)
c) \(\frac{{x - 2}}{5} = \frac{{1 - x}}{6}.\) d) \(\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{ - 8}}{{x - 3}}.\)
e) \(\frac{{ - 2}}{5} < \frac{x}{{15}} < \frac{1}{6}.\)
f) \(\frac{{ - 1}}{4}:\frac{{ - 3}}{4} + \frac{1}{2} < x < \frac{7}{8} - \frac{1}{2}:\frac{{ - 5}}{6}.\)
a) \(\frac{9}{x} = \frac{{ - 35}}{{105}}\) \(\begin{array}{l}x = \frac{{105 \cdot 9}}{{ - 35}}\\x = - 27\end{array}\) Vậy \(x = - 27.\) c) \(\frac{{x - 2}}{5} = \frac{{1 - x}}{6}\) \(6\left( {x - 2} \right) = 5\left( {1 - x} \right)\) \(6x - 12 = 5 - 5x\) \(6x + 5x = 5 + 12\) \(11x = 17\) \(x = \frac{{17}}{{11}}.\) Vậy \(x = \frac{{17}}{{11}}.\) e) \(\frac{{ - 2}}{5} < \frac{x}{{15}} < \frac{1}{6}\) \(\frac{{ - 12}}{{30}} < \frac{{2x}}{{30}} < \frac{5}{{30}}\) Suy ra \( - 12 < 2x < 5\) Hay \( - 6 < x < \frac{5}{2}\) Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên: \[x \in \left\{ { - 5;\,\, - 4;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}.\] Vậy \[x \in \left\{ { - 5;\,\, - 4;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}.\] | b) \(\frac{6}{{ - x}} = \frac{x}{{ - 24}}\) \( - {x^2} = - 144\) \({x^2} = 144\) \(x = 12\) hoặc \(x = - 12\) Vậy \(x \in \left\{ {12;\,\, - 12} \right\}.\) d) \(\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{ - 8}}{{x - 3}}\) \({\left( {x - 3} \right)^2} = 16 = {4^2} = {\left( { - 4} \right)^2}\) \(x - 3 = 4\) hoặc \(x - 3 = - 4\) \(x = 7\) hoặc \(x = - 1.\) Vậy \(x \in \left\{ {7;\,\, - 1} \right\}.\) f) \(\frac{{ - 1}}{4}:\frac{{ - 3}}{4} + \frac{1}{2} < x < \frac{7}{8} - \frac{1}{2}:\frac{{ - 5}}{6}\) \(\frac{{ - 1}}{4} \cdot \frac{{ - 4}}{3} + \frac{1}{2} < x < \frac{7}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{ - 6}}{5}\) \(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} < x < \frac{7}{8} + \frac{3}{5}\) \(\frac{2}{6} + \frac{3}{6} < x < \frac{{35}}{{40}} + \frac{{24}}{{40}}\) \(\frac{5}{6} < x < \frac{{59}}{{40}}\) Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x = 1.\) Vậy \(x = 1.\)
|
Tìm \(x,\) biết:
a) \(x - \frac{3}{8} = \frac{1}{4}.\)
b) \(x + \frac{2}{3} = \frac{4}{{27}}.\)
c) \(\frac{7}{{15}} + \left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}}.\)
d) \(1,3x - 2,5 = 3,5.\)
e) \(0,2 + 0,8:x = 0,15.\)
f) \(\frac{1}{3}:\left( {2x - 1} \right) = \frac{{ - 4}}{{21}}.\)
g) \(\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = 25\% + \frac{2}{{ - 9}}.\)
h) \(60\% x + \frac{1}{5}x = \frac{4}{{25}}.\)
i) \(\frac{1}{2}\left( {x - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{3}\left( {2x - 3} \right) = x.\)
j) \({\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} - \frac{9}{{25}} = 0.\)
k) \(\left( {3x - 1} \right)\left( { - \frac{1}{2}x + 5} \right) = 0.\)
l) \({\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} - \frac{1}{{27}} = 0.\)
Hướng dẫn giải
a) \(x - \frac{3}{8} = \frac{1}{4}\) \(x = \frac{1}{4} + \frac{3}{8}\) \(x = \frac{5}{8}\) Vậy \(x = \frac{5}{8}.\) c) \(\frac{7}{{15}} + \left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}}\) \(\left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}} - \frac{7}{{15}}\) \(\frac{5}{6} - x = \frac{{13}}{{30}}\) \(x = \frac{5}{6} - \frac{{13}}{{30}}\) \(x = \frac{2}{5}.\) Vậy \(x = \frac{2}{5}.\) e) \(0,2 + 0,8:x = 0,15\) \(0,8:x = 0,15 - 0,2\) \(0,8:x = - 0,05\) \(x = 0,8:\left( { - 0,05} \right)\) \(x = - 16\) Vậy \(x = - 16.\) g) \(\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = 25\% + \frac{2}{{ - 9}}\) \(\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{4} - \frac{2}{9}\) \(\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{{36}}\) \(\frac{x}{7} = \frac{2}{5} - \frac{1}{{36}}\) \(\frac{x}{7} = \frac{{67}}{{180}}\) \(x = \frac{{469}}{{180}}.\) Vậy \(x = \frac{{469}}{{180}}.\) i) \(\frac{1}{2}\left( {x - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{3}\left( {2x - 3} \right) = x\) \(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3} - \frac{2}{3}x + 1 - x = 0\) \(\left( {\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}x - x} \right) + \left( { - \frac{1}{3} + 1} \right) = 0\) \(\left( {\frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 1} \right)x + \frac{2}{3} = 0\) \(\frac{{ - 7}}{6}x + \frac{2}{3} = 0\) \(\frac{{ - 7}}{6}x = - \frac{2}{3}\) \(x = - \frac{2}{3}:\frac{{ - 7}}{6}\) \(x = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{ - 6}}{7}\) \(x = \frac{4}{7}\) Vậy \(x = \frac{4}{7}.\) k) \(\left( {3x - 1} \right)\left( { - \frac{1}{2}x + 5} \right) = 0.\) | b) \(x + \frac{2}{3} = \frac{4}{{27}}\) \(x = \frac{4}{{27}} - \frac{2}{3}\) \(x = \frac{{ - 14}}{{27}}\) Vậy \(x = \frac{{ - 14}}{{27}}.\) d) \(1,3x - 2,5 = 3,5\) \(1,3x = 3,5 + 2,5\) \(1,2x = 6\) \(x = 6:1,3\) \(x = \frac{{60}}{{13}}.\) Vậy \(x = \frac{{60}}{{13}}.\) f) \(\frac{1}{3}:\left( {2x - 1} \right) = \frac{{ - 4}}{{21}}\) \(2x - 1 = \frac{1}{3}:\frac{{ - 4}}{{21}}\) \(2x - 1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{{ - 21}}{4}\) \(2x - 1 = \frac{{ - 7}}{4}\) \(2x = \frac{{ - 7}}{4} + 1\) \(2x = \frac{{ - 7}}{4} + \frac{4}{4}\) \(2x = \frac{{ - 3}}{4}\) \(x = \frac{{ - 3}}{4}:2\) \(x = \frac{{ - 3}}{{4 \cdot 2}}\) \(x = \frac{{ - 3}}{8}.\) Vậy \(x = \frac{{ - 3}}{8}.\) h) \(60\% x + \frac{1}{5}x = \frac{4}{{25}}\) \(\frac{3}{5}x + \frac{1}{5}x = \frac{4}{{25}}\) \(\left( {\frac{3}{5} + \frac{1}{5}} \right)x = \frac{4}{{25}}\) \(\frac{4}{5}x = \frac{4}{{25}}\) \(x = \frac{4}{{25}}:\frac{4}{5}\) \(x = \frac{1}{5}.\) Vậy \(x = \frac{1}{5}.\) j) \({\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} - \frac{9}{{25}} = 0.\) \({\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} - \frac{9}{{25}} = 0\) \({\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\) | ||
Trường hợp 1: \(x + \frac{3}{5} = \frac{3}{5}\) \(x = \frac{3}{5} - \frac{3}{5}\) \(x = 0;\) | Trường hợp 2: \(x + \frac{3}{5} = - \frac{3}{5}\) \(x = - \frac{3}{5} - \frac{3}{5}\) \(x = \frac{{ - 6}}{5}.\) | ||
Trường hợp 1: | Trường hợp 2: | ||
\(3x - 1 = 0\) \(3x = 1\) \(x = \frac{1}{3};\) | \( - \frac{1}{2}x + 5 = 0\)\( - \frac{1}{2}x = - 5\) \(x = 10.\) | Vậy \(x \in \left\{ {0;\,\,\frac{{ - 6}}{5}} \right\}.\) l) \({\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} - \frac{1}{{27}} = 0.\) \({\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}\) \(3x - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\) \(3x = \frac{5}{6}\) \(x = \frac{5}{{18}}\) Vậy \(x = \frac{5}{{18}}.\) | |
Vậy \(x \in \left\{ {\frac{1}{3};\,\,10} \right\}.\) | |||
Hai vòi cùng chảy vào một bể không có nước. Nếu chảy riêng vòi I chảy mất 5 giờ, vòi II chảy mất 4 giờ. Hỏi nếu mở cả hai vòi cùng chảy trong hai giờ thì bể đã đầy nước chưa?
Hướng dẫn giải
Vòi I chảy đầy bể sau 5 giờ nên mở vòi I chảy 1 giờ thì được \(\frac{1}{5}\) bể.
Vòi II chảy đầy bể sau 4 giờ nên mở vòi II chảy 1 giờ thì được \(\frac{1}{4}\) bể.
Do đó sau 2 giờ mở cả hai vòi thì được lượng nước chiếm số phần là: \(2\left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{4}} \right) = 2.\frac{9}{{20}} = \frac{9}{{10}}\) (bể).
Vậy sau hai giờ mở cả hai vòi, bể chưa đầy nước.
Mẹ Minh dành \(\frac{1}{3}\) số tiền lương hàng tháng để mua thực phẩm trong gia đình, \(\frac{2}{5}\) số tiền lương hàng tháng để đóng các loại học phí cho hai anh em Minh.
a) Hỏi mỗi tháng số tiền còn lại của mẹ Minh là bao nhiêu phần tiền lương?
b) Số tiền còn lại mẹ Minh dùng để chi tiêu các loại sinh hoạt phí và tiết kiệm cho vào quỹ dự phòng gia đình có việc dùng đến. Mẹ Minh thường tiết kiệm được một nửa số tiền còn lại này. Nếu lương tháng của mẹ Minh là \(15\) triệu đồng/tháng thì mỗi tháng mẹ Minh tiết kiệm được bao nhiêu tiền?
Hướng dẫn giải
a) Phân số chỉ số tiền còn lại mỗi tháng của mẹ Minh là: \(1 - \frac{1}{3} - \frac{2}{5} = \frac{4}{{15}}\) (số tiền lương).
b) Số tiền tiết kiệm của mẹ Minh chiếm số phần tiền lương là: \(\frac{1}{2}.\frac{4}{{15}} = \frac{2}{{15}}\) (số tiền lương).
Mỗi tháng mẹ Minh tiết kiệm được số tiền là: \(15.\frac{2}{{15}} = 2\) (triệu đồng).
Lớp 6A có \(48\) học sinh gồm ba loại giỏi, khá và trung bình, trong đó số học sinh giỏi chiếm \(25\% \) số học sinh cả lớp, số học sinh khá bằng \(\frac{1}{3}\) số học sinh cả lớp. Tính số học sinh giỏi và số học sinh khá của lớp 6A?
Hướng dẫn giải
Lớp 6A có số học sinh giỏi là: \(48.25\% = 12\) (học sinh).
Số học sinh khá của lớp 6A là: \(48.\frac{1}{3} = 16\) (học sinh).
Vậy số học sinh giỏi và khá của lớp 6A lần lượt là \(12;\,\,16\) học sinh.
Lớp 6A chia làm ba tổ trồng được một số cây. Số cây tổ 1 trồng được bằng \(\frac{1}{3}\) số cây cả lớp trồng được. Tổ 2 trồng được \(\frac{5}{{12}}\) số cây cả lớp trồng được. Tổ 3 trồng được 30 cây.
a) Tính số cây mỗi tổ trồng được.
b) Tính tỉ số phần trăm số cây tổ 1 trồng và số cây tổ 2 trồng được.
Hướng dẫn giải
a) Phân số chỉ số cây tổ 3 trồng được là:
\(1 - \frac{1}{3} - \frac{5}{{12}} = \frac{{12}}{{12}} - \frac{4}{{12}} - \frac{5}{{12}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}\) (tổng số cây).
Số cây lớp 6A là: \(30:\frac{1}{4} = 30.4 = 120\) (cây).
Số cây tổ 1 trồng được là: \(\frac{1}{3}.120 = 40\) (cây).
Số cây tổ 2 trồng được là: \(\frac{5}{{12}}.120 = 50\) (cây).
b) Tỉ số phần trăm số cây tổ 1 trồng và số cây tổ 2 trồng được là: \(\frac{{40}}{{50}} \cdot 100\% = 80\% .\)
Một trường THCS có \[1\,\,800\] học sinh gồm khối \[6,\] khối \[7,\] khối \[8\] và khối \[9.\] Số học sinh khối \[6\] bằng \(25\% \) số học sinh toàn trường. Số học sinh khối \[7\] bằng \(\frac{3}{{10}}\) số học sinh toàn trường và bằng \(\frac{6}{5}\) số học sinh khối \[8.\]
a) Tính số học sinh mỗi khối.
b) Tính tỉ số phần trăm của tổng số học sinh khối \[8\]và \[9\] so với số học sinh toàn trường.
Hướng dẫn giải
a) Số học sinh khối \[6\] là: \(1\,\,800 \cdot \frac{{25}}{{100}} = 450\) (học sinh).
Số học sinh khối \[7\] là: \(1\,\,800 \cdot \frac{3}{{10}} = 540\) (học sinh).
Số học sinh khối \[8\] là: \(540:\frac{6}{5} = 450\) (học sinh).
Số học sinh khối \[9\] là: \(1\,\,800 - \left( {450 + 540 + 450} \right) = 360\) (học sinh).
b) Tổng số học sinh khối \[8\] và \[9\] là : \(360 + 450 = 810\) (học sinh).
Tỉ số phần trăm của tổng số học sinh khối \[8\] và \[9\] so với số học sinh toàn trường là:
\(\frac{{810}}{{1\,\,800}} \cdot 100\% = 45\% .\)
Ba người thợ chia nhau tiền công. Người thứ nhất được \(\frac{2}{9}\) tổng số tiền, người thứ hai được \(\frac{3}{8}\) tổng số tiền, người thứ ba được số tiền nhiều hơn người thứ hai là \(300\,\,000\) đồng. Hỏi mỗi người được nhận bao nhiêu tiền công?
Hướng dẫn giải
Phân số chỉ số tiền người thứ ba nhận được là: \(1 - \frac{2}{9} - \frac{3}{8} = \frac{{29}}{{72}}\) (tổng số tiền).
\(300\,\,000\) ứng với số phần là: \(\frac{{29}}{{72}} - \frac{3}{8} = \frac{1}{{36}}\) (tổng số tiền).
Tổng số tiền công của ba người là: \(300\,\,000:\frac{1}{{36}} = 10\,\,800\,\,000\) (đồng).
Số tiền công của người thứ nhất là: \(10\,\,800\,\,000 \cdot \frac{2}{9} = 2\,\,400\,\,000\) (đồng).
Số tiền công của người thứ hai là: \(10\,\,800\,\,000 \cdot \frac{3}{8} = 4\,\,050\,\,000\) (đồng).
Số tiền công của người thứ ba là: \(4\,\,050\,\,000 + 300\,\,000 = 4\,\,350\,\,000\) (đồng).
Vậy số tiền công của người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba lần lượt là \(2\,\,400\,\,000;\)\(4\,\,050\,\,000;\)\(4\,\,350\,\,000\) đồng.
Một nhóm công nhân được giao trồng một số cây. Ngày thứ nhất nhóm trồng được \(\frac{2}{5}\) số cây. Ngày thứ hai nhóm trồng được \(\frac{5}{{11}}\) số cây còn lại. Biết rằng ngày thứ ba nhóm tròng nốt 180 cây thì hoàn thành công việc. Ban đầu mỗi nhóm được giao bao nhiêu cây?
Hướng dẫn giải
Sau ngày thứ nhất, phân số chỉ số cây nhóm công nhân cần phải trồng tiếp là: \(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\) (tổng số cây).
Phân số chỉ số cây nhóm công nhân trồng được ở ngày thứ hai là: \(\frac{5}{{11}} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{{11}}\) (tổng số cây).
Sau ngày thứ hai, phân số chỉ số cây nhóm công nhân cần phải trồng tiếp là: \(\frac{3}{5} - \frac{3}{{11}} = \frac{{18}}{{55}}\) (tổng số cây).
Số cây nhóm công nhân phải trồng ban đầu là: \(180:\frac{{18}}{{55}} = 550\) (cây).
Lớp 6A có \(60\) học sinh chia làm \(3\) loại: trung bình, khá và giỏi. Số học sinh giỏi bằng \(\frac{1}{5}\) số học sinh khá, số học sinh trung bình bằng \(\frac{2}{3}\) tổng số học sinh khá và giỏi. Hỏi số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp 6A?
Hướng dẫn giải
Vì số học sinh trung bình bằng \(\frac{2}{3}\) tổng số học sinh khá và giỏi nên số học sinh trung bình bằng \(\frac{2}{5}\) số học sinh cả lớp.
Số học sinh trung bình là: \(60 \cdot \frac{2}{5} = 24\) (học sinh).
Số học sinh khá và giỏi là: \(60 - 24 = 36\)(học sinh).
Vì số học sinh giỏi bằng \(\frac{1}{5}\) số học sinh khá nên số học sinh giỏi bằng \(\frac{1}{6}\) tổng số học sinh khá và giỏi.
Số học sinh giỏi là: \(36.\frac{1}{6} = 6\) (học sinh).
Số học sinh khá là: \(36 - 6 = 30\) (học sinh).
Vậy số học sinh lớp giỏi, khá, trung bình của lớp 6A lần lượt là \(6;\,\,30;\,\,24\) học sinh.
Học kì I lớp 6B có số học sinh giỏi bằng \(\frac{1}{{14}}\) số học sinh còn lại, sau học kì II cô thêm 2 bạn đạt học sinh giỏi nên số học sinh giỏi của lớp 6B bằng \(\frac{2}{{15}}\) số học sinh của lớp. Hỏi lớp 6B có bao nhiêu học sinh? Có bao nhiêu học sinh giỏi?
Hướng dẫn giải
Vì số học sinh giỏi kì I bằng \(\frac{1}{{14}}\) số học sinh còn lại nên số học sinh giỏi kì I bằng \(\frac{1}{{15}}\) số học sinh cả lớp.
Đến cuối kì II cô thêm 2 bạn đạt học sinh giỏi nên số học sinh giỏi kì II nhiều hơn số học sinh giỏi kì I. Phân số chỉ số học sinh giỏi tăng thêm là: \(\frac{2}{{15}} - \frac{1}{{15}} = \frac{1}{{15}}.\)
Số học sinh của lớp 6B là: \(2:\frac{1}{{15}} = 30\) (học sinh).
Số học sinh giỏi của lớp 6B là: \(30 \cdot \frac{2}{{15}} = 4\) (học sinh).
Vậy lớp 6B có \(30\) học sinh và số học sinh giỏi là \(4\) học sinh.
Đầu năm học, sổ học sinh nữ của lớp 6A bằng \(90\% \) số học sinh nam. Giữa năm học có thêm 4 học sinh nam chuyển vào lớp nên số học sinh nữ bằng \(75\% \) số học sinh nam. Tính xem đầu năm học, lớp 6A có bao nhiêu học sinh.
Hướng dẫn giải
Vì đầu năm học số học sinh nữ của lớp 6A bằng \(90\% = \frac{9}{{10}}\) số học sinh nam nên số học sinh nam bằng \(\frac{{10}}{9}\) số học sinh nữ.
Đến giữa năm học có thêm 4 học sinh nam chuyển vào lớp nên số học sinh nữ bằng \(75\% = \frac{3}{4}\) số học sinh nam nên số học sinh nam lúc này bằng \(\frac{4}{3}\) số nữ.
Do số học sinh nữ không đổi nên số phần chỉ hiệu số nam đầu năm và giữa năm là:
\(\frac{4}{3} - \frac{{10}}{9} = \frac{2}{9}.\)
Số học sinh nữ đầu năm học là: \(4:\frac{2}{9} = 18\) (học sinh).
Số học sinh nam đầu năm học là: \(18 \cdot \frac{{10}}{9} = 20\) (học sinh).
Số học sinh đầu năm học của lớp 6A là: \(18 + 20 = 38\) (học sinh).
Vậy số học sinh đầu năm của lớp 6A là \(38\) học sinh.
Vẽ góc \(xOy\) có số đo bằng \(55^\circ .\) Sau đó vẽ tia \(Ox'\) là tia đối của tia \(Ox,\) vẽ tia \(Oy'\) là tia đối của tia \(Oy.\)
a) Kể tên tất cả bốn góc có đỉnh \(O\) (không kể góc bẹt). Trong các góc đó góc nào là góc nhọn, góc nào là góc tù?
b) Lấy điểm \(A\) nằm trên tia \(Ox\) sao cho \(OA = 3{\rm{\;cm}},\) điểm \(B\) nằm trên tia \(Ox'\) sao cho \(OB = 3{\rm{\;cm}}.\) Hỏi \(O\) có là trung điểm của \(AB\) hay không?
Hướng dẫn giải
a)
Các góc đỉnh \(O\) là: \(\widehat {xOy};\,\,\widehat {xOy'};\,\,\widehat {x'Oy};\,\,\widehat {x'Oy'}.\)
Các góc nhọn là: \(\widehat {xOy};\,\,\widehat {x'Oy'}.\)
Các góc tù là: \(\widehat {x'Oy};\,\,\widehat {xOy'}.\)
Cho đoạn thẳng \[PQ\] có độ dài bằng \[6{\rm{\;cm}}.\] Trên đường thẳng \[PQ\] xác định điểm \[M\] sao cho \[PM = 3{\rm{\;cm}}.\] Hỏi điểm \[M\] có phải là trung điểm của đoạn thẳng \[PQ\] không?
Hướng dẫn giải
Trường hợp 1. Điểm \[M\] nằm giữa \[P\] và \[Q\]
Ta có: \[PM + MQ = PQ\]
Hay \[3 + MQ = 6\]
Suy ra \[MQ = 6 - 3 = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Vì điểm \[M\] nằm giữa \[P,\,\,Q\] và \[PM = MQ = 3{\rm{\;cm}}\] nên điểm \[M\] là trung điểm của đoạn thẳng \[PQ.\]
Trường hợp 2. Điểm \[M\] không nằm giữa \[P\] và \[Q\]
Vì điểm \[M\] không nằm giữa \[P\] và \[Q\] nên trong trường hợp này điểm \[M\] không phải là trung điểm của đoạn thẳng \[PQ.\]
Vẽ ba điểm \[A,\,\,B,\,\,C\] thẳng hàng, điểm \[B\] nằm giữa hai điểm \[A\] và \[C\] sao cho \[AB = 2{\rm{\;cm}};\] \[AC = 6{\rm{\;cm}}.\] Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC.\]
a) Tính độ dài đoạn thẳng \[BC.\]
b) \[B\] có phải là trung điểm của đoạn thẳng \[AI\] không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
a) Điểm \[B\] nằm giữa hai điểm \[A\] và \[C\] nên ta có: \[AB + BC = AC\]
Hay \[2 + BC = 6\]
Suy ra \[BC = 6 - 2 = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
b) Ta có \[I\] là trung điểm của \[BC\] nên: \[BI = IC = \frac{{BC}}{2} = \frac{4}{2} = 2{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Vì điểm \[B\] nằm giữa hai điểm \[A,\,\,I\] và \[AB = BI = 2{\rm{\;cm}}\] nên \[B\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AI.\]
Tính độ dài đoạn thẳng \(AB,\) biết \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) và \(BM = 6{\rm{\;cm}}.\) Trên đoạn thẳng \(MA\) xác định \(I\) sao cho \[MI = 3{\rm{\;cm}}.\] Hỏi điểm \(I\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(MA\) không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
Từ hình vẽ ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AB = 2MB = 2 \cdot 6 = 12{\rm{\;cm}}\) và \(AM = MB = 6{\rm{\;cm}}.\)
Vì \(I\) nằm giữa \(A\) và \(M\) nên \(AI + IM = AM\)
Hay \(AI + 3 = 6\)
Suy ra \(AI = 6 - 3 = 3{\rm{\;cm}}.\)
Như vậy \(I\) nằm giữa \(A\) và \(M\) và \(AI = IM = 3{\rm{\;cm}}.\)
Do đó \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MA.\)
Vẽ đường thẳng \(xy\), vẽ đoạn thẳng \(MP\) dài \(8cm\) và điểm \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MP.\)
a) Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\).
b) Vẽ điểm \(I\) thuộc đoạn thẳng \(MN\) sao cho \(MI = 2cm\). Hỏi \(I\) có là trung điểm của đoạn \(MN\) không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
a) Từ hình vẽ ta thấy \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MP\) nên ta có:
\(MN = NP = \frac{{MO}}{2} = \frac{8}{2} = 4{\rm{\;cm}}.\)
b) Ta có \(I\) nằm giữa \(M\) và \(N\) nên \(MI + IN = MN\)
Hay \(2 + IN = 4\)
Suy ra \(IN = 4 - 2 = 2{\rm{\;cm}}.\)
Vì \(I\) nằm giữa \(M,\,\,N\) và \(MI = IN = 2{\rm{\;cm}}\) nên \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN.\)
Trên tia \[Ax\] lấy điểm \[H,\,\,K\] sao cho \[AH = 4{\rm{\;cm}},\,\,AK = 8{\rm{\;cm}}.\]
a) \[H\] có là trung điểm của \[AK\] không? Vì sao?
b) Trên tia đối của tia \[Ax\] lấy \[P\] sao cho \[A\] là trung điểm của đoạn thẳng \[PH.\] So sánh \[PH\] và \[AK.\]
c) Trên đoạn thẳng \[PH\] lấy điểm \[I\] sao cho \[PI = 3{\rm{\;cm}}.\] Tính độ dài \[HI.\]
Hướng dẫn giải
a) Vì điểm \[H\] nằm giữa hai điểm \[A\] và \[K\] nên ta có: \(AH + HK = AK\)
Hay \(4 + HK = 8\)
Suy ra \[HK = 8 - 4 = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Do đó \[AH = HK\left( { = 4{\rm{\;cm}}} \right).\]
Điểm \[H\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AK\] vì điểm \[H\] nằm giữa hai điểm \[A\] và \[K\] và \[AH = HK.\]
b) Vì điểm \[A\] là trung điểm của đoạn thẳng \[PH\] nên ta có: \[AH = \frac{{PH}}{2}\]
Suy ra \[PH = 2AH = 2 \cdot 4 = 8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Do đó \[PH = AK\left( { = 8{\rm{\;cm}}} \right).\]
c) Vì điểm \[I\] nằm giữa hai điểm \[P\] và \[H\] nên ta có: \(PI + IH = PH.\)
Hay \(3 + IH = 8\)
Suy ra \[IH = 8 - 3 = 5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Vậy \[IH = 5{\rm{\;cm}}.\]
Đọc tên góc, đỉnh và các cạnh của mỗi góc trong hình Hình a, Hình b, Hình c.
 a) |  b) |  c) |
Hình a) ⦁ Góc \[xPy\] có đỉnh là \[P,\] hai cạnh là các tia \[Px,{\rm{ }}Py.\] ⦁ Góc \[ySz\] có đỉnh là \[S,\] hai cạnh là các tia \[Sy,{\rm{ }}Sz.\] |  a) |
Hình b) ⦁ Góc \[mOn\] có đỉnh là \[O,\] hai cạnh là các tia \[Om,{\rm{ }}On.\] ⦁ Góc \[mOp\] có đỉnh là \[O,\] hai cạnh là các tia \[Om,{\rm{ }}Op.\] ⦁ Góc \[nOp\] có đỉnh là \[O,\] hai cạnh là các tia \[On,{\rm{ }}Op.\] |  b) |
Hình c) ⦁ Góc \[aOb\] có đỉnh là \[O,\] hai cạnh là các tia \[Oa,{\rm{ }}Ob.\] ⦁ Góc \[aOc\] có đỉnh là \[O,\] hai cạnh là các tia \[Oa,{\rm{ }}Oc.\] ⦁ Góc \[aOd\] có đỉnh là \[O,\] hai cạnh là các tia \[Oa,{\rm{ }}Od.\] ⦁ Góc \[bOc\] có đỉnh là \[O,\] hai cạnh là các tia \[Ob,{\rm{ }}Oc.\] ⦁ Góc \[bOd\] có đỉnh là \[O,\] hai cạnh là các tia \[Ob,{\rm{ }}Od.\] ⦁ Góc \[cOd\] có đỉnh là \[O,\] hai cạnh là các tia \[Oc,{\rm{ }}Od.\] |  c) |
Trong các góc sau, góc nào là góc nhọn, góc vuông, góc tù, góc bẹt?
\[\widehat {xOy} = 110^\circ \]; \[\widehat {mOn} = 70^\circ \]; \[\widehat {aOb} = 150^\circ \]; \[\widehat {pOq} = 90^\circ \]; \[\widehat {eOf} = 180^\circ \].
Hướng dẫn giải
Góc nhọn là \[\widehat {mOn} = 70^\circ .\]
Góc vuông là \[\widehat {pOq} = 90^\circ .\]
Góc tù là \[\widehat {xOy} = 110^\circ ;\] \[\widehat {aOb} = 150^\circ .\]
Góc bẹt là \[\widehat {eOf} = 180^\circ .\]
Vẽ đường thẳng \[q,\] trên đường thẳng \[q,\] lấy \[2\] điểm \[M\] và \[N\] bất kì \[\left( {M \ne N} \right).\] Hãy vẽ \[2\] tia \[Mx,\] \[Ny\] sao cho \[\widehat {xMN} = 60^\circ ;\] \[\widehat {yNM} = 20^\circ .\]
Hướng dẫn giải
Cho hình vẽ.
a) Trong hình bên, góc nào có số đo nhỏ nhất?
b) Trong hình bên, góc nào có số đo lớn nhất?
c) Sắp xếp các góc \[\widehat {xOy},\] \[\widehat {yOz},\] \[\widehat {mOz},\] \[\widehat {mOn},\] \[\widehat {xOz}\] theo thứ tự giảm dần về số đo góc.
d) So sánh \[\widehat {xOy} + \widehat {yOz}\] với \[\widehat {xOz}.\]
Hướng dẫn giải
a) Góc có số đo nhỏ nhất là: \[\widehat {zOm} = 15^\circ .\]
b) Góc có số đo lớn nhất là: \[\widehat {xOn} = 105^\circ .\]
c) Ta có: \[\widehat {zOm} = 15^\circ ,\] \[\widehat {yOz} = 25^\circ ,\] \[\widehat {mOn} = 30^\circ ,\] \[\widehat {xOz} = 40^\circ .\]
Vì \[40^\circ > 30^\circ > 25^\circ > 15^\circ \] nên \[\widehat {xOz} > \widehat {mOn} > \widehat {yOz} > \widehat {xOy}.\]
Vậy sắp sếp các góc trên theo thứ tự giảm dần là: \[\widehat {xOz};\,\,\,\widehat {mOn};\,\,\widehat {yOz};\,\,\widehat {xOy}.\]
d) Ta có: \[\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 15^\circ + 25^\circ = 40^\circ \] và \[\widehat {xOz} = 40^\circ .\]
Do đó \[\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = \widehat {xOz}\] (vì cùng bằng \[40^\circ ).\]
a) Có \(10\) tia chung gốc, trong đó không có hai tia nào đối nhau. Hỏi có bao nhiêu góc được tạo thành.
b) Cho trước một số điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ đường thẳng đi qua các cặp điểm. Biết tổng số đường thẳng vẽ được 36. Hỏi có bao nhiêu điểm cho trước?
Hướng dẫn giải
a) Gọi \(n\) là số tia chung gốc, trong đó không có hai tia nào đối nhau.
Cứ 1 tia với \(n - 1\) tia còn lại, tạo được \(n - 1\) góc.
Có \(n\) tia như vậy nên số góc là \(n\left( {n - 1} \right).\)
Mà mỗi góc được tính 2 lần lên số góc thực tế là \(\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\)
Tổng số góc là: \(\frac{{10 \cdot \left( {10 - 1} \right)}}{2} = 45\) góc.
b) Gọi \(n\) là số điểm trong đó không có 3 điểm thẳng hàng.
Cứ 1 điểm với \(n - 1\) điểm còn lại, được \(n - 1\) cặp điểm và có \(n - 1\) đường thẳng đi qua các cặp điểm đó.
Có \(n\) điểm như vậy nên số đường thẳng là \(n\left( {n - 1} \right).\)
Mà mỗi đường thẳng được tính 2 lần lên số đường thẳng thực tế là \(\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\)
Theo bài ra ta có 36 đường thẳng nên \[\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 36.\]
Suy ra \[n\left( {n - 1} \right) = 9 \cdot 8\]
Do đó \[n = 9.\]
Vậy có 9 điểm.
Biểu đồ sau đây nói về độ lớn của một số âm thanh trong cuộc sống:
Đơn vị được dùng để đo cường độ âm thanh là decibel (dB). Các âm thanh từ 85 dB trở lên (gọi là tiếng ồn) mà tai chúng ta phải tiếp xúc kéo dài hoặc lặp lại nhiều lần có thể làm giảm khả năng nghe hoặc gây điếc. Dựa vào biểu đồ trên, em hãy nêu ra những âm thanh chúng ta nên tránh hoặc hạn chế tiếp xúc.
Hướng dẫn giải:
Những âm thanh từ 85 dB trở lên là: máy sấy tóc, nhạc rock, máy cưa, búa khoan. Vậy đó là những âm thanh chúng ta nên tránh hoặc hạn chế tiếp xúc.
Số lượng vé bán được với các hạng vé khác nhau của một buổi biểu diễn hòa nhạc được biểu diễn như biểu đồ sau:
Hạng vé | Giá vé | Số vé bán được |
CAT1 | 100 000 đồng |   |
CAT2 | 150 000 đồng | |
CAT3 | 200 000 đồng | |
PLATINUM | 500 000 đồng | |
VIP | 1 000 000 đồng | |
| : 100 vé; : 50 vé | ||
a) Lập bảng thống kê biểu diễn số lượng vé bán được.
b) Tổng số vé bán được là bao nhiêu? Tổng số tiền bán vé thu được là bao nhiêu?
c) Nếu nhà hát có 2 500 ghế thì số vé bán được chiếm bao nhiêu phần trăm?
Hướng dẫn giải:
a) Bảng thống kê biểu diễn số lượng vé bán được như sau:
Hạng vé | Giá vé | Số vé bán được |
CAT1 | 100 000 đồng | 750 |
CAT2 | 150 000 đồng | 450 |
CAT3 | 200 000 đồng | 350 |
PLATINUM | 500 000 đồng | 150 |
VIP | 1 000 000 đồng | 100 |
b) Tổng số vé bán được là: \(750 + 450 + 350 + 150 + 100 = 1\,\,800\) (vé).
Số tiền bán vé CAT1 thu được là: \(100\,\,000 \cdot 750 = 75\,\,000\,\,000\) (đồng).
Số tiền bán vé CAT2 thu được là: \(150\,\,000 \cdot 450 = 67\,\,500\,\,000\) (đồng).
Số tiền bán vé CAT3 thu được là: \(200\,\,000 \cdot 350 = 70\,\,000\,\,000\) (đồng).
Số tiền bán vé PLATINUM thu được là: \(500\,\,000 \cdot 150 = 75\,\,000\,\,000\) (đồng).
Số tiền bán vé CAT3 thu được là: \(1\,\,000\,\,000 \cdot 100 = 100\,\,000\,\,000\) (đồng).
Tổng số tiền bán vé thu được là:
\(75\,\,000\,\,000 + 67\,\,500\,\,000 + 70\,\,000\,\,000 + 75\,\,000\,\,000 + 100\,\,000\,\,000 = 387\,\,500\,\,000\) (đồng).
c) Nếu nhà hát có 2 500 ghế thì số vé bán được chiếm số phần trăm là:
\(\frac{{1\,\,800}}{{2\,\,500}} \cdot 100\% = 72\% .\)
Một cuộc khảo sát phương tiện đi làm trong toàn thể nhân viên của một công ty cho thấy có 35 nhân viên đi xe bus, 5 nhân viên đi xe đạp, 20 nhân viên đi xe máy, 7 nhân viên đi ô tô, không có nhân viên nào sử dụng các phương tiện khác.
a) Lập bảng thống kê số lượng nhân viên sử dụng mỗi loại phương tiện đi làm.
b) Công ty có tất cả bao nhiêu nhân viên? Phương tiện nào được nhân viên sử dụng nhiều nhất?
c) Vẽ biểu đồ cột biểu thị số lượng nhân viên sử dụng mỗi loại phương tiện đi làm.
Hướng dẫn giải:
a) Bảng thống kê số lượng nhân viên sử dụng mỗi loại phương tiện đi làm như sau:
Phương tiện | Xe bus | Xe đạp | Xe máy | Ô tô |
Số nhân viên | 35 | 5 | 20 | 7 |
b) Số nhân viên của công ty là: \(35 + 5 + 20 + 7 = 67\) (nhân viên).
Ta thấy \(5 < 7 < 20 < 35\) nên xa bus là phương tiện được nhiều nhân viên sử dụng nhất.
c) Biểu đồ cột biểu thị số lượng nhân viên sử dụng mỗi loại phương tiện đi làm:
Biểu đồ dưới đây biểu diễn số học sinh giỏi hai môn Toán và Ngữ văn của các lớp 6A, 6B, 6C, 6D và 6E.
a) Số học sinh giỏi môn Toán của lớp nào nhiều nhất? Ít nhất?
b) Lớp nào có nhiều học sinh giỏi môn Ngữ Văn hơn môn Toán?
c) Bạn Nam nói lớp 6D có sĩ số là 34 học sinh. Theo em, bạn Nam nói đúng không? Vì sao?
Hướng dẫn giải:
a) Số học sinh giỏi môn Toán của lớp 6E nhiều nhất và của lớp 6A ít nhất.
b) Các lớp có số học sinh giỏi môn Ngữ Văn hơn môn Toán là 6B, 6D.
Lớp 6B có số học sinh giỏi môn Ngữ Văn hơn môn Toán là: \(13 - 10 = 3\) (học sinh).
Lớp 6D có số học sinh giỏi môn Ngữ Văn hơn môn Toán là: \(17 - 16 = 1\) (học sinh).
Vậy lớp 6B có nhiều học sinh giỏi môn Ngữ Văn hơn môn Toán.
c) Sĩ số của lớp 6D là: \(16 + 17 = 33\) (học sinh).
Vậy khẳng định của bạn Nam là sai.
Bảng thống kê dưới đây cho biết số huy chương vàng và tổng số huy chương của các quốc gia tham dự SEA GAMES 31.
Đoàn thể thao | Huy chương vàng | Tổng huy chương |
Brunei | 2 | 9 |
Campuchia | 81 | 281 |
Đông Timor | 0 | 8 |
Indonesia | 86 | 276 |
Lào | 6 | 88 |
Malaysia | 34 | 176 |
Myanmar | 21 | 114 |
Philippines | 58 | 260 |
Singapore | 51 | 157 |
Thái Lan | 108 | 312 |
Việt Nam | 136 | 355 |
a) Kể 3 tên quốc gia có số huy chương vàng nhiều nhất.
b) Vẽ biểu đồ cột kép biểu diễn số huy chương vàng và tổng số huy chương của các quốc gia tham dự SEA GAMES 31.
c) Việc xếp hạng chung cuộc căn cứ trên số huy chương vàng, nếu hai quốc gia có số huy chương vàng bằng nhau thì quốc gia nào đạt được nhiều huy chương bạc hơn sẽ được xếp trên, trường hợp số huy chương bạc vẫn bằng nhau thì việc xếp hạng sẽ dựa trên số huy chương đồng đạt được. Theo em, Việt Nam xếp thứ mấy chung cuộc?
d) Nếu xếp hạng theo tổng số huy chương đạt được thì Việt Nam đứng thứ mấy?
Hướng dẫn giải:
a) Ba quốc gia có số huy chương vàng nhiều nhất là: Việt Nam, Thái Lan, Indonesia.
b) Biểu đồ cột kép biểu diễn số huy chương vàng và tổng số huy chương của các quốc gia tham dự SEA GAMES 31:
c) Theo căn cứ đề bài cho, Việt Nam có nhiều huy chương vàng nhất nên Việt Nam xếp thứ nhất chung cuộc.
d) Nếu xếp hạng theo tổng số huy chương đạt được thì Việt Nam đứng thứ nhất, do Việt Nam có tổng số huy chương nhiều nhất.
Một hộp có 10 chiếc thẻ mỗi loại được ghi một trong các số \(1;\,\,2;\,\,3;...;\,\,10.\) Hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp.
a) Nêu những kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra.
b) Số xuất hiện trên thẻ được rút ra có phải là phần tử của tập hợp \(\left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9;\,\,10} \right\}\) hay không?
Hướng dẫn giải:
a) Những kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra là: \(1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9;\,\,10.\)
b) Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là phần tử của tập hợp \(\left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9;\,\,10} \right\}.\)
Mai gieo con xúc xắc 80 lần và ghi lại số chấm xuất hiện ở mỗi lần gieo được kết quả như sau:
Số chấm xuất hiện | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Số lần | 12 | 15 | 14 | 18 | 10 | 11 |
Tính xác suất thực nghiệm:
a) xuất hiện số chấm là 5.
b) xuất hiện số chấm là số chẵn.
c) xuất hiện số chấm là số lớn hơn 3.
Hướng dẫn giải:
a) Xác suất thực nghiệm xuất hiện số chấm là 5 là: \(\frac{{10}}{{80}} = \frac{1}{8}.\)
b) Các số chấm là số chẵn là \(2;\,\,4;\,\,6.\)
Xác suất thực nghiệm xuất hiện số chấm là số chẵn là: \(\frac{{15 + 18 + 11}}{{80}} = \frac{{44}}{{80}} = \frac{{11}}{{20}}.\)
c) Các số chấm là số chẵn là \(4;\,\,5;\,\,6.\)
Xác suất thực nghiệm xuất hiện số chấm là số lớn hơn 3 là: \(\frac{{18 + 10 + 11}}{{80}} = \frac{{39}}{{80}}.\)
Hai bạn Mai và Đào đã cùng chơi với nhau 20 ván cờ vua. Mai đã thắng 10 ván, hòa 8 ván và thua 2 ván. Đào rất muốn gỡ nhưng hai bạn chỉ thi đấu với nhau 25 ván. Theo em, trong hai bạn thì bạn nào có khả năng giành chiến thắng cao hơn?
Hướng dẫn giải:
Hai bạn thi đấu với nhau 25 ván, mà Mai đã thắng 10 ván, hòa 8 ván nên số ván mà bạn Đào thắng nhiều nhất có thể là: \(25 - 10 - 8 = 7\) (ván).
Do đó, dù bạn Đào thắng thêm 5 ván còn lại (sau khi đã chơi 20 ván) thì bạn Mai vẫn có số ván thắng nhiều hơn nên khả năng giành chiến thắng cao hơn.
Kết quả kiểm tra môn Toán của một lớp 6 được liệt kê như sau:
\(\begin{array}{*{20}{c}}9&8&{10}&6&6&4&3&7&9&6&5&5&8&8&7&7&5&7&8&6\\7&7&9&5&6&8&5&9&9&5&6&7&5&7&6&6&3&5&7&9\end{array}\)
a) Lập bảng thống kê điểm kiểm tra môn Toán của lớp.
b) Vẽ biểu đồ cột thể hiện bảng thống kê trên.
c) Tính xác suất thực nghiệm của các sự kiện sau:
i) “Điểm của bạn được chọn đạt trên 7”;
ii) “Điểm của bạn được chọn là số lẻ”;
iii) “Điểm của bạn được chọn chia hết cho 3”.
Hướng dẫn giải:
a) Bảng thống kê điểm kiểm tra môn Toán của lớp như sau:
Điểm | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Số học sinh | 2 | 1 | 8 | 8 | 9 | 5 | 6 | 1 |
b) Biểu đồ cột biểu diễn kết quả kiểm tra môn Toán của một lớp 6 như sau:
c) Tổng số học sinh của lớp 6 đó là: \(2 + 1 + 8 + 8 + 9 + 5 + 6 + 1 = 40\) (học sinh).
i) Các điểm trên 7 là điểm \(8;\,\,9;\,\,10.\)
Xác suất thực nghiệm của sự kiện “Điểm của bạn được chọn đạt trên 7” là: \(\frac{{5 + 6 + 1}}{{40}} = \frac{{12}}{{40}} = \frac{3}{{10}}.\)
ii) Các điểm là số là điểm \(3;\,\,5;\,\,7;\,\,9.\)
Xác suất thực nghiệm của sự kiện “Điểm của bạn được chọn là số lẻ” là: \(\frac{{2 + 8 + 9 + 6}}{{40}} = \frac{{25}}{{40}} = \frac{5}{8}.\)
ii) Các điểm là số chia hết cho 3 là điểm \(3;\,\,6;\,\,9.\)
Xác suất thực nghiệm của sự kiện “Điểm của bạn được chọn chia hết cho 3” là: \(\frac{{2 + 8 + 6}}{{40}} = \frac{{16}}{{40}} = \frac{2}{5}.\)
iii) Các điểm là số là điểm \(3;\,\,5;\,\,7;\,\,9.\)
Xác suất thực nghiệm của sự kiện “Điểm của bạn được chọn là số lẻ” là: \(\frac{{2 + 8 + 9 + 6}}{{40}} = \frac{{25}}{{40}} = \frac{5}{8}.\)
Cho \(S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + .... + \frac{1}{{{{99}^2}}}.\) Chứng mính rằng \(\frac{{49}}{{100}} < S < 1.\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \[\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2 \cdot 2}} < \frac{1}{{1 \cdot 2}};\]
\[\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} < \frac{1}{{2 \cdot 3}};\]
\[\frac{1}{{{4^2}}} = \frac{1}{{4 \cdot 4}} < \frac{1}{{3 \cdot 4}};\]
\[........................\]
\[\frac{1}{{{{99}^2}}} = \frac{1}{{99 \cdot 99}} < \frac{1}{{98 \cdot 99}}.\]
Suy ra \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{98 \cdot 99}}\)
\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{98}} - \frac{1}{{99}}\)
\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1 - \frac{1}{{99}}\)
\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < \frac{{98}}{{99}} < 1\)
Do đó \[S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1.\,\,\,\left( 1 \right)\]
Ta có: \(\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2 \cdot 2}} > \frac{1}{{2 \cdot 3}};\)
\(\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} > \frac{1}{{3 \cdot 4}};\)
\(\frac{1}{{{4^2}}} = \frac{1}{{4 \cdot 4}} > \frac{1}{{4 \cdot 5}};\)
\(........................\)
\(\frac{1}{{{{99}^2}}} = \frac{1}{{99 \cdot 99}} > \frac{1}{{99 \cdot 100}}.\)
Suy ra \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5}} + ... + \frac{1}{{99 \cdot 100}}\)
\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + .... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\)
\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{2} - \frac{1}{{100}}\)
\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{{49}}{{100}}{\rm{ }}\)
Do đó \(S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{{49}}{{100}}.\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{49}}{{100}} < S < 1.\)
Cho hai biểu thức:
\(A = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{999 \cdot 1\,\,000}}\) và \(B = \frac{1}{{501 \cdot 1\,\,000}} + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + ... + \frac{1}{{999 \cdot 502}} + \frac{1}{{1\,\,000 \cdot 501}}.\)
Tính \(\frac{A}{B}.\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(A = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{999 \cdot 1\,\,000}}\)
\[ = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{997}} - \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{999}} - \frac{1}{{1\,\,000}}\]
\[ = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{997}} + \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{999}} + \frac{1}{{1\,\,000}} - 2 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{1\,\,000}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{997}} + \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{999}} + \frac{1}{{1\,\,000}} - \frac{1}{1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - ... - \frac{1}{{499}} - \frac{1}{{500}}\]
\[ = \frac{1}{{501}} + \frac{1}{{502}} + \frac{1}{{503}} + ... + \frac{1}{{1\,\,000}}.\]
Ta có: \[A = \frac{1}{{501}} + \frac{1}{{502}} + \frac{1}{{503}} + ... + \frac{1}{{1\,\,000}}\] và \[A = \frac{1}{{1\,\,000}} + \frac{1}{{999}} + \frac{1}{{998}} + ... + \frac{1}{{502}} + \frac{1}{{501}}\]
Suy ra:
\[2A = \left( {\frac{1}{{501}} + \frac{1}{{1000}}} \right) + \left( {\frac{1}{{502}} + \frac{1}{{999}}} \right) + \left( {\frac{1}{{503}} + \frac{1}{{998}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{999}} + \frac{1}{{502}}} \right) + \left( {\frac{1}{{1\,\,000}} + \frac{1}{{501}}} \right)\]
\[2A = \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1\,\,000}} + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{503 \cdot 998}} + .... + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1\,\,000}}\]
\[2A = \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1000}} + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{503 \cdot 998}} + ... + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1\,\,000}}\]
\[2A = \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1000}} + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{503 \cdot 998}} + ... + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1\,\,000}}\]
\[2A = 1\,\,501 \cdot \left( {\frac{1}{{501 \cdot 1\,\,000}} + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + \frac{1}{{503 \cdot 998}} + ... + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + \frac{1}{{501 \cdot 1\,\,000}}} \right)\]
Mà \[B = \frac{1}{{501 \cdot 1\,\,000}} + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + ... + \frac{1}{{999 \cdot 502}} + \frac{1}{{1\,\,000 \cdot 501}}\]
Nên \(2A = 1\,\,501B\) nên \(\frac{A}{B} = \frac{{1\,\,501}}{2}.\)
Tính \(A = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{{15}}{{16}} \cdot ... \cdot \frac{{9\,\,999}}{{10\,\,000}}.\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \[A = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{{15}}{{16}} \cdot ... \cdot \frac{{9\,\,999}}{{10\,\,000}}\]
\[ = \frac{{1 \cdot 3}}{{2 \cdot 2}} \cdot \frac{{2 \cdot 4}}{{3 \cdot 3}} \cdot \frac{{3 \cdot 5}}{{4 \cdot 4}} \cdot ... \cdot \frac{{98 \cdot 100}}{{99 \cdot 99}} \cdot \frac{{99 \cdot 101}}{{100 \cdot 100}}\]
\[ = \frac{{1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot 98 \cdot 100 \cdot 99 \cdot 101}}{{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot ... \cdot 99 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 100}}\]
\[ = \frac{{1 \cdot 101}}{{2 \cdot 100}} = \frac{{101}}{{200}}.\]
Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \[A = \frac{{\frac{1}{{1 \cdot 300}} + \frac{1}{{2 \cdot 301}} + \frac{1}{{3 \cdot 302}} + ... + \frac{1}{{101 \cdot 400}}}}{{\frac{1}{{1 \cdot 102}} + \frac{1}{{2 \cdot 103}} + \frac{1}{{3 \cdot 104}} + ... + \frac{1}{{299 \cdot 400}}}}.\]
b) \[B = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{1}{{199}} + \frac{2}{{198}} + \frac{3}{{197}} + ... + \frac{{198}}{2} + \frac{{199}}{1}}}.\]
Hướng dẫn giải
a) \[A = \frac{{\frac{1}{{1 \cdot 300}} + \frac{1}{{2 \cdot 301}} + \frac{1}{{3 \cdot 302}} + ... + \frac{1}{{101 \cdot 400}}}}{{\frac{1}{{1 \cdot 102}} + \frac{1}{{2 \cdot 103}} + \frac{1}{{3 \cdot 104}} + ... + \frac{1}{{299 \cdot 400}}}}.\]
\[ = \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {\frac{{299}}{{1 \cdot 300}} + \frac{{299}}{{2 \cdot 301}} + \frac{{299}}{{3 \cdot 302}} + ... + \frac{{299}}{{101 \cdot 400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {\frac{{101}}{{1 \cdot 102}} + \frac{{101}}{{2 \cdot 103}} + \frac{{101}}{{3 \cdot 104}} + ... + \frac{{101}}{{299 \cdot 400}}} \right)}}\]
\[ = \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{300}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{{301}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{302}}... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{102}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{{103}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{104}}... + \frac{1}{{299}} - \frac{1}{{400}}} \right)}}\]
\[ = \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{300}} - \frac{1}{{301}} - ... - \frac{1}{{400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}... + \frac{1}{{299}} - \frac{1}{{102}} - \frac{1}{{103}}... - \frac{1}{{299}} - \frac{1}{{300}}.... - \frac{1}{{400}}} \right)}}\]
\[ = \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{300}} - ... - \frac{1}{{400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{300}} - ... - \frac{1}{{400}}} \right)}}\]\[ = \frac{{\frac{1}{{299}}}}{{\frac{1}{{101}}}}\]\[ = \frac{{101}}{{299}}.\]
Vậy \[A = \frac{{101}}{{299}}.\]
b) \[B = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{1}{{199}} + \frac{2}{{198}} + \frac{3}{{197}} + ... + \frac{{198}}{2} + \frac{{199}}{1}}}\]
\[ = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{1}{{199}} + 1 + \frac{2}{{198}} + 1 + \frac{3}{{197}} + 1 + ... + \frac{{198}}{2} + 1 + 1}}\]
\[ = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{{200}}{{199}} + \frac{{200}}{{198}} + \frac{{200}}{{197}} + ... + \frac{{200}}{2} + \frac{{200}}{{200}}}}\]
\[ = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{200 \cdot \left( {\frac{1}{{199}} + \frac{1}{{198}} + \frac{1}{{197}} + ... + \frac{1}{2} + \frac{1}{{200}}} \right)}}\]\[ = \frac{1}{{200}}.\]
Vậy \[B = \frac{1}{{200}}.\]
Tìm \(n\) nguyên để các biểu thức sau có giá trị nguyên.
a) \(\frac{2}{{n - 1}}.\) b) \(\frac{{n - 3}}{{n - 2}}.\) c) \[\frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}}.\]
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện: \(n - 1 \ne 0\), tức \(n \ne 1.\)
Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \[\frac{2}{{n - 1}} \in \mathbb{Z}\] thì \[2\,\, \vdots \,\,\left( {n - 1} \right).\]
Suy ra \[n - 1 \in \]Ư\[\left( 2 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2} \right\}.\]
Ta có bảng sau:
\(n - 1\) | \(1\) | \( - 1\) | \(2\) | \( - 2\) |
\(n\) | \(2\) (thỏa mãn) | \(0\) (thỏa mãn) | \(3\) (thỏa mãn) | \( - 1\) (thỏa mãn) |
Vậy \(n \in \left\{ {2;\,\,0;\,\,3;\,\, - 1} \right\}\) thì \(\frac{2}{{n - 1}} \in \mathbb{Z}.\)
b) Điều kiện: \(n - 2 \ne 0,\) tức là \(n \ne 2.\)
Ta có: \(\frac{{n - 3}}{{n - 2}} = \frac{{n - 2 - 1}}{{n - 2}} = 1 - \frac{1}{{n - 2}}.\)
Với \(n \in \mathbb{Z}\), để \(\frac{{n - 3}}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}\) thì \[\frac{1}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}\], do đó \[1\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\]
Suy ra \[n - 2 \in \]Ư\[\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.\]
Ta có bảng sau:
\(n - 2\) | \(1\) | \( - 1\) |
\(n\) | \(3\) (thỏa mãn) | \(1\) (thỏa mãn) |
Vậy \(n \in \left\{ {3;\,\,1} \right\}\) thì \(\frac{{n - 3}}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}.\)
c) Với \(n \ne \frac{4}{3},\) đặt \[A = \frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}}.\]
Khi đó \[3A = 3 \cdot \frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}} = \frac{{9 - 6n}}{{3n - 4}} = \frac{{8 - 6n + 1}}{{3n - 4}} = \frac{{ - 2 \cdot \left( {3n - 4} \right) + 1}}{{3n - 4}} = - 2 - \frac{1}{{3n - 4}}.\]
Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \(3A\) có giá trị nguyên thì \(1\,\, \vdots \,\,\left( {3n - 4} \right)\)
Hay \(3n - 4 \in \)Ư\(\left( 1 \right) = \left\{ {1; - 1} \right\}.\)
Ta có bảng sau:
\(3n - 4\) | \(1\) | \( - 1\) |
\[n\] \(\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\) | \(\frac{5}{3}\) | \(1\) |
Không thỏa mãn | Thỏa mãn |
Thử lại, với \(n = 1\) ta có \[A = \frac{{3 - 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 1 - 4}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1 \in \mathbb{Z}.\]
Vậy \(n = 1.\)
Chứng minh rằng các phân số sau tối giản \[\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right):\]
a) \[\frac{{n + 2}}{{2n + 5}}.\] b) \[\frac{{2n + 3}}{{4n + 8}}.\] c) \[\frac{{3n + 2}}{{5n + 3}}.\]
Hướng dẫn giải
a) Gọi ƯCLN\[\left( {n + 2;2n + 5} \right) = d.\]
Khi đó \[n + 2\,\, \vdots \,d\] và \[2n + 5\,\, \vdots \,\,d\]
Từ \[n + 2\,\, \vdots \,d\] suy ra \[2n + 4\,\, \vdots \,\,d\]
Do đó \[\left[ {\left( {2n + 5} \right) - \left( {2n + 4} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\]
Hay \[1\,\, \vdots \,\,d\]
Suy ra \[d = 1.\]
Vậy phân số \[\,\frac{{n + 2}}{{2n + 5}}\] tối giản.
b) Gọi ƯCLN\[\left( {2n + 3;\,\,4n + 8} \right) = d.\]
Khi đó \[2n + 3\,\, \vdots \,\,d\] và \[4n + 8\,\, \vdots \,\,d.\]
Từ \[2n + 3\,\, \vdots \,\,d\] suy ra \[4n + 6\,\, \vdots \,\,d\]
Do đó \[\left[ {\left( {4n + 8} \right) - \left( {4n + 6} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\]
Hay \[2\,\, \vdots \,\,d\] suy ra \[d \in \]Ư\[\left( 2 \right) = \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\]
Với \[d = 2\] thì \[2n + 3\,\, \vdots \,\,2\] (vô lí)
Do đó \[d = 1.\]
Vậy phân số \[\,\frac{{n + 2}}{{2n + 5}}\] tối giản.
c) Gọi ƯCLN\[\left( {3n + 2;\,\,5n + 2} \right) = d\]
Khi đó \[3n + 2\,\, \vdots \,\,d\] và \[5n + 3\,\, \vdots \,\,d\]
Suy ra \[15n + 10\,\, \vdots \,\,d\] và \[15n + 9\,\, \vdots \,\,d\]
Do đó \[\left[ {\left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right)} \right]\, \vdots d\]
Hay \[1\,\, \vdots \,\,d\] suy ra \[d = 1.\]
Vậy phân số \[\,\frac{{3n + 2}}{{5n + 2}}\] tối giản.
Cho \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}}\). Tìm giá trị của \(n\) để:
a) \(A\) là một phân số.
b)\(A\) là một số nguyên với \(n \in \mathbb{Z}\).
c) Với giá trị nào của số tự nhiên thì có giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
a) Để \(A\) là một phân số thì \(n + 1 \ne 0\), tức là \(n \ne - 1\).
b)Ta có: \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right) - 4}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.\)
Với \(n \in \mathbb{Z}\), để \[A \in \mathbb{Z}\] thì \[\frac{4}{{n + 1}} \in \mathbb{Z}.\]
Do đó \[4 \vdots n + 1\]
Suy ra \[n + 1 \in \]Ư\[\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.\]
Ta có bảng sau:
\(n + 1\) | \(1\) | \( - 1\) | \(2\) | \( - 2\) | \(4\) | \( - 4\) |
\(n\) | \(0\) (tm) | \( - 2\) (tm) | \(1\) (tm) | \( - 3\) (tm) | \(3\) (tm) | \( - 5\) (tm) |
Vậy \(n \in \left\{ { - 2;\,\,0;\,\,1;\,\, - 3;\,\,3;\,\, - 5} \right\}\) thì \(A \in \mathbb{Z}.\)
c) Cách 1. Ta có: \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.\)
Dễ thấy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\frac{4}{{n + 1}}\) đạt giá trị dương lớn nhất.
\(\frac{4}{{n + 1}}\) đạt giá trị dương lớn nhất khi \(n + 1\) đạt giá trị dương nhỏ nhất.
\(n + 1\) đạt giá trị dương nhỏ nhất khi \(n = 0\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(A = \frac{{4 \cdot 0}}{{0 + 1}} = 0\).
Dấu “=” xảy ra khi \(n = 0\).
Cách 2. Ta có: \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.\)
Do \(n\) là số tự nhiên nên \(n \ge 0\).
Suy ra \(n + 1 \ge 1,\) nên \(\frac{1}{{n + 1}} \le 1,\) do đó \(\frac{{ - 4}}{{n + 1}} \le - 4,\) vì vậy \(4 - \frac{4}{{n + 1}} \le 4 - 4\)
Khi đó \(A \le 0.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 0\).
Dấu “=” xảy ra khi \(n = 0\).
Cho phân số \[B = \frac{{8n + 193}}{{4n + 3}}\,\,\,\left( {n \in \mathbb{Z}} \right).\]
a) Tìm \[n\] để \[B\] có giá trị là số nguyên tố.
b) Tìm \[n\] để \[B\] là phân số tối giản.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \[B.\]
Hướng dẫn giải
Với \[n \in \mathbb{Z}\] ta có \[B = \frac{{8n + 193}}{{4n + 3}} = \frac{{2\left( {4n + 3} \right) + 187}}{{4n + 3}} = 2 + \frac{{187}}{{4n + 3}}.\]
a) Với \[n \in \mathbb{Z},\] để \[B\] có giá trị là số nguyên tố thì:
\[\frac{{187}}{{4n + 3}} \in \mathbb{N}\,\] và \[\,4n + 3 \in \]Ư\[\left( {187} \right) = \left\{ {1;\,\,11;\,\,17;\,\,187} \right\}\]
Trường hợp 1. \[4n + 3 = 1,\] suy ra \[n = - \frac{1}{2}\] (không thoả mãn).
Trường hợp 2. \[4n + 3 = 11,\] suy ra \[n = 2\] (thoả mãn).
Trường hợp 3. \[4n + 3 = 17,\] suy ra \[n = \frac{7}{2}\] (không thoả mãn).
Trường hợp 4. \[4n + 3 = 187,\] suy ra \[n = \frac{{181}}{4}\] (không thoả mãn).
Vậy \[n = 2.\]
b) Để \[B\] tối giản thì \[\frac{{187}}{{4n + 3}}\] phải là tối giản, tức là \[187\] và \(4n + 3\) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ngoài hai ước là \[1\] và \[187,\] thì \[14\] còn hai ước \[11,\,\,17.\]
Vậy để ƯCLN\(\left( {187,4n + 3} \right) = 1\) thì \(4n + 3\) không chia hết cho \[11\] và \(17.\)
Vậy với \(n \ne 11k - 3;\) \(n \ne 17q - 3\) \[\left( {k,\,\,q \in \mathbb{Z}} \right)\] thì \[B\] là phân số tối giản.
b) ⦁ Để \[B\] nhỏ nhất thì \[\frac{{187}}{{4n + 3}}\] nhỏ nhất thì \(4n + 3\) có giá trị âm lớn nhất \[n \in \mathbb{Z}\]
Ta có \(4n + 3 = - 1,\) suy ra \(n = - 1.\) Khi đó \(B = 2 - 187 = - 185.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \[B\] là \( - 185\) khi \(n = - 1\).
⦁ Để \[B\] lớn nhất thì \[\frac{{187}}{{4n + 3}}\] lớn nhất thì \(4n + 3\) là nhỏ nhất và \(4n + 3 > 0;\,\) \[n \in \mathbb{Z}\]
Suy ra \(n = 0,\) khi đó \(B = 2 + \frac{{187}}{3} = \frac{{193}}{3}.\)
Vậy giá trị lớn nhất của \[B\] là \(\frac{{193}}{3}\) khi \(n = 0\).
Tìm cặp số nguyên \[\left( {x\,;\,y} \right)\] sao cho:
a) \(xy = x - y;\)
b) \(x\left( {y + 2} \right) + y = 1;\)
c) \(xy - 7y + 5x = 0\) và \(y \ge 3\).
Hướng dẫn giải
a) \[xy = x - y\]
\[xy - x + y = 0\]
\[x\left( {y - 1} \right) + y - 1 = - 1\]
\[\left( {y - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = - 1\]
Vì \[\left( {x\,;\,y} \right)\] là số nguyên nên \[\left( {y - 1} \right)\] và \[\left( {x + 1} \right)\] là số nguyên và là ước của \[ - 1\]
Ta lập bảng sau:
\[x + 1\] | \[1\] | \[ - 1\] |
\[y - 1\] | \[ - 1\] | \[1\] |
\[x\] | \[0\] | \[ - 2\] |
\[y\] | \[0\] | \[2\] |
Vậy \[\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,\,0} \right);\left( { - 2;\,\,2} \right)} \right\}.\]
b) \(x\left( {y + 2} \right) + y = 1\)
\(x\left( {y + 2} \right) + y + 2 = 3\)
\(\left( {y + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 3\)
Vì \[\left( {x\,;\,y} \right)\] là số nguyên nên \(\left( {y + 2} \right)\) và \[\left( {x + 1} \right)\] là số nguyên và là ước của \[3.\]
Ta lập bảng sau:
\[x + 1\] | \[1\] | \[3\] | \[ - 1\] | \[ - 3\] |
\(y + 2\) | \[3\] | \[1\] | \[ - 3\] | \[ - 1\] |
\[x\] | \[0\] | \[2\] | \[ - 2\] | \[ - 4\] |
\[y\] | \[1\] | \[ - 1\] | \[ - 5\] | \[ - 3\] |
Vậy \[\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,\,1} \right);\left( {2;\,\, - 1} \right);\left( { - 2;\,\, - 5} \right);\left( { - 4;\,\, - 3} \right)} \right\}.\]
c) \(xy - 7y + 5x = 0\)
\(xy - 7y + 5x - 35 = - 35\)
\(y\left( {x - 7} \right) + 5\left( {x - 7} \right) = - 35\)
\(\left( {x - 7} \right)\left( {y + 5} \right) = - 35\)
Vì \[\left( {x\,;\,y} \right)\] là số nguyên nên \(\left( {y + 5} \right)\) và \[\left( {x - 7} \right)\] là số nguyên và là ước của \[ - 35.\]
Mà \(y \ge 3\) nên \(y + 5 \ge 8.\)
Ta có Ư\(\left( { - 35} \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,5;\,\, - 5;\,\,7;\,\, - 7;\,\,35;\,\, - 35} \right\}.\)
Do đó suy ra: \(y + 5 = 35,\) khi đó \(x - 7 = - 1\)
Suy ra: \(y = 30\) và \(x = 6\)
Vậy \[\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {6;\,\,30} \right).\]
Bạn Lan tập làm mô hình kinh doanh nhỏ trong tiết hoạt động trải nghiệm dành cho học sinh lớp 6. Sau khi nhập một số hàng về bán, Lan để giá bán tăng 40% so với giá Lan nhập. Sau đó Lan áp dụng chương trình giảm giá 20% cho tất cả các mặt hàng. Sau khi kết thúc tiết học và bán hết số hàng, Lan đã tính ra và lãi 24 nghìn đồng. Hỏi Lan nhập số hàng ban đầu với giá bao nhiêu tiền?
Hướng dẫn giải
Giá bán sau khi tăng 40% bằng \(100\% + 40\% = 140\% \) giá nhập.
Giá bán sau khi giảm 20% bằng \(140\% - 140\% \cdot 20\% = 112\% \) giá nhập.
Số tiền lãi Lan thu được là: \(112\% - 100\% = 12\% .\)
Giá tiền ban đầu Lan nhập hàng là: \(24\,\,000:12\% = 200\,\,000\) (đồng).
Bác Xuân đi bán một số cam trong 3 ngày. Biết rằng ngày thứ nhất bác bán \(\frac{1}{3}\) số cam và thêm 15 quả. Ngày thứ hai bác bán \(\frac{2}{5}\) số cam còn lại và thêm 40 quả. Ngày thứ ba bác bán nốt 95 quả cuối cùng. Hỏi trong 3 ngày bác bán bao nhiêu quả cam?
Hướng dẫn giải
Nếu ngày bán thứ hai không tính bán thêm được 40 quả thì số quả cam còn lại lúc này là: \(40 + 95 = 135\) (quả).
Vì 135 quả cam này chiếm \(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\) số cam còn lại sau ngày bán thứ nhất nên số cam còn lại sau ngày bán thứ nhất là: \(135:\frac{3}{5} = 225\) (quả).
Nếu ngày bán thứ nhất không tính bán thêm được 15 quả thì số quả cam còn lại lúc này là: \(225 + 15 = 240\) (quả).
Vì 240 quả này chiếm \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) tổng số quả cam của bác Xuân nên số quả cam bác Xuân đã mang đi bán là: \(240:\frac{2}{3} = 360\) (quả).
Vậy trong 3 ngày bác Xuân đã bán hết tất cả 360 quả cam.
