Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 12x + 35}}{{25 - 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left( {x - 7} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{5\left( {5 - x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x - 7}}{{ - 5}} = \frac{2}{5}.\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[2\sin x - \sqrt 2 = 0\]

          \[ \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

          \[ \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\]

          \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Với \[k = - 1\] ta có: \[\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{7\pi }}{4}\\x = - \frac{{5\pi }}{4}\end{array} \right.\].

Do đó, nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \[x = - \frac{{5\pi }}{4}\].

Với \[ - \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{4} + k2\pi < \frac{\pi }{2}\] \[ \Leftrightarrow - \frac{{3\pi }}{4} < k2\pi < \frac{\pi }{4}\]\[ \Leftrightarrow - \frac{3}{8} < k < \frac{1}{8}\].

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 0\] và \[x = \frac{\pi }{4}\].

Với \[ - \frac{\pi }{2} < \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi < \frac{\pi }{2}\]\[ \Leftrightarrow - \frac{{5\pi }}{4} < k2\pi < - \frac{\pi }{4}\]\[ \Leftrightarrow - \frac{5}{8} < k < - \frac{1}{8}\].

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên không có giá trị \[k\] thỏa mãn.

Do đó, số nghiệm của phương trình trong khoảng \[\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\] là một nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Tại thời điểm \[8\] giờ sáng thì ta có: \[t = 8 - 6 = 2.\]

Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm \[8\] giờ sáng là:

\[S\left( 2 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.2} \right)} \right| = 40\sqrt 3 {\rm{ m}}{\rm{.}}\]

b) Tại thời điểm \[12\] giờ sáng thì ta có: \[t = 12 - 6 = 6.\]

Tại thời điểm \[12\] giờ trưa thì độ dài bóng của tòa nhà là:

\[S\left( 6 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.6} \right)} \right| = 0{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

c) Tại thời điểm \[3\] giờ \[45\] chiều thì ta có: \[t = \left( {15 + \frac{3}{4}} \right) - 6 = \frac{{39}}{4}.\]

Do đó, độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm \[3\] giờ \[45\] chiều là

\[S\left( {\frac{{39}}{4}} \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.\frac{{39}}{4}} \right)} \right| \approx 59,86{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

Vậy tại thời điểm \[3\] giờ \[45\] chiều thì độ dài bóng của tòa nhà lớn hơn độ dài tòa nhà là

\[59,86 - 40 = 19,86{\rm{ m}}\].

d) Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi

\[S\left( t \right) = 40 \Leftrightarrow 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right| = 40\]\[ \Leftrightarrow \cot \frac{\pi }{{12}}t = \pm 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi \] \[ \Leftrightarrow t = \pm 3 + 12k{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Vì \[0 \le t \le 12\] nên \[t = 3\] hoặc \[t = 9\], tức là tại thời điểm \[9\] giờ sáng hoặc \[3\] giờ chiều thì bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{S_{50}} = 5150\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\\frac{{\left[ {2.5 + 49d} \right].50}}{2} = 5150\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\d = 4\end{array} \right.\].

Vậy cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có số hạng \[{u_1} = 5\] và công sai \[d = 4\].

Ta có: \[{u_{85}} = {u_1} + 84d = 5 + 84.4 = 341.\]

           \[{u_{10}} = {u_1} + 9d = 5 + 9.4 = 41.\]

Tổng của 85 số hạng đầu \[{S_{85}} = \frac{{\left( {5 + 341} \right).85}}{2} = 14705\].

Hướng dẫn giải

a) Theo đề, sau \[t\] phút bơm nước vào hồ thì lượng nước là \[600 + 15t\] (\[l\]) và lượng muối có được là \[30.15t\] (\[g\]).

Khi đó, nồng độ muối trong nước là: \[C\left( t \right) = \frac{{30.15t}}{{600 + 15t}} = \frac{{30t}}{{40 + t}}{\rm{ }}\left( {g/l} \right)\].

b) Khi \[t\] tiến tới 15 phút, ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{t \to 15} C\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 15} \frac{{30t}}{{40 + t}} = \frac{{30.15}}{{40 + 15}} = \frac{{90}}{{11}} > 8.\]

Do đó, nồng độ muối trong hồ khi \[t\] tiến tới 15 phút lớn hơn \[8{\rm{ }}\left( {g/l} \right)\].

c) Khi \[t\] tiến tới dương vô cùng, ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{40 + t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{t\left( {\frac{{40}}{t} + 1} \right)}} = 30{\rm{ }}\left( {g/l} \right).\]

d) Do đó, nồng độ muối trong hồ không thể vượt quá \[{\rm{30 }}\left( {g/l} \right)\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 6

Ta có: \[y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3 = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) + 3 = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3\].

Do \[\forall x\]: \[ - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2\]\[ \Leftrightarrow 1 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3 \le 5\]

\[ \Leftrightarrow 1 \le y \le 5.\]

Vậy \[m = 1\] và \[M = 5\]. Do đó, ta có: \[M + m = 5 + 1 = 6.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 149

Vì \[ - 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 1\]

\[ \Leftrightarrow - 4 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 4\]

\[ \Leftrightarrow 6 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10 \le 14\]

\[ \Leftrightarrow 6 \le y \le 14\].

Do đó, ngày có ánh sáng mặt trời chiếu nhiều nhất khi \[y = 14\].

Suy ra \[\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = 1\]\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow t - 60 = 89 + 356k\]\[ \Leftrightarrow t = 149 + 356k\].

Mà \[t \in {\mathbb{N}^ * }\] và \[t \le 365\] nên \[0 < 149 + 356k \le 365\]\[ \Leftrightarrow - \frac{{149}}{{356}} < k \le \frac{{54}}{{89}}\].

Vì \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 0\]. Do đó, \[k = 149\].

Vậy ngày thứ 149 trong năm thì thành phố A có số giờ ánh sáng chiếu nhiều nhất.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 1647

Gọi \[{u_n}\] là số ghế ở hàng thứ \[n.\]

Số ghế mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \[{u_1} = 35\], công sai \[d = 2\].

Tổng số ghế của hội trường là \[{S_{27}} = \frac{{27\left( {2{u_1} + 26d} \right)}}{2} = 1647\] ghế.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2227

Đặt \[{P_0} = 2000000 = {2.10^6}\] và \[r = 1,2\% = 0,012\].

Gọi \[{P_n}\] là số dân của tỉnh M sau \[n\] năm nữa.

Ta có: \[{P_{n + 1}} = {P_n} + {P_n}r = {P_n}\left( {1 + r} \right).\]

Suy ra \[\left( {{P_n}} \right)\] là một cấp số nhân với số hạng đầu \[{P_0}\] và công bội \[q = 1 + r\].

Do đó, số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là

\[{P_9} = {M_0}{\left( {1 + r} \right)^9} = 2 \cdot {10^6} \cdot {\left( {1,012} \right)^9} \approx 2227\] (nghìn người).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: −1,7

Do \[x \to {1^ - }\] nên ta có \[\left| {x - 1} \right| = 1 - x\]

Do đó, ta được: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3x - 3 + \left( {1 - x} \right)\sqrt {5{x^2} + 4} }}{{{x^2} - 2x + 1}}\]

                       \[\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3\left( {x - 1} \right) + \left( {1 - x} \right)\sqrt {5{x^2} + 4} }}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]

                       \[\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 - \sqrt {5{x^2} + 4} } \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]

                       \[\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{9 - 5{x^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {5{x^2} + 4} } \right)}}\]

                      \[\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{5\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {5{x^2} + 4} } \right)}}\]

                     \[\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - 5\left( {x + 1} \right)}}{{3 + \sqrt {5{x^2} + 4} }} = - \frac{5}{3} \approx - 1,7.\]