Dạng 3: Bài toán nâng cao có đáp án

Ta có  $A:B=\frac{x^3-x^2-x+11}{x-2}:\frac{x+2}{x-2}=\frac{x^3-x^2-x+11}{x-2}.\frac{x-2}{x+2}=\frac{x^3-x^2-x+11}{x+2}=x^2-3x+5+\frac{1}{x+2}$

Để phân thức A chia hết cho phân thức B thì 

$1⋮\left(x+2\right)$$\Rightarrow$$x+2\in$Ư

 $\Rightarrow$$x+2\in \left\{-1;1\right\}$$\Rightarrow$$x\in \left\{-3;-1\right\}$

Vậy $x\in \left\{-3;-1\right\}$thì phân thức A chia hết cho phân thức B.

Ta có $M=\frac{15}{16x^2-1}:\frac{5}{4x+1}=\frac{15}{\left(4x-1\right)\left(4x+1\right)}.\frac{4x+1}{5}=\frac{3}{4x-1}$

Để giá trị của phân thức M là số nguyên thì

$3⋮\left(4x-1\right)$$\Rightarrow$$4x-1\in$Ư

$\Rightarrow$$4x-1\in \left\{-3;-1;1;3\right\}$$\Rightarrow$$x\in \left\{\frac{-1}{2};0;\frac{1}{2};1\right\}$

Vậy $x\in \left\{\frac{-1}{2};0;\frac{1}{2};1\right\}$thì giá trị của phân thức M là số nguyên.