Câu hỏi ôn tập chương 1

Gọi M′(x′;y′) ∈ d′ là ảnh của M(x,y) ∈ d qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}(2;3)$

Do M(x,y) ∈ d nên

3x − 5y + 3 = 0

⇒ 3(x′−2) − 5(y′−3) + 3 = 0

⇔ 3x′ − 5y′ + 12 = 0 (d′)

Vậy M′(x′;y′) ∈ d′: 3x′ − 5y′ + 12 = 0

Xem D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{BA}$. Do C chạy trên đường tròn (C) tâm A bán kính m, trừ ra giao điểm của (C) với đường thẳng AB, nên D thuộc đường tròn là ảnh của đường tròn nói trên qua phép tịnh tiến theo vectơ BA→.

Giả sử đã dựng được hai điểm M, N thỏa mãn điều kiện đầu bài. Đường thẳng qua M và song song với AC cắt BC tại D. Khi đó tứ giác MNCD là hình bình hành. Do đó CN = DM. Từ đó suy ra tam giác AMD cân tại M. Do đó  . Suy ra AD là phân giác trong của góc A. Do đó AD dựng được .Ta lại có $\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{CD}$, nên có thể xem M là ảnh của N qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{DC}$.

Từ đó suy ra cách dựng:

- Dựng đường phân giác trong của góc A. Đường này cắt BC tại D.

- Dựng đường thẳng d là ảnh của đường thẳng AC qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{CD}$. d cắt AB tại M.

- Dựng N sao cho $\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{CD}$.

Khi đó dễ thấy M, N thỏa mãn điều kiện đầu bài.

a) $d_1$: 3x + 2y + 6 = 0

b) Giao của d và Δ là A(2;0). Lấy B(0; −3) thuộc d. Ảnh của B qua phép đối xứng của đường thẳng Δ là B′(5;2). Khi đó d' chính là đường thẳng AB′: 2x − 3y – 4 = 0

Tập hợp các điểm N thuộc đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng qua trung điểm của AB.

Dễ thấy d chứa điểm H(1;1) và OH ⊥ d. Gọi H' là ảnh của H qua phép quay tâm O góc ${45}^o$ thì $H\prime = (0; \sqrt{2})$. Từ đó suy ra d' phải qua H' và vuông góc với OH'. Vậy phương trình của d' là $y = \sqrt{2}$.

Gọi $Q_{\left(G;{120}^o\right)}$ là phép quay tâm G góc ${120}^o$. Phép quay này biến b thành a, biến CA thành AB; do đó nó biến P thành N.

Tương tự $Q_{\left(G;{120}^o\right)}$ cũng biến Q thành M. Từ đó suy ra GP = GN, GQ = GM. Do đó hai tam giác GNQ và GPM bằng nhau, suy ra NQ = PM. Vì $Q_{\left(G;{120}^o\right)}$ biến PQ thành NM nên PQ = NM. Từ đó suy ra hai tam giác NQM và PMQ bằng nhau. Do đó ∠NQM = ∠PMQ. Tương tự ∠QNP = ∠MPN.

Từ đó suy ra $\widehat{PNQ} + \widehat{NQM} = {180}^o$

Do đó NP // QM. Vậy ta có tứ giác MPNQ là hình thang cân.

Để ý rằng

Ta có:

Từ đó suy ra 

Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Khi đó $\overrightarrow{AB} = t\overrightarrow{AC}$, với 0 < t < 1. Áp dụng bài 1.39 ta cũng có $\overrightarrow{A\text{'}B} = t\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}$, với 0 < t < 1. Do đó ba điểm A′, B′, C′ thẳng hàng và điểm B' nằm giữa hai điểm A' và C'.