Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 8
24 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (6,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây.
Trên đường tròn lượng giác gốc \(A,\)cho góc lượng giác \(\left( {OA\,;\,\,OM} \right)\) có số đo \(\alpha = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\) Điểm cuối \(M\) nằm ở góc phần tư nào trong các phần tư sau đây?
thứ tư \(\left( {IV} \right).\)
thứ hai \(\left( {II} \right).\)
thứ ba \(\left( {III} \right).\)
thứ nhất \(\left( I \right).\)
Đáp án đúng là: C
Theo định nghĩa, ta có số \(360^\circ .\)đo cung lượng giác \(AM\) bằng số đo góc \(\alpha \) nên điểm cuối \(M\) nằm ở góc phần tư thứ ba \(\left( {III} \right).\)
10.
6.
4.
8.
Đáp án đúng là: D
Vẽ đường tròn lượng giác và biểu diễn các góc có số đo \(30^\circ + k45^\circ ,\) trong khoảng \(0^\circ \) đến \(360^\circ \).
Có 8 điểm \(M\) biểu diễn.
\(\sin \alpha < 0\).
\(\cos \alpha > 0\).
\(\tan \alpha < 0\).
\(\cot \alpha < 0\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(3\pi < \alpha < \frac{{10\pi }}{3} \Leftrightarrow 2\pi + \pi < \alpha < 2\pi + \pi + \frac{\pi }{3}\) nên \(\alpha \) thuộc cung phần tư thứ III.
Do đó \(\sin \alpha < 0\).
0.
\[\frac{1}{4}\].
\[\frac{1}{2}\].
1.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(M = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \ge 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M\) bằng \(\frac{1}{4}.\) Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
\(\cos \left( {x - y} \right)\).
\(\cos \left( {x + y} \right)\).
\(\sin \left( {x - y} \right)\).
\(\sin \left( {y - x} \right).\)
Đáp án đúng là: C
Áp dụng công thức cộng lượng giác ta có
\(\sin x\cos y - \cos x\sin y = \sin \left( {x - y} \right)\).
Tam giác đó vuông.
Tam giác đó đều.
Tam giác đó cân.
Không có gì đặc biệt.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sin \frac{A}{2}{\cos ^3}\frac{B}{2} - \sin \frac{B}{2}{\cos ^3}\frac{A}{2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2}{\cos ^3}\frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2}{\cos ^3}\frac{A}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{A}{2}}} = \frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\frac{A}{2}} \right) = \tan \frac{B}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\frac{B}{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} = \tan \frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{A}{2} = \frac{B}{2} \Leftrightarrow A = B.\)
Vậy tam giác \(ABC\) cân.
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}.\)
Đáp án đúng là: A
Hàm số xác định khi và chỉ khi \[1 - \sin x > 0 \Leftrightarrow \sin x < 1.\]\(\left( * \right)\)
Mà \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
\(y = 2x + \cos x.\)
\(y = \cos 3x.\)
\(y = {x^2}\cos \left( {x + 3} \right).\)
\(y = \frac{{\cos x}}{{{x^3}}}.\)
Đáp án đúng là: D
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{{x^3}}}.\)
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) là tập đối xứng.
Khi đó \(f\left( { - x} \right) = \frac{{\cos \left( { - x} \right)}}{{{{\left( { - x} \right)}^3}}} = - \frac{{\cos x}}{{{x^3}}} = - f\left( x \right)\).
Do đó hàm số \(y = \frac{{\cos x}}{{{x^3}}}\) là hàm số lẻ.
\(x = \arctan m + k\pi \) hoặc \(x = \pi - \arctan m + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \arctan m + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \arctan m + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \arctan m + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\tan x = m \Leftrightarrow x = \arctan m + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
4.
6.
8.
10.
Đáp án đúng là: C
\(\sin 4x\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 4x = 0\\2\cos x - \sqrt 2 = 0\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = k\pi \\\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{4}\\x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Vậy có 8 điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.
\({u_{n\, + \,1}} = {2^n} \cdot 2.\)
\({u_{n\, + \,1}} = {2^n} + 1.\)
\[{u_{n\, + \,1}} = 2\left( {n + 1} \right).\]
\({u_{n\, + \,1}} = {2^n} + 2.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \({u_{n\, + \,1}} = {2^{n\,\, + \,1}} = {2^n} \cdot 2.\)
\(10\,\,201\).
\(10\,\,000\).
\(10\,\,200\).
\(10\,\,202\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({S_{100}} = 1 + 3 + 5 + \cdots + 201\).
Suy ra \(2{S_{100}} = \left( {1 + 201} \right) + \left( {3 + 199} \right) + \cdots + \left( {201 + 1} \right)\).
Vậy \({S_{100}} = \frac{{101\left( {201 + 1} \right)}}{2} = 10\,\,201.\)
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
\({u_n} = 3{n^2} + 2017\).
\({u_n} = 3n + 2018\).
\({u_n} = {3^n}\).
\({u_n} = {\left( { - 3} \right)^n}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({u_{n\, + \,1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) + 2018 - \left( {3n + 2018} \right) = 3 \Leftrightarrow {u_{n\, + \,1}} = {u_n} + 3.\)
Vậy dãy số \({u_n} = 3n + 2018\) là cấp số cộng có công sai \(d = 3.\)
100.
50.
75.
44.
Đáp án đúng là: D
Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Leftrightarrow 81 = - 5 + \left( {n - 1} \right)2 \Leftrightarrow n = 44.\)
Vậy 81 là số hạng thứ 44.
Dãy số sau đây là một cấp số nhân?
\[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,; \ldots \].
\[2\,;\,\,4\,;\,\,8\,;\,\,16\,; \ldots \].
\[1\,;\,\,3\,;\,\,5\,;\,\,7\,; \ldots \].
\[2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8\,; \ldots \].
Đáp án đúng là: B
Ta có \[2\,;\,\,4\,;\,\,8\,;\,\,16\,; \ldots \] là cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 2.\)
\({u_n} = {3^{n\, + \,1\,}}.\)
\({u_n} = {n^{n\, + \,1\,}}.\)
\({u_n} = {3^{n\,}}.\)
\[{u_n} = {3^{n\, - \,1\,}}.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có \({u_1} = 3\) và \(\frac{{{u_{n\, + \,1}}}}{{{u_n}}} = 3\).
Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = 3\end{array} \right..\)
Do đó \[{u_n} = {u_1} \cdot {q^{n\, - \,1\,}} = 3 \cdot {3^{n\, - \,1\,}} = {3^n}.\]
Một đường thẳng và một điểm thuộc nó.
Ba điểm mà nó đi qua.
Ba điểm không thẳng hàng.
Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Đáp án đúng là: C
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu có ba điểm không thẳng hàng.
giao điểm của \(SD\) và \(BK\).
giao điểm của \(SD\) và \(AM\).
giao điểm của \(SD\) và \(AB\).
giao điểm của \(SD\) và \(MK\).
Đáp án đúng là: A
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) có \(SO \cap AM = K.\)
Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), kéo dài \(BK\) cắt \(SD\) tại \(N.\)
Do đó \(N\) giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\).
Vậy giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) làgiao điểm của \(SD\) và \(BK.\)
trùng nhau hoặc chéo nhau.
cắt nhau hoặc chéo nhau.
chéo nhau hoặc song song.
song song hoặc trùng nhau.
Đáp án đúng là: B
Nếu \(b\,{\rm{//}}\,c\) thì \(c\,{\rm{//}}\,a.\)
cắt nhau.
song song.
chéo nhau.
có hai điểm chung.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB \subset \left( {MAB} \right);\,\,CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB\,\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow Mx = \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) với \(Mx\,\,{\rm{//}}\,CD\,{\rm{//}}\,AB.\)
Gọi \(N = Mx \cap SD\) trong \(\left( {SCD} \right)\) nên \(N = SD \cap \left( {MAB} \right).\)
Vậy \(CD\) song song \(MN\).
II. Tự luận (4,0 điểm)
(1,0 điểm)Giải phương trình:
a) \(\cot \frac{{2x}}{3} = \sqrt 3 \); b) \(\sin \left( {\pi - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = 0\).
a) \(\cot \frac{{2x}}{3} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot \frac{{2x}}{3} = \cot \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k3\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k3\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\).
b) \(\sin \left( {\pi - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \sin x\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2\pi \\2x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \[S = \left\{ {k2\pi \,;\,\,\frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}|k \in \mathbb{Z}\,} \right\}.\]
(0,5 điểm) Xét tính bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \frac{1}{{{n^2}}}.\)
Xét \(\frac{1}{{{k^2}}} < \frac{1}{{\left( {k - 1} \right)k}} = \frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{k},\,\,\forall k \ge 2\).
Suy ra \[{u_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \frac{1}{{{n^2}}}\]
\[ < \frac{1}{2} + \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + \cdots + \left( {\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{n} < \frac{3}{2}.\]
\( \Rightarrow 0 < {u_n} < \frac{3}{2},\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
(1,5 điểm)Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình bình hành tâm \[O.\] Gọi \[I,{\rm{ }}K\] lần lượt là trung điểm của \[SB\] và \[SD.\]
a) Tìm giao điểm \[J\] của \[SA\] với \(\left( {CKB} \right)\).
b) Tìm giao tuyến của \(\left( {OIA} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
c) Chứng minh \(DC\,{\rm{//}}\,\,\left( {IJK} \right)\).
a) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên nên \[AB\,\,{\rm{// }}CD\]; \[AD{\rm{ // }}BC\].
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}AD{\rm{ // }}CB\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\K \in \left( {KBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}Kx = \left( {KBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\\Kx{\rm{ // }}AD{\rm{ // }}BC\end{array} \right.\).
Trong \[\left( {SAD} \right)\] gọi \(J = Kx \cap SA\) có
\(\left\{ \begin{array}{l}J \in SA\\J \in Kx \subset (BKC)\end{array} \right. \Rightarrow J = SA \cap (BKC)\)
b) Ta có \[OI\] là đường trung bình của \(\Delta SBD \Rightarrow OI{\rm{ // }}SD\).
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}OI{\rm{ // }}SD\\OI \subset \left( {OIA} \right)\\SD \subset \left( {SCD} \right)\\C \in \left( {OIA} \right) \cap \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}Cy = \left( {OIA} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\Cy{\rm{ // }}SD{\rm{ // }}OI\end{array} \right.\).
c) Ta có
• \(IJ{\rm{ // }}AB\) (\[IJ\] là đường trung bình của \(\Delta SAB\))
• \(AB{\rm{ // }}CD\) (tứ giác ABCD là hình bình hành)
Do đó \[CD{\rm{ // }}IJ\].
Ta có :\[\left\{ \begin{array}{l}CD{\rm{ // }}IJ\\CD \not\subset \left( {IJK} \right)\\IJ \subset \left( {IJK} \right)\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow CD{\rm{ // }}\left( {IJK} \right)\].
(1,0 điểm)Từ độ cao \(55,8\,\,{\rm{m}}\) của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Hỏi tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là bao nhiêu?
Gọi \({h_n}\) là độ dài đường đi của quả bóng ở lần rơi xuống thứ \(n\,\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).
\({l_n}\) là độ dài đường đi của quả bóng ở lần nảy lên thứ \(n\,\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).
Theo đề bài, ta có \({h_1} = 55,8;\,\,{l_1} = \frac{1}{{10}} \cdot 55,8 = 5,58\) và các dãy số \(\left( {{h_n}} \right),\,\,\left( {{l_n}} \right)\) là các cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{{10}}.\)
Từ đó suy ra tổng độ dài đường đi của quả bóng là:
\[S = \frac{{{h_1}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} + \frac{{{l_1}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{10}}{9}\left( {{h_1} + {l_1}} \right) = 68,2\,\,{\rm{(m)}}\].
Vậy tổng độ dài đường đi của quả bóng là \[68,2\,\,{\rm{m}}\].
