Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 1
38 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây.
Cho hai tia \(Oa\) và \(Ob,\)hỏi tất cả có bao nhiêu góc lượng giác có tia đầu là \(Oa\) và tia cuối là \(Ob?\)
0
vô số.
\(2.\)
\(3.\)
Đáp án đúng là: B
Theo SGK, cho hai tia \(Oa\) và \(Ob,\) sẽ có vô số góc lượng giác có tia đầu là \(Oa\) và tia cuối là \(Ob.\)
\(\left( {OA,OM} \right).\)
\(\left( {OA,OQ} \right).\)
\(\left( {OA,ON} \right).\)
\(\left( {OA,OP} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Theo SGK, chiều âm là cùng chiều kim đồng hồ, quan sát hình vẽ ta được số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,\,\,OQ} \right)\) bằng \( - \,45^\circ .\)
vuông góc.
trùng nhau.
đối nhau.
tạo với nhau một góc \(\frac{\pi }{4}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\left( {OA,OM} \right) = - \frac{{63\pi }}{2} = - \left( { - \frac{\pi }{2} + 32\pi } \right) = \frac{\pi }{2} - 16.2\pi \).
Suy ra điểm \(M\) cũng là điểm biểu diễn của góc có số đo \(\frac{\pi }{2}\).
Nên \(OA \bot OM.\)
\(\sin \alpha > 0;\,\,\cos \alpha > 0\).
\(\sin \alpha < 0;\,\,\cos \alpha < 0\).
\(\sin \alpha > 0;\,\,\cos \alpha < 0\).
\(\sin \alpha < 0;\,\,\cos \alpha > 0\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(\alpha \) thuộc góc phần phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác nên \(\sin \alpha > 0;\,\,\cos \alpha < 0.\)
\( - \sin \alpha \).
\( - \cos \alpha .\)
\(\sin \alpha \).
\(\cos \alpha \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\sin \left( {\frac{{9\pi }}{2} + \alpha } \right) = \sin \left( {4\pi + \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \cos \alpha \).
\(\cos \alpha = \frac{1}{{13}}\).
\(\cos \alpha = \frac{5}{{13}}\).
\(\cos \alpha = - \frac{5}{{13}}\).
\(\cos \alpha = - \frac{1}{{13}}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{12}}{{13}}\) và \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]
Suy ra \(\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \frac{5}{{13}}\).
Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha = - \frac{5}{{13}}\).
Chọn khẳng định đúng
\(\sin \left( {x + y} \right) = \sin x\cos y + \cos x\sin y\).
\(\cos \left( {x - y} \right) = \cos x\cos y - \sin x\sin y\).
\(\cos \left( {x + y} \right) = \cos x\cos y + \sin x\sin y\).
\(\sin \left( {x - y} \right) = \sin x\cos y + \cos x\sin y\).
Đáp án đúng là: A
Chọn A vì đúng theo công thức cộng.
\(\sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{6}\).
\(\sin x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{6}\).
\(\sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\).
\(\sin x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\cos x + \sin x = \frac{1}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right) \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{4}\]
\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\cos x.\sin x = \frac{1}{4}\]
\[ \Leftrightarrow \cos x.\sin x = - \frac{3}{8}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ (1): \[\cos x = \frac{1}{2} - \sin x\] thế vào (2), ta được:
\[\left( {\frac{1}{2} - \sin x} \right)\sin x = - \frac{3}{8}\, \Leftrightarrow - {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\sin x + \frac{3}{8} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\\\sin x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\,\end{array} \right.\].
Do \[\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \sin x > 0 \Rightarrow \sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\].
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \cos x.cos\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \sin x.cos\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\cos x.\left( {\sin x - \cos x} \right).\)
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \cos x.cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 2\cos x(\sin x + \cos x)\).
Mà \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \left( {\cos x\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \sin x\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
Vậy \(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \cos x\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}.\)
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\]
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Đáp án đúng là: D
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,D.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\[y = 1 + \sin 2x.\]
\[y = \cos x.\]
\[y = - \sin x.\]
\[y = - \cos x.\]
Đáp án đúng là: B
Ta thấy tại \(x = 0\) thì \(y = 1\). Do đó loại đáp án C và D
Tại \(x = \frac{\pi }{2}\) thì \(y = 0\). Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn.
\(t = 13\) (giờ).
\(t = 16\) (giờ).
\(t = 15\) (giờ).
\(t = 14\) (giờ).
Đáp án đúng là: D
Mực nước của kênh cao nhất khi \[h\] lớn nhất nên ta có:
\(\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4} = k2\pi \) với \(0 < t \le 24\) và \(k \in \mathbb{Z}.\)
Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn.
Vì với \(t = 14 \Rightarrow \frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4} = 2\pi \) (đúng với \(k = 1 \in \mathbb{Z}\)).
\(2{x^2} = 8\).
\(\sqrt {2{x^2} - 4} = x\).
\[{x^2} - 4 + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{1}{{x - 3}}\].
\(3{x^2} - 12 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Vì \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \,2\).
\[\sqrt {2{x^2} - 4} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2{x^2} - 4 = {x^2}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = \pm 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\].
Phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4} = x\) không cùng tập nghiệm với \({x^2} - 4 = 0\) nên không tương đương.
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \) và \(x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Phương trình vô nghiệm.
Đáp án đúng là: D
Vì \( - \frac{3}{2} < - 1\) nên phương trình \(\sin 2x = - \frac{3}{2}\) vô nghiệm.
\(x = - 20^\circ + k120^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = 60^\circ + k360^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = 60^\circ + k360^\circ \) và \(x = - 20^\circ + k360^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = 60^\circ + k360^\circ \) và \(x = - 20^\circ + k120^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
\(\cos 2x = \cos \left( {x + 60^\circ } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + 60^\circ + k360^\circ \\2x = - \left( {x + 60^\circ } \right) + k360^\circ \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 60^\circ + k360^\circ \\x = - 20^\circ + k120^\circ \end{array} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: A
\(\cos x = \sin x \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{27}}\].
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}\].
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{25}}\].
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{28}}\].
Đáp án đúng là: B
Thay lần lượt \[n = 1;\,\,n = 2;\,\,n = 3\] vào công thức số hạng tổng quát ta được đáp án B.
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
\(\left( {{u_n}} \right)\) không là dãy số tăng cũng không là dãy số giảm .
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không đổi.
Đáp án đúng là: B
Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = - 2 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
\({u_n} = 3n - 1\) với \[n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\].
\({u_n} = 3n - 1\) với \[n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\].
\({u_n} = {3^n}\) với \[n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\].
\({u_n} = {2^n}\) với \[n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\].
Đáp án đúng là: A
Vì dãy số đã cho có \(5\) số hạng nên loại đáp án B và C.
• Xét \({u_n} = {2^n}\). Ta có: \({u_1} = 2;\,{u_2} = 4\) suy ra \({u_2} = 2 + {u_1}\) không thỏa công thức đã cho.
• Xét \({u_n} = 3n - 1\) với \[n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\].
Ta có: \({u_1} = 2;\,\,\,{u_2} = 5 = 3 + {u_1};\,\,{u_3} = 8 = 3 + {u_2};\,\,{u_4} = 11 = 3 + {u_3};\,\,{u_5} = 14 = 3 + {u_4}\) thỏa công thức.
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?
\[ - \frac{2}{3};\,\, - \frac{1}{3};\,\,0;\,\,\frac{1}{3};\,\,\frac{2}{3};\,\,1;\,\,\frac{4}{3};...\].
\[15\sqrt 2 ;\,\,12\sqrt 2 ;\,\,9\sqrt 2 ;\,\,6\sqrt 2 ;...\].
\[\frac{4}{5};\,\,1;\,\,\frac{7}{5};\,\,\frac{9}{5};\,\,\frac{{11}}{5};...\].
\[\frac{1}{{\sqrt 3 }};\,\,\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\,\,\sqrt 3 ;\,\,\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\,\,\frac{5}{{\sqrt 3 }};...\].
Đáp án đúng là: C
Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: \({u_{m + 1}} - {u_m} \ne {u_{k + 1}} - {u_k}\) thì ta kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.
Ta thấy dãy số \[\frac{4}{5};\,\,1;\,\,\frac{7}{5};\,\,\frac{9}{5};\,\,\frac{{11}}{5};...\]có \[\frac{1}{5} = {u_2} - {u_1} \ne {u_3} - {u_2} = \frac{2}{5}\]
Do đó dãy số \[\frac{4}{5};\,\,1;\,\,\frac{7}{5};\,\,\frac{9}{5};\,\,\frac{{11}}{5};...\] không phải là cấp số cộng.
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {2n + 1} \right)\).
\({u_n} = \sin \frac{\pi }{n}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_n} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} - 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_n} = 1\\{u_n} = 2{u_{n - 1}}\end{array} \right..\)
Đáp án đúng là: C
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là cấp số cộng khi và chỉ khi \({u_n} = an + b\) (\(a,\,\,b\) là hằng số).
\(7;\,\,12;\,\,17\).
\(6;\,\,10;\,\,14\).
\(8;\,\,13;\,\,18\).
\(6;\,\,12;\,\,18.\)
Đáp án đúng là: A
Giữa số \(2\) và \(22\) có thêm ba số hạng nữa lập thành cấp số cộng, xem như ta có một cấp số cộng có năm số hạng với \({u_1} = 2;\,\,{u_5} = 22\); ta cần tìm \[{u_2};\,\,{u_3};\,\,{u_4}\].
Ta có \({u_5} = {u_1} + 4d \Leftrightarrow d = \frac{{{u_5} - {u_1}}}{4} = \frac{{22 - 2}}{4} = 5\).
Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + d = 7\\{u_3} = {u_1} + 2d = 12\\{u_4} = {u_1} + 3d = 17\end{array} \right.\].
Vậy ba số hạng xen giữa các số \(2\) và \(22\) là \(7;\,\,12;\,\,17\).
\({u_n} = 5n + 1\).
\({u_n} = 5n - 1\).
\({u_n} = 4n + 1\).
\({u_n} = 4n - 1.\)
Đáp án đúng là: C
Các số \(5;\,\,9;\,\,13;\,\,17;...\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) nên
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\d = {u_2} - {u_1} = 4\end{array} \right.\].
Do đó công thức tổng quát là: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 5 + 4(n - 1) = 4n + 1\).
\[1;\,\,2;\,\,4;\,\,8;...\].
\[3;\,\,{3^2};\,\,{3^3};\,\,{3^4};...\].
\[4;\,\,2;\,\,\frac{1}{2};\,\,\frac{1}{4};...\].
\[\frac{1}{\pi };\,\,\frac{1}{{{\pi ^2}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};...\].
Đáp án đúng là: D
Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là \(2;\,\,3;\,\,\frac{1}{2}.\)
Xét đáp án D: \[\frac{1}{\pi };\,\,\frac{1}{{{\pi ^2}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};...\]
Ta có \[\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{\pi } \ne \frac{1}{{{\pi ^2}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\].
Do đó dãy \[\frac{1}{\pi };\,\,\frac{1}{{{\pi ^2}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};...\]không phải là cấp số nhân.
\(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân.
\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = 5\) và số hạng đầu \({u_1} = \frac{3}{2}\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = 5\) và số hạng đầu \({u_1} = \frac{{15}}{2}\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = \frac{5}{2}\) và số hạng đầu \({u_1} = 3\).
Đáp án đúng là: C
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{3}{2}\,.\,{5^n}\) là cấp số nhân có công bội \(q = 5\) và số hạng đầu \({u_1} = \frac{{15}}{2}\).
\(2x - 1\).
\(2x + 1\).
\(8{x^3} - 4{x^2} - 2x + 1\).
\(8{x^3} + 4{x^2} - 2x - 1\).
Đáp án đúng là: C
Công bội của cấp số nhân là: \[q = \frac{{4{x^2} - 1}}{{2x + 1}} = 2x - 1\].
Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là \[\left( {4{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 8{x^3} - 4{x^2} - 2x + 1\].
\(18\).
\(17\).
\(16\).
\(9\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \[32\,\,805 = {u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 5\,.\,{3^{n - 1}}\]
\[ \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 6\,\,561 = {3^8} \Leftrightarrow n = 9\].
Vậy \({u_9}\) là số hạng chính giữa của cấp số nhân nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Hai mặt phẳng cùng đi qua ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) không thẳng hàng thì mặt phẳng đó trùng nhau.
Đáp án đúng là: B
Nếu hai mặt phẳng trùng nhau, khi đó hai mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(0\).
Đáp án đúng là: A
Từ 4 điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) ta tạo thành một tứ giác. Khi đó, 4 điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) đồng phẳng và tạo thành một mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng \((ABCD)\).
\[(BCD)\] và \[(DEF)\].
\[(BCD)\] và \[(ABC)\].
\[(BCD)\] và \[(AEF)\].
\[(BCD)\] và \[(ABD)\].
Đáp án đúng là: D
Điểm \(I\) là giao điểm của \(EF\) và \(BC\).
Mà \[\left\{ \begin{array}{l}EF \subset (DEF)\\EF \subset (ABC)\\EF \subset (AEF)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I = (BCD) \cap (DEF)\\I = (BCD) \cap (ABC)\\I = (BCD) \cap (AEF)\end{array} \right.\].
Vậy thì \(I\) không phải là điểm chung của hai mặt phẳng \[(BCD)\] và \[(ABD)\].
\(SI\,\,(I\)là giao điểm của \(AC\) và \(BM)\).
\(SJ\,\,(J\)là giao điểm của \(AM\) và \(BD)\).
\(SO\,\,(O\)là giao điểm của \(AC\) và \(BD)\).
\(SP\,\,(P\)là giao điểm của \(AB\) và \(CD)\).
Đáp án đúng là: A
•\(S\) là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \((MSB)\) và \((SAC)\).
• Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in BM \subset (SMB) \Rightarrow I \in (SMB)\\I \in AC \subset (SAC) \Rightarrow I \in (SAC)\end{array} \right.\)
Do đó \(I\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \((MSB)\) và \((SAC)\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì cắt nhau hoặc song song.
Đáp án đúng là: A
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).
\(1\).
\(2\).
\(0\).
Vô số.
Đáp án đúng là: A
Gọi \((P)\) là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng \(a\) và \(M\); \((Q)\) là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng \(b\) và \(M\).
Giả sử \(c\) là đường thẳng qua \(M\) cắt cả \(a\) và \(b\).
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}c \in (P)\\c \in (Q)\end{array} \right. \Rightarrow c = (P) \cap (Q)\].
Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua \(M\) cắt cả \(a\) và \(b\).
\[MP\,{\rm{//}}\,NQ\].
\[MP \equiv NQ\].
\[MP\] cắt \[NQ\].
\[MP,\,\,NQ\] chéo nhau.
Đáp án đúng là: D
Xét mặt phẳng \((ABP)\).
Ta có \(M,\,\,N\) cùng thuộc \(AB\)nên \(M,\,\,N\) cùng thuộc mặt phẳng \((ABP)\).
Mặt khác \(AC \cap (ABP) = P\).
Mà \(Q \in CD\) nên \(Q \notin (ABP)\).
Do đó \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) không đồng phẳng.
Vậy \[MP,\,\,NQ\] chéo nhau.
\((T)\) là hình chữ nhật.
\((T)\) là hình tam giác.
\((T)\) là hình thoi.
\((T)\) là hình tam giác; hình thang hoặc hình bình hành.
Đáp án đúng là: D
• Trường hợp \((\alpha ) \cap AD = K\).
Khi đó \((T)\) là tam giác \(MNK\). Do đó A và C sai.
• Trường hợp \((\alpha ) \cap (BCD) = IJ\), với \(I \in BD,\,\,J \in CD;\,\,I,\,\,J\) không trùng \(D\).
Khi đó \((T)\) là tứ giác. Do đó D đúng.
II. Tự luận (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức:
\(h(t) = 29 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9)\),
với \(h\) tính bằng độ \(C\) và \(t\) là thời gian trong ngày tính bằng giờ.
(Theo https://www.sciencedirect.com//science/articlelabs//pii/0168192385900139)
Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ \(C\) và vào lúc mấy giờ?
Vì \( - 1 \le \sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) \le 1\) nên \(29 + 3\,.\,( - 1) \le 29 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) \le 29 + 3\,.\,1\)
\( \Leftrightarrow 26 \le 29 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) \le 32\)
\( \Leftrightarrow 26 \le h(t) \le 32\)
Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là \(26^\circ C\) khi:
\(29 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) = 26\)
\( \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) = - 1\)
\( \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) = \sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}(t - 9) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow t = 3 + 24k,\,\,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy vào thời điểm 3 giờ trong ngày thì nhiệt độ thấp nhất của thành phố là \(26^\circ C\).
(1,0 điểm) Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 giờ, sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông?
Kể từ lúc 1 giờ đến 24 giờ thì số tiếng được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với \({u_1} = 1\), công sai \(d = 1\).
Số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là:
\(S = {S_{24}} = \frac{{24}}{2}\left( {{u_1} + {u_{24}}} \right) = 12(1 + 24) = 300\) (tiếng chuông).
Vậy một ngày đồng hồ đó đánh 300 tiếng chuông.
(1,0 điểm)Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(AC\). Trên cạnh \(PD\) lấy điểm \(P\) sao cho \(DP = 2PB\).
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((ABD),\,\,(BCD).\)
b) Trên cạnh \(AD\) lấy điểm \(Q\) sao \(DQ = 2QA\). Chứng minh: \(PQ\) song song với mặt phẳng \((ABC)\), ba đường thẳng \(DC,\,\,QN,\,\,PM\) đồng quy.
a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN \subset (MNP)\\AB \subset (ABD)\\MN\,\,{\rm{//}}\,\,AB\end{array} \right. \Rightarrow (MNP) \cap (ABD) = Px\,\,{\rm{//}}\,\,AB\,\,{\rm{//}}\,\,MN\)
Do đó, giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((ABD)\) là \(Px\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (MNP)\\M \in BC \subset (BCD)\end{array} \right. \Rightarrow M \in (MNP) \cap (BCD)\).
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}P \in (MNP)\\P \in BD \subset (BCD)\end{array} \right. \Rightarrow P \in (MNP) \cap (BCD)\).
Do đó, giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((BCD)\) là \(MP\).
Vậy giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((ABD),\,\,(BCD)\) lần lượt là \(Px\) và \(MP\).
b) Vì \(\frac{{DQ}}{{QA}} = \frac{{DP}}{{PB}}\) nên \(PQ\,\,{\rm{//}}\,\,AB\).
Do đó \(PQ\) song song với mặt phẳng \((ABC)\).
Ta có \(Q \in (MNP)\). Do đó:
• \((MNP) \cap (ACD) = QN\)
• \((MNP) \cap (BCD) = PM\)
• \((ACD) \cap (BCD) = CD\)
Vì \(\frac{{CM}}{{MB}} \ne \frac{{DP}}{{PB}}\) nên \(DC\) cắt \(PM\) tại \(I\).
Do đó ba đường thẳng \(DC,\,\,QN,\,\,PM\) đồng quy.
