Bộ 11 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023-2024) có đáp án - Đề 7
38 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\)sao cho \(MB = 2MC\). Khi đó đường thẳng \(MG\) song song với mặt phẳng nào dưới đây?\(\left( {ABC} \right).\)
\(\left( {ACD} \right).\)
\(\left( {BCD} \right).\)
\(\left( {ABD} \right).\)
Chọn B
Gọi \(E\)là trung điềm \(AD\)
Xét tam giác \(BCE\) có \(\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}\)
Nên suy ra \(MG//\left( {ACD} \right).\)
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right).\)
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right).\)
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( {0;\pi } \right).\)
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right).\)
Chọn B
\[A = 2\cos 4x.\sin x\].
\[A = 2\cos 2x.\sin 8x\]
\[A = 2\sin 4x.\cos x\].
\[A = 2\cos 4x.\cos x\].
Chọn A
\[A = \sin 5x - \sin 3x = 2\cos 4x.\sin x\]
\(d\)qua \(S\)và song song với \(BC.\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(AB.\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(AD\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(BD.\)
Chọn B
![Chọn A \[A = \sin 5x - \sin 3x = 2\cos 4x.\sin x\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/2-1764250926.png)
Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),\left( {SCD} \right)\) có điểm chung là \(S\) và lần lượt chứa hai đường thẳng \[AB,{\rm{ }}CD\]song song với nhau nên giao tuyến của chúng là đường thẳng \[d\] đi qua \(S\) và song song với\[AB\].
\[\sin a < 0\], \[cosa > 0\].
\[\sin a > 0\], \[\cos a > 0\].
\[\sin a > 0\], \[cosa < 0\].
\[\sin a < 0\], \[cosa < 0\].
Chọn C
Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\), \(N\) là điểm trên đoạn \(SD\) sao cho \(SN = \frac{3}{4}SD\)(minh hoạ hình dưới). Giao điểm của mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) và đường thẳng \(AD\) thuộc đường thẳng nào sau đây?
\(BN\).
\(BM\).
\(MN\).
\(SD\).
Chọn C
Trong \(mp(SAD)\), \(MN\)cắt \(AD\)tại \(K\).
Do đó giao điểm của mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) và đường thẳng \(AD\) thuộc đường thẳng \(MN\)
Công thức nào sau đây sai?
\[\cos \left( {a + b} \right) = \sin a\sin b - \cos a\cos b.\]
\[\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b.\]
\[\cos \left( {a - b} \right) = \sin a\sin b + \cos a\cos b.\]
\[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\]
Chọn A
Chọn A
\[ - 1\].
\[2\].
\[3\].
\[1\].
Chọn A
\(\begin{array}{l}\frac{{\cos \alpha + \sin 2\alpha }}{{1 + \sin \alpha - \cos 2\alpha }} = \frac{{\cos \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{1 + \sin \alpha - \left( {1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha \left( {1 + 2\sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha \left( {1 + 2\sin \alpha } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \cot \alpha = 0.\tan \alpha + 1.\cot \alpha = x.\tan \alpha + y.\cot \alpha \,\\\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)
\(S = x - y = 0 - 1 = - 1\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn A
Hàm số \(y = \frac{{2023}}{{\tan x}}\)xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\tan x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\)
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{2023}}{{\tan x}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Cho đồ thị hàm số \[y = \sin x\] trên đoạn \[\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\]. Gọi S là tập hợp các giá trị của \[x\] trên đoạn \[\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\] thỏa mãn \[\sin x = 0\]. Số phần tử của S là
\[3\].
\[5\].
\[6\].
\[4\].
Chọn B
Các giá trị của \[x\] trên đoạn trên đoạn \[\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\] thỏa mãn \[\sin x = 0\]là 5 điểm như trên hình sau
Vậy số phần tử của S là 5.
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
(1) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt.
(2)Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng cắt nhau.
(3) Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
\(0\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
Chọn C
Khẳng định đúng là
(2) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng cắt nhau.
(3) Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
\({u_3} = 7\).
\({u_3} = 5\).
\({u_3} = 4\).
\({u_3} = 8\).
Chọn A
\({u_3} = {u_2} + 2{u_1} = 3 + 2.2 = 7\)
\(MN{\rm{//}}BD\).
\(MN{\rm{//}}CD\).
\(MN{\rm{//}}BC\).
\(MN{\rm{//}}AD\).
Chọn B
Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,BD\).
Trong tam giác \(AEF\) có \(\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{{AN}}{{AF}} = \frac{2}{3}\) suy ra \(MN{\rm{//}}EF\)
Mà \(EF{\rm{//}}CD\) nên \(MN{\rm{//}}CD\)
(II).
(III)
(IV).
(I).
Chọn D
\(430^\circ = 360^\circ + 70^\circ \)nên điểm \(M\) nằm ở góc phần tư thứ (I).
\(y = \sin 3x.\)
\(y = \cot 3x.\)
\(y = \tan 3x.\)
\(y = \cos 3x.\)
Chọn D
\(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \).
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
\(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \).
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
Chọn D
\[\,\left[ { - 1;1} \right]\].
\[\left( { - 1;1} \right)\].
\[\mathbb{R}\].
\[\left[ { - 2;2} \right]\].
Chọn A
\(3\).
\(6\).
\(4\).
\(2\).
Chọn C
\(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\)
Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\) trên đường tròn lượng giác là \(4\)
Cho \(\widehat {MON} = 45^\circ \). Xác định số đo của góc lượng giác \(\left( {OM,ON} \right)\)được biểu diễn trong hình vẽ sau
\( - 315^\circ \).
\(315^\circ \).
\(45^\circ \).
\( - 45^\circ \).
Chọn A
\(4\).
\(3\).
\(2\).
\(6\).
Chọn A
Vì \(x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 2x \in \left[ {0;4\pi } \right]\) (hai vòng)
Ta vẽ đưởng thằng \(y = \frac{2}{3}\) cắt một vòng của đường tròn lượng giác tại 2 điểm và do đó cắt 2 vòng tại 4 điểm.
Vậy số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) của phương trình \(\sin 2x = \frac{2}{3}\) là 4.
\[{\rm{cos}}2\alpha = - \frac{7}{9}\].
\[{\rm{cos}}2\alpha = \frac{1}{3}\].
\[\cos 2\alpha = \frac{7}{9}\].
\[{\rm{cos}}2\alpha = \frac{2}{3}\].
Chọn C
\[{\rm{cos}}2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{7}{9}\]
\(SD\).
\(AC\).
\(SI\).
\(SB\).
Chọn C
\( \bullet \) \(S\) là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)
\( \bullet \) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)\\I \in BD \in \left( {SBD} \right) \Rightarrow I \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)
Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SI.\)
Dãy số nào sau đây là dãy số bị chặn?
\({u_n} = 3 - n\).
\({u_n} = \frac{{{n^2} + 2}}{n}\).
\({u_n} = {\left( { - 3} \right)^n}\).
\({u_n} = \frac{{5n - 1}}{{n + 1}}\).
Chọn D
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số vừa tăng vừa giảm
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng, không giảm
Chọn A
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {\frac{1}{{n + 1}} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{n} + 2} \right) = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} < 0,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm\[ - 1 \le m \le 1\].
\[ - 2 \le m \le 0\].
\[m \in \left( { - 1;1} \right)\].
\[m \le 0\].
Chọn B
\(\cos x - 1 = m \Leftrightarrow \cos x = m + 1\)
Nên phương trình \(\cos x - 1 = m\) có nghiệm \( - 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow \)\[ - 2 \le m \le 0\]
\(\frac{1}{{12}}.\)
\(\frac{{ - 5}}{{12}}.\)
\( - \frac{1}{{12}}.\)
\(\frac{5}{{12}}.\)
Chọn A
\(\begin{array}{l}\cos \left( {a + b} \right) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \cos a\cos b - \sin a\sin b = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos a\cos b + \sin a\sin b = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Lấy (2) trừ (1) ta được \(2\sin a\sin b = \frac{1}{6} \Rightarrow \sin a\sin b = \frac{1}{{12}}\)
Hình bình hành.
Hình ngũ giác.
Hình thang.
Hình tam giác.
Chọn C
Do \(AB\;{\rm{//}}\;CD\) nên mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\)và \(\left( {SAB} \right)\) có giao tuyến là đường thẳng \(MG\)song song với \(AB\).
Do đó giao tuyến của \(\left( {MCD} \right)\)với các mặt hình chóp là \(CD,DG,GM,\,MA\).
Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \[\left( {MCD} \right)\] là hình thang \(CMGD\)
\({u_5} = 2.\)
\({u_5} = 4.\)
\({u_5} = 3.\)
\({u_5} = 8.\)
Chọn A
\({u_5} = \frac{{5 - 1}}{2} = 2\)
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ { \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn B
\(\tan x = - 1 \Leftrightarrow - \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}\)
\(\frac{\pi }{2}\).
\(k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\).
\(2\pi \).
\(\pi \).
Chọn D
\(y = \tan x\)tuần hoàn chu kỳ \(T = \frac{\pi }{1} = \pi \)
\[ - \sin \alpha .\]
\[ - \cos \alpha .\]
\[\cos \alpha .\]
\(\sin \alpha .\)
Chọn B
\(\cos \left( {2025\pi + \alpha } \right) = \cos \left( {2024\pi + \pi + \alpha } \right) = \cos \left( {\pi + \alpha } \right) = - \cos \alpha \)
Tồn tại một mặt phẳng chứa\[AC\]và \(BD\).
\[AC\]và \(BD\) cắt nhau.
\[AC\]và \(BD\)song song.
\[AC\]và \(BD\)chéo nhau.
Chọn D
\(4\).
\(6\).
\(3\).
\(5\).
Chọn D
\(a\) và \(b\) song song hoặc chéo nhau.
\(a,\,\,b\) chéo nhau.
\(a\) và\(b\) cắt nhau.
\(a{\rm{//}}b\).
Chọn A
PHẦN II. TỰ LUẬN (3 câu - 3,0 điểm)
(1,0 điểm) Giải phương trình: \(\sin 2x + \cos 2x - \sin x - \cos x + 1 = 0\)
\(\sin 2x + \cos 2x - \sin x - \cos x + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 - \sin x - \cos x + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right) - \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\2\cos x - 1 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k,m \in \mathbb{Z}} \right)\)
(1,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(SA,\,AD,\,BC\).
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMN} \right)\).
b) Chứng minh đường thẳng\(MN\)song song với mặt phẳng\(\left( {SCD} \right)\).
c) Xác định \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(MP\) và mặt phẳng \(\left( {SBN} \right)\). Tính tỷ số \(\frac{{MK}}{{KP}}\).
a) Ta có
\(\left. \begin{array}{l}M \in \left( {CMN} \right)\\M \in SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\,\,\left( 1 \right)\)
Trong mp\(\left( {ABCD} \right)\) kéo dài \(CN \cap AB \equiv E\)
\( \Rightarrow \left. \begin{array}{l}E \in CN \subset \left( {CMN} \right)\\E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có \(\left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\, = ME\)
Hay \(\left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\, = MF\,\,\left( {F = EM \cap SB} \right)\)
Ta có \(\left. \begin{array}{l}MN \not\subset \left( {SCD} \right)\\MN{\rm{//}}SD\\SD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\)
Ta có trong \(\left( {ABCD} \right):AP \cap BN \equiv L\)\( \Rightarrow L\) là trung điểm của \(AP\)
Trong \(\left( {SAP} \right):SL \cap MP \equiv K\)
\( \Rightarrow K\)là trọng tâm tam giác \(SAP\)
\( \Rightarrow \frac{{MK}}{{KP}} = \frac{1}{2}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(\tan \widehat {BCN} = \frac{{BN}}{{CN}} = \frac{{25}}{8}\)
\(\tan \widehat {ACN} = \frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{25}}{{26}}\)
\(\widehat {BCA} = \widehat {BCN} - \widehat {ACM} \Rightarrow \tan \widehat {BCA} = \frac{{\tan \widehat {BCN} - \tan \widehat {ACM}}}{{1 + \tan \widehat {BCN}.\tan \widehat {ACM}}} = \frac{{\frac{{25}}{8} - \frac{{25}}{{26}}}}{{1 + \frac{{25}}{8}.\frac{{25}}{{26}}}} = \frac{{450}}{{833}}\)
\( \Rightarrow \widehat {BCA} \approx 28,4^\circ \)
