Bộ 11 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023-2024) có đáp án - Đề 7
38 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\)sao cho \(MB = 2MC\). Khi đó đường thẳng \(MG\) song song với mặt phẳng nào dưới đây?
\(\left( {ABC} \right).\)
\(\left( {ACD} \right).\)
\(\left( {BCD} \right).\)
\(\left( {ABD} \right).\)
Chọn B
Gọi \(E\)là trung điềm \(AD\)
Xét tam giác \(BCE\) có \(\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}\)
Nên suy ra \(MG//\left( {ACD} \right).\)
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right).\)
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right).\)
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( {0;\pi } \right).\)
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right).\)
Chọn B
Cho \[A = \sin 5x - \sin 3x\]. Phép biến đổi tổng thành tích nào sau đây là đúng?
\[A = 2\cos 4x.\sin x\].
\[A = 2\cos 2x.\sin 8x\]
\[A = 2\sin 4x.\cos x\].
\[A = 2\cos 4x.\cos x\].
Chọn A
\[A = \sin 5x - \sin 3x = 2\cos 4x.\sin x\]
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình thang cạnh đáy \(AB{\rm{//}}CD\). Gọi \(d\)là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\)Khẳng định nào sau đây đúng?
\(d\)qua \(S\)và song song với \(BC.\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(AB.\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(AD\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(BD.\)
Chọn B
![Chọn A \[A = \sin 5x - \sin 3x = 2\cos 4x.\sin x\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/2-1764250926.png)
Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),\left( {SCD} \right)\) có điểm chung là \(S\) và lần lượt chứa hai đường thẳng \[AB,{\rm{ }}CD\]song song với nhau nên giao tuyến của chúng là đường thẳng \[d\] đi qua \(S\) và song song với\[AB\].
Cho \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \]. Kết quả đúng là
\[\sin a < 0\], \[cosa > 0\].
\[\sin a > 0\], \[\cos a > 0\].
\[\sin a > 0\], \[cosa < 0\].
\[\sin a < 0\], \[cosa < 0\].
Chọn C
Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\), \(N\) là điểm trên đoạn \(SD\) sao cho \(SN = \frac{3}{4}SD\)(minh hoạ hình dưới). Giao điểm của mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) và đường thẳng \(AD\) thuộc đường thẳng nào sau đây?
\(BN\).
\(BM\).
\(MN\).
\(SD\).
Chọn C
Trong \(mp(SAD)\), \(MN\)cắt \(AD\)tại \(K\).
Do đó giao điểm của mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) và đường thẳng \(AD\) thuộc đường thẳng \(MN\)
Công thức nào sau đây sai?
\[\cos \left( {a + b} \right) = \sin a\sin b - \cos a\cos b.\]
\[\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b.\]
\[\cos \left( {a - b} \right) = \sin a\sin b + \cos a\cos b.\]
\[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\]
Chọn A
Cho một góc lượng giác \(\left( {Ox,Ou} \right)\) có số đo \( - 225^\circ \) và một góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo \(315^\circ .\) Tính số đo các góc lượng giác \(\left( {Ox,Ov} \right).\)
sđOx,Ov=90°+k360°, k∈ℤ.
sđOx,Ov=−540°+k360°, k∈ℤ.
sđOx,Ov=−90°+k360°, k∈ℤ.
sđOx,Ov=540°+k360°, k∈ℤ.
Chọn A
Biết \(\frac{{\cos \alpha + \sin 2\alpha }}{{1 + \sin \alpha - \cos 2\alpha }} = x.\tan \alpha + y.\cot \alpha \,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Tính \(S = x - y\)
\[ - 1\].
\[2\].
\[3\].
\[1\].
Chọn A
\(\begin{array}{l}\frac{{\cos \alpha + \sin 2\alpha }}{{1 + \sin \alpha - \cos 2\alpha }} = \frac{{\cos \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{1 + \sin \alpha - \left( {1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha \left( {1 + 2\sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha \left( {1 + 2\sin \alpha } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \cot \alpha = 0.\tan \alpha + 1.\cot \alpha = x.\tan \alpha + y.\cot \alpha \,\\\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)
\(S = x - y = 0 - 1 = - 1\)
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{2023}}{{\tan x}}\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn A
Hàm số \(y = \frac{{2023}}{{\tan x}}\)xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\tan x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\)
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{2023}}{{\tan x}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Cho đồ thị hàm số \[y = \sin x\] trên đoạn \[\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\]. Gọi S là tập hợp các giá trị của \[x\] trên đoạn \[\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\] thỏa mãn \[\sin x = 0\]. Số phần tử của S là
\[3\].
\[5\].
\[6\].
\[4\].
Chọn B
Các giá trị của \[x\] trên đoạn trên đoạn \[\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\] thỏa mãn \[\sin x = 0\]là 5 điểm như trên hình sau
Vậy số phần tử của S là 5.
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
(1) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt.
(2)Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng cắt nhau.
(3) Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
\(0\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
Chọn C
Khẳng định đúng là
(2) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng cắt nhau.
(3) Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\,,\,\,{u_2} = 3\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 2{u_{n - 2}}\end{array} \right.,\forall n \ge 3.\) Tính \({u_3}\).
\({u_3} = 7\).
\({u_3} = 5\).
\({u_3} = 4\).
\({u_3} = 8\).
Chọn A
\({u_3} = {u_2} + 2{u_1} = 3 + 2.2 = 7\)
Cho tứ diện \(ABCD\) và \(M,\,N\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ABC,\,ABD\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(MN{\rm{//}}BD\).
\(MN{\rm{//}}CD\).
\(MN{\rm{//}}BC\).
\(MN{\rm{//}}AD\).
Chọn B
Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,BD\).
Trong tam giác \(AEF\) có \(\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{{AN}}{{AF}} = \frac{2}{3}\) suy ra \(MN{\rm{//}}EF\)
Mà \(EF{\rm{//}}CD\) nên \(MN{\rm{//}}CD\)
Trên đường tròn lượng giác gốc \(A\), biết góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right)\) có số đo bằng \(430^\circ \), điểm \(M\) nằm ở góc phần tư thứ mấy?
(II).
(III)
(IV).
(I).
Chọn D
\(430^\circ = 360^\circ + 70^\circ \)nên điểm \(M\) nằm ở góc phần tư thứ (I).
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
\(y = \sin 3x.\)
\(y = \cot 3x.\)
\(y = \tan 3x.\)
\(y = \cos 3x.\)
Chọn D
Với \(k \in \mathbb{Z}\), khẳng định nào sau đây là sai?
\(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \).
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
\(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \).
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
Chọn D
Tập giá trị của hàm số \[y = \cos 2x\] là
\[\,\left[ { - 1;1} \right]\].
\[\left( { - 1;1} \right)\].
\[\mathbb{R}\].
\[\left[ { - 2;2} \right]\].
Chọn A
Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)trên đường tròn lượng giác là
\(3\).
\(6\).
\(4\).
\(2\).
Chọn C
\(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\)
Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\) trên đường tròn lượng giác là \(4\)
Cho \(\widehat {MON} = 45^\circ \). Xác định số đo của góc lượng giác \(\left( {OM,ON} \right)\)được biểu diễn trong hình vẽ sau
\( - 315^\circ \).
\(315^\circ \).
\(45^\circ \).
\( - 45^\circ \).
Chọn A
Tìm số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) của phương trình \(\sin 2x = \frac{2}{3}\).
\(4\).
\(3\).
\(2\).
\(6\).
Chọn A
Vì \(x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 2x \in \left[ {0;4\pi } \right]\) (hai vòng)
Ta vẽ đưởng thằng \(y = \frac{2}{3}\) cắt một vòng của đường tròn lượng giác tại 2 điểm và do đó cắt 2 vòng tại 4 điểm.
Vậy số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) của phương trình \(\sin 2x = \frac{2}{3}\) là 4.
Cho \[\sin \alpha \,\,{\rm{ = }}\,\,\frac{1}{3}\]. Tính \[{\rm{cos}}2\alpha \].
\[{\rm{cos}}2\alpha = - \frac{7}{9}\].
\[{\rm{cos}}2\alpha = \frac{1}{3}\].
\[\cos 2\alpha = \frac{7}{9}\].
\[{\rm{cos}}2\alpha = \frac{2}{3}\].
Chọn C
\[{\rm{cos}}2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{7}{9}\]
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành\(ABCD\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là
\(SD\).
\(AC\).
\(SI\).
\(SB\).
Chọn C
\( \bullet \) \(S\) là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)
\( \bullet \) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)\\I \in BD \in \left( {SBD} \right) \Rightarrow I \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)
Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SI.\)
Dãy số nào sau đây là dãy số bị chặn?
\({u_n} = 3 - n\).
\({u_n} = \frac{{{n^2} + 2}}{n}\).
\({u_n} = {\left( { - 3} \right)^n}\).
\({u_n} = \frac{{5n - 1}}{{n + 1}}\).
Chọn D
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)biết \({u_n} = \frac{1}{n} + 2,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số vừa tăng vừa giảm
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng, không giảm
Chọn A
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {\frac{1}{{n + 1}} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{n} + 2} \right) = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} < 0,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(\cos x - 1 = m\) có nghiệm
\[ - 1 \le m \le 1\].
\[ - 2 \le m \le 0\].
\[m \in \left( { - 1;1} \right)\].
\[m \le 0\].
Chọn B
\(\cos x - 1 = m \Leftrightarrow \cos x = m + 1\)
Nên phương trình \(\cos x - 1 = m\) có nghiệm \( - 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow \)\[ - 2 \le m \le 0\]
Biết \(\cos \left( {a + b} \right) = \frac{1}{3},\,\,\,\,\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\). Giá trị của \(\sin a.\sin b\) bằng
\(\frac{1}{{12}}.\)
\(\frac{{ - 5}}{{12}}.\)
\( - \frac{1}{{12}}.\)
\(\frac{5}{{12}}.\)
Chọn A
\(\begin{array}{l}\cos \left( {a + b} \right) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \cos a\cos b - \sin a\sin b = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos a\cos b + \sin a\sin b = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Lấy (2) trừ (1) ta được \(2\sin a\sin b = \frac{1}{6} \Rightarrow \sin a\sin b = \frac{1}{{12}}\)
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành và \[M\] là trung điểm cạnh \[SB\]. Khi đó thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \[\left( {MCD} \right)\] là
Hình bình hành.
Hình ngũ giác.
Hình thang.
Hình tam giác.
Chọn C
Do \(AB\;{\rm{//}}\;CD\) nên mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\)và \(\left( {SAB} \right)\) có giao tuyến là đường thẳng \(MG\)song song với \(AB\).
Do đó giao tuyến của \(\left( {MCD} \right)\)với các mặt hình chóp là \(CD,DG,GM,\,MA\).
Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \[\left( {MCD} \right)\] là hình thang \(CMGD\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{{n - 1}}{2},n \in {\mathbb{N}^*}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\({u_5} = 2.\)
\({u_5} = 4.\)
\({u_5} = 3.\)
\({u_5} = 8.\)
Chọn A
\({u_5} = \frac{{5 - 1}}{2} = 2\)
Tập nghiệm của phương trình \(\tan x = - 1\) là
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ { \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn B
\(\tan x = - 1 \Leftrightarrow - \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}\)
Chu kỳ tuần hoàn của hàm số \(y = \tan x\) là
\(\frac{\pi }{2}\).
\(k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\).
\(2\pi \).
\(\pi \).
Chọn D
\(y = \tan x\)tuần hoàn chu kỳ \(T = \frac{\pi }{1} = \pi \)
Với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}\) thì \(\cos \left( {2025\pi + \alpha } \right)\) bằng
\[ - \sin \alpha .\]
\[ - \cos \alpha .\]
\[\cos \alpha .\]
\(\sin \alpha .\)
Chọn B
\(\cos \left( {2025\pi + \alpha } \right) = \cos \left( {2024\pi + \pi + \alpha } \right) = \cos \left( {\pi + \alpha } \right) = - \cos \alpha \)
Cho hình tứ diện\[ABCD\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
Tồn tại một mặt phẳng chứa\[AC\]và \(BD\).
\[AC\]và \(BD\) cắt nhau.
\[AC\]và \(BD\)song song.
\[AC\]và \(BD\)chéo nhau.
Chọn D
Hình chóp tứ giác \(S.ABCD\)có số mặt là
\(4\).
\(6\).
\(3\).
\(5\).
Chọn D
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,b\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Giả sử \(a{\rm{//}}\left( \alpha \right),\,\,b \subset \left( \alpha \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(a\) và \(b\) song song hoặc chéo nhau.
\(a,\,\,b\) chéo nhau.
\(a\) và\(b\) cắt nhau.
\(a{\rm{//}}b\).
Chọn A
PHẦN II. TỰ LUẬN (3 câu - 3,0 điểm)
(1,0 điểm) Giải phương trình: \(\sin 2x + \cos 2x - \sin x - \cos x + 1 = 0\)
\(\sin 2x + \cos 2x - \sin x - \cos x + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 - \sin x - \cos x + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right) - \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\2\cos x - 1 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k,m \in \mathbb{Z}} \right)\)
(1,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(SA,\,AD,\,BC\).
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMN} \right)\).
b) Chứng minh đường thẳng\(MN\)song song với mặt phẳng\(\left( {SCD} \right)\).
c) Xác định \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(MP\) và mặt phẳng \(\left( {SBN} \right)\). Tính tỷ số \(\frac{{MK}}{{KP}}\).
a) Ta có
\(\left. \begin{array}{l}M \in \left( {CMN} \right)\\M \in SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\,\,\left( 1 \right)\)
Trong mp\(\left( {ABCD} \right)\) kéo dài \(CN \cap AB \equiv E\)
\( \Rightarrow \left. \begin{array}{l}E \in CN \subset \left( {CMN} \right)\\E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có \(\left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\, = ME\)
Hay \(\left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\, = MF\,\,\left( {F = EM \cap SB} \right)\)
Ta có \(\left. \begin{array}{l}MN \not\subset \left( {SCD} \right)\\MN{\rm{//}}SD\\SD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\)
Ta có trong \(\left( {ABCD} \right):AP \cap BN \equiv L\)\( \Rightarrow L\) là trung điểm của \(AP\)
Trong \(\left( {SAP} \right):SL \cap MP \equiv K\)
\( \Rightarrow K\)là trọng tâm tam giác \(SAP\)
\( \Rightarrow \frac{{MK}}{{KP}} = \frac{1}{2}\)
(0,5 điểm) Có hai chungcư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là\(HK = 25\,m\). Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí \(C\). Gọi \(A,B\)lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (tham khảo hình vẽ). Hãy tính số đo góc\(\widehat {ACB}\)(phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là\(CK = 32\,m,\,\,AH = 6\,m\), \(BH = 24\,m\)(làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(\tan \widehat {BCN} = \frac{{BN}}{{CN}} = \frac{{25}}{8}\)
\(\tan \widehat {ACN} = \frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{25}}{{26}}\)
\(\widehat {BCA} = \widehat {BCN} - \widehat {ACM} \Rightarrow \tan \widehat {BCA} = \frac{{\tan \widehat {BCN} - \tan \widehat {ACM}}}{{1 + \tan \widehat {BCN}.\tan \widehat {ACM}}} = \frac{{\frac{{25}}{8} - \frac{{25}}{{26}}}}{{1 + \frac{{25}}{8}.\frac{{25}}{{26}}}} = \frac{{450}}{{833}}\)
\( \Rightarrow \widehat {BCA} \approx 28,4^\circ \)
