Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

\[\sin (2x + {15^o}) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \sin (2x + {15^o}) = \sin {45^o}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + {15^o} = {45^o} + k{360^o}\\2x + {15^o} = {180^o} - {45^o} + k{360^o}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = {30^o} + k{360^o}\\2x = {120^o} + k{360^o}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {15^o} + k{180^o}\\x = {60^o} + k{180^o}\end{array} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = 15^o + k180^o và x = 60^o + k180^o \[(k \in \mathbb{Z})\].

$x = {45}^o + k{90}^o, k \in Z$

Điều kiện: \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\]

\[\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \]

\[ \Leftrightarrow \cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cot \frac{\pi }{6}\]

\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \]

\[ \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình đã cho có nghiệm \[x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \] \[(k \in \mathbb{Z})\].

$x = 3\pi /4 + k2\pi , k \in Z$

$x = {300}^o + k{450}^o, k \in Z$

Vậy nghiệm của phương trình là:

Điều kiện của phương trình: cos x ≠ 0 và cos2x ≠ 0

tanx. tan2x = -1

$\iff \frac{\sin x}{\cos x}.\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=-1$

$\iff$ sinx. sin2x = -cosx. cos2x

$\iff$ cos2x. cosx + sin2x. sinx = 0

$\iff$ cosx = 0

Kết hợp với điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm.

sin3x + sin5x = 0

⇔ 2sin4x. cosx = 0

Vậy nghiệm của phương trình là:

Điều kiện: sin2x ≠ 0 và sin 3x ≠ 0

cot2x. cot3x = 1

⇒ cos2x. cos3x = sin2x. sin3x

⇒ cos2x. cos3x - sin2x. sin3x = 0

Với k = 2 + 5m, m ∈ Z thì

Lúc đó sin2x = sin(π + 2mπ) = 0, không thỏa mãn điều kiện.

Có thể suy ra nghiệm phương trình là: