Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn
có tâm trùng với gốc tọa độ và bán kính bằng \(1.\)
có tâm trùng với gốc tọa độ.
bán kính bằng \(1.\)
có tâm trùng với gốc tọa độ và bán kính bằng \(2.\)
Đáp án đúng là: A
Theo SGK trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ và bán kính bằng \(1.\)
Trên đường tròn này chọn điểm \(A\left( {1;\,\,0} \right)\) làm gốc, chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ và chiều âm là cùng chiều kim đồng hồ.
\(OQ.\)
\(OP.\)
\(OM.\)
\(ON.\)
Đáp án đúng là: D
Quan sát hình vẽ ta thấy góc lượng giác \(\left( {OA,\,\,ON} \right) = 135^\circ .\)
Trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác nào trong bốn đáp án A, B, C, D có điểm biểu diễn khác các góc còn lại.
\({\alpha _1} = 30^\circ .\)
\({\alpha _2} = 330^\circ .\)
\({\alpha _3} = 390^\circ .\)
\({\alpha _4} = - 330^\circ .\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\alpha _1} = 30^\circ ,\,\,{\alpha _3} = 390^\circ = 30^\circ + 360^\circ ,\,\,{\alpha _4} = - 330^\circ = 30^\circ - 360^\circ \)
Nên ba góc \({\alpha _1},\,\,\,{\alpha _3},\,\,\,{\alpha _4}\) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Thứ I.
Thứ II hoặc IV.
Thứ II hoặc III.
Thứ I hoặc IV.
Đáp án đúng là: C
Nếu \(\sin \alpha ;\,\,\tan \alpha \) trái dấu thì điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \) ở góc phần phần tư thứ II hoặc III.
\(x = \pm \frac{\pi }{2}\).
\(x = 0\).
\(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \).
\(x \ne k\pi \).
Đáp án đúng là: C
Để \(\tan x\) có nghĩa thì \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \).
\(\sin A = - \sin \left( {2A + B + C} \right)\).
\(\sin A = - \cos \frac{{3A + B + C}}{2}\).
\(\cos C = \sin \frac{{A + B + 3C}}{2}\).
\(\sin C = \sin \left( {A + B + 2C} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba góc của một tam giác nên \(A + B + B = 180^\circ \Leftrightarrow A + B = 180^\circ - C\).
Ta có \(\sin \left( {A + B + 2C} \right) = \sin \left( {180^\circ - C + 2C} \right) = \sin \left( {180^\circ + C} \right) = - \sin C\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).
\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
\(2\cos a\cos b = \cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Khẳng định B sai vì \[\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\,.\,\cos b + \sin a\,.\,\sin b\].
Khẳng định nào dưới đây sai?
\(2{\sin ^2}a = 1 - \cos 2a\).
\(\cos 2a = 2\cos a - 1\).
\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\).
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b.\cos a\).
Đáp án đúng là: B
Khẳng định B sai vì \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\).
\(\frac{\pi }{6}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{\pi }{3}\).
\[\frac{\pi }{2}\].
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 - \frac{1}{7}.\frac{3}{4}}} = 1\)
\( \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Mà \(\alpha ,{\rm{ }}\beta \) là hai góc nhọn nên \(\alpha + \beta = \frac{\pi }{4}\).
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số \(y = {\rm{sin}}x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = {\rm{cos}}x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = {\rm{tan}}x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = {\rm{cot}}x\) là hàm số chẵn.
Đáp án đúng là: B
Ta có tập xác định của hàm số y = cosx là \(\mathbb{R}\).
Nếu với \(x \in \mathbb{R}\) thì \( - x \in \mathbb{R}\) và \(y\left( { - x} \right) = {\rm{cos}}\left( { - x} \right) = {\rm{cos}}x = y\left( x \right)\).
Vậy hàm số \({\rm{y}} = {\rm{cos}}x\) là hàm số chẵn.
\({\rm{D}} = \mathbb{R}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Đáp án đúng là: D
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\cos x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(2\)
\(5\).
\(4\).
\(3\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(y = {\sin ^2}x + 2{\cos ^2}x = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + {\cos ^2}x = 1 + {\cos ^2}x\)
Do \( - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow 0 \le {\cos ^2}x \le 1 \Leftrightarrow 1 \le 1 + {\cos ^2}x \le 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 2\\m = 1\end{array} \right..\)
Suy ra \(M + 2m = 2 + 2.1 = 4\)
\(x - 1 = 0\).
\(2{x^2} = 2\).
\({x^2} - 2 = 0\).
\({x^2} + 1 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\({x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
\(2{x^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
Hai phương trình có cùng tập nghiệm nên tương đương nhau.
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\[x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\].
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(\cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{{5\pi }}{6}\) nên tất cả nghiệm của phương trình là \(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(\tan x = \sqrt 3 = \tan \frac{\pi }{3}\) nên tất cả nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{8} + k2\pi \) và \(x = - \frac{{3\pi }}{8} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\) và \(x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{{2\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
\(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{8} \Leftrightarrow 3x + \frac{\pi }{4} = \pm \frac{\pi }{8} + k2\pi \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)với \(k \in \mathbb{Z}\)
\[ - \frac{1}{2};\,\, - \frac{2}{3};\,\, - \frac{3}{4};\,\, - \frac{4}{5}; - \frac{5}{6}\].
\[ - \frac{2}{3};\,\, - \frac{3}{4};\,\, - \frac{4}{5}; - \frac{5}{6}; - \frac{6}{7}\].
\[\frac{1}{2};\,\frac{2}{3};\,\,\frac{3}{4};\,\,\frac{4}{5};\,\,\frac{5}{6}\].
\[\frac{2}{3};\,\,\frac{3}{4};\,\,\frac{4}{5};\,\,\frac{5}{6};\,\,\frac{6}{7}\].
Đáp án đúng là: A
Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là:
\[{u_1} = - \frac{1}{2};\,\,{u_2} = - \frac{2}{3};\,\,{u_3} = - \frac{3}{4};\,\,{u_4} = - \frac{4}{5};\,\,{u_5} = - \frac{5}{6}\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 6\\{u_n} = 6{u_{n - 1}},\,\,n > 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 6\\{u_n} = 3{u_{n - 1}},\,\,n > 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_n} = 3{u_{n - 1}},\,\,n > 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_n} = 6{u_{n - 1}},\,\,n > 1\end{array} \right.\].
Đáp án đúng là: B
Vì \[{u_1} = 2\,.\,{3^1} = 6\] nên ta loại các đáp án C và D.
Ta có \[{u_2} = 2\,.\,{3^2} = 18\].
\({u_4} = \frac{5}{9}\).
\({u_4} = 1\).
\({u_4} = \frac{2}{3}\).
\({u_4} = \frac{{14}}{{27}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[{u_2} = \frac{1}{3}\left( {{u_1} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1;\,\,{u_3} = \frac{1}{3}\left( {{u_2} + 1} \right) = \frac{2}{3};\]
\[{u_4} = \frac{1}{3}\left( {{u_3} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{3} + 1} \right) = \frac{5}{9}\].
Vậy \({u_4} = \frac{5}{9}\).
\[ - \frac{1}{2};\,\,0;\,\,1;\,\,\frac{1}{2};\,\,1;\,...\].
\[ - \frac{1}{2};\,\,0;\,\,\frac{1}{2};\,\,0;\,\,\frac{1}{2};\,...\].
\[\frac{1}{2};\,\,1;\,\,\frac{3}{2};\,\,2\,;\,\,\frac{5}{2};\,...\].
\[ - \frac{1}{2};\,\,0;\,\,\frac{1}{2};\,\,1;\,\,\frac{3}{2};\,...\].
Đáp án đúng là: D
Cấp số cộng có \({u_1} = - \frac{1}{2};\,\,d = \frac{1}{2}\) thì dạng khai triển của cấp số cộng này là\[ - \frac{1}{2};\,\,0;\,\,\frac{1}{2};\,\,1;\,\,\frac{3}{2};\,...\].
\(d = - 9\).
\(d = 7\).
\(d = - 7\).
\(d = 9\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(d = \,{u_{n + 1}} - {u_n} = 8 - \left( { - 1} \right) = 9\).
\({u_{1001}} = 4005\).
\({u_{1001}} = 4003\).
\({u_{1001}} = 3\).
\({u_{1001}} = 1\).
Đáp án đúng là: C
Ta có
Do đó \({u_{1001}} = {u_1} + 1000d = 3\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\d = 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\d = - 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 18\\d = 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\d = 4\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 1,\,\,n \ge 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = - 3{u_n},\,\,n \ge 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 2\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3,\,\,n \ge 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_n} = \sin \left( {\frac{\pi }{{n - 1}}} \right),\,\,n \ge 1\end{array} \right.\].
Đáp án đúng là: B
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \({u_{n + 1}} = q{u_n}\).
Vậy dãy số \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = - 3{u_n},\,\,n \ge 1\end{array} \right.\]là cấp số nhân.
\[{u_1};\,\,{u_3};\,\,{u_5};...\].
\[3{u_1};\,\,3{u_2};\,\,3{u_3};...\].
\[\frac{1}{{{u_1}}};\,\,\frac{1}{{{u_2}}};\,\,\frac{1}{{{u_3}}};...\].
\[{u_1} + 2;\,\,{u_2} + 2;\,\,{u_3} + 2;...\].
Đáp án đúng là: D
Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân công bội \(q\) thì
• Dãy \[{u_1};\,\,{u_3};\,\,{u_5};...\] là cấp số nhân công bội \({q^2}\).
• Dãy \[3{u_1};\,\,3{u_2};\,\,3{u_3};...\] là cấp số nhân công bội \(3q\).
• Dãy \[\frac{1}{{{u_1}}};\,\,\frac{1}{{{u_2}}};\,\,\frac{1}{{{u_3}}};...\] là cấp số nhân công bội \(\frac{1}{q}\).
• Dãy \[{u_1} + 2;\,\,{u_2} + 2;\,\,{u_3} + 2;...\] không phải là cấp số nhân.
\(y = 216\).
\(y = \frac{{324}}{5}\).
\(y = \frac{{1296}}{5}\).
\(y = 12\).
Đáp án đúng là: C
Cấp số nhân là \(x - 6;\,\,x\) và \(y\) có công bội là \[q = 6\] nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = x - 6,\,\,q = 6\\x = {u_2} = 6\left( {x - 6} \right)\\x = {u_3} = {u_2}{q^2} = 36x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{36}}{5}\\y = 36\,.\,\frac{{36}}{5} = \frac{{1296}}{5}\end{array} \right.\].
\({S_n} = {4^{n - 1}}\).
\({S_n} = \frac{{n\left( {1 + {4^{n - 1}}} \right)}}{2}\).
\[{S_n} = \frac{{{4^n} - 1}}{3}\].
\({S_n} = \frac{{4\left( {{4^n} - 1} \right)}}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Cấp số nhân đã cho có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\q = 4\end{array} \right.\).
Do đó \[{S_n} = {u_1}\,.\,\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1\,.\,\frac{{1 - {4^n}}}{{1 - 4}} = \frac{{{4^n} - 1}}{3}\].
6.
4.
3.
1.
Đáp án đúng là: B
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.
Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa \(C_4^3 = 4\) (mặt phẳng).
Ba đường thẳng trên đồng quy.
Ba đường thẳng trên trùng nhau.
Ba đường thẳng trên chứa ba cạnh của một tam giác.
Các khẳng định ở A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: A
Khẳng định B sai. Nếu ba đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Khẳng định C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác, khi đó sẽ tạo ra được 3 điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành một mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
tam giác.
tứ giác.
ngũ giác.
tam giác hoặc tứ giác.
Đáp án đúng là: D
• \(S\) là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \((SMN)\) và \((SAC)\).
Gọi \(O = AC \cap BD\) là tâm của hình bình hành.
Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(T = AC \cap MN\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset (SAC) \Rightarrow O \in (SAC)\\O \in MN \subset (SMN) \Rightarrow O \in (SMN)\end{array} \right.\)
Do đó \(O\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \((SMN)\) và \((SAC).\)
Vậy \((SMN) \cap (SAC) = SO.\)
Hình chóp \(S.ABCD\) có 4 mặt bên.
Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\) là \(SO\,\,(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD).\)
Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) là \(SI\,\,(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC).\)
Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAD)\) là đường trung bình của \(ABCD\).
Đáp án đúng là: D
•Hình chóp \(S.ABCD\) có 4 mặt bên: \((SAB),\,\,(SBC),\,\,(SCD),\,\,(SAD).\) Do đó A đúng.
• \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\).
\[\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset (SAC) \Rightarrow O \in (SAC)\\O \in BD \subset (SBD) \Rightarrow O \in (SBD)\end{array} \right.\]
Khi đó, \(O\) là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD).\)
Suy ra \((SAC) \cap (SBD) = SO\). Do đó B đúng.
• Tương tự, ta có \((SAD) \cap (SBC) = SI\). Do đó C đúng.
• \((SAB) \cap (SAD) = SA\) mà \(SA\) không phải là đường trung bình của hình thang \(ABCD.\) Do đó D sai.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau hoặc trùng nhau.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau hoặc trùng nhau.
đôi một cắt nhau.
đôi một song song.
đồng quy.
đôi một song song hoặc đồng quy.
Đáp án đúng là: D
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì giao tuyến ấy đôi một song song hoặc đồng quy.
qua \(I\) và song song với \(AB\).
qua \(J\) và song song với \(BD\).
qua \(G\) và song song với \(CD\).
qua \(G\) và song song với \(BC\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(GIJ) \cap (BCD) = G\\IJ \subset (GIJ),\,\,CD \subset (BCD)\\IJ\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right.\)
Do đó \((GIJ) \cap (BCD) = Gx\,{\rm{//}}\,IJ\,{\rm{//}}\,CD\).
tam giác \(IBC\).
hình thang \(IBCJ\,\,(J\) là trung điểm của \(SD\)).
hình thang \(IGBC\,\,(G\) là trung điểm của \(SB\)).
tứ giác \(IBCD\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(IBC) \cap (SAD) = I\\BC \subset (IBC),\,\,AD \subset (SAD)\\BC\,{\rm{//}}\,AD\end{array} \right.\)
Suy ra \((IBC) \cap (SAD) = Ix\,{\rm{//}}\,BC{\rm{//}}\,AD\).
Trong mặt phẳng \((SAD)\) có \(Ix\,{\rm{//}}\,AD\), gọi \(Ix \cap SD = J\) nên \(IJ\,{\rm{//}}\,BC\).
Vậy thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \((IBC)\) là hình thang \(IBCJ\).
II. Tự luận (3,0 điểm)
(1,0 điểm)Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ \(t\) của năm 2017 được cho bởi một hàm số \(y = 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}(t - 60)} \right] + 10\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365.\) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Vì \(\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}(t - 60)} \right] \le 1\) nên \(y = 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}(t - 60)} \right] + 10 \le 14.\)
Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất thì \(y = 14 \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}(t - 60)} \right] = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}(t - 60) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 149 + 356k\)
Khi đó \( - \frac{{149}}{{356}} < k \le \frac{{54}}{{98}}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\).
Với \(k = 0\) thì \(t = 149\) rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì năm 2017 không phải là năm nhuận).
(1,0 điểm) Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng đến để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là \(80\,\,000\) đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm \(5\,\,000\) đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống \[50\,\,m\] mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
Giá tiền khoan mỗi mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 80\,\,000;\,\,d = 5\,\,000\).
Do cần khoan \[50\,\,m\] nên tổng số tiền cần trả là:
\[{u_1} + {u_2} + ... + {u_{50}} = 50{u_1} + \frac{{50\,.\,49}}{2}d = 50\,.\,\,80\,\,000 + \frac{{50\,.\,49}}{2}\,.\,\,5\,\,000 = 10\,\,125\,\,000\] (đồng).
Vậy phải trả \[10\,\,125\,\,000\] đồng để khoan cái giếng đó.
(1,0 điểm)Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(SO\). Mặt phẳng \((ICD)\) cắt \(SA,\,\,SB\) lần lượt tại \(M,\,\,N.\)
a) Nêu cách xác định hai điểm \(M\) và \(N\). Cho \(AB = a\). Tính \(MN\) theo \(a.\)
b) Trong mặt phẳng \((CDMN)\), gọi \(K\) là giao điểm của \(CN\) và \(DM\). Chứng minh \[SK\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,AD\].
a) Trong mặt phẳng \((SAC)\), gọi \(M\) là giao điểm của \(CI\) và \(SA,\,\,CI \subset (ICD)\) nên \(M \in (ICD)\).
Trong mặt phẳng \((SBD)\), gọi \(N\) là giao điểm của \(DI\) và \(SB,\,\,DI \subset (ICD)\) nên \(N \in (ICD)\).
Ta có \((KCD) \cap (SAB) = MN\).
Mà \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,CD\).
Theo định lí Menelaus, trong tam giác \(SOA\), ta có: \[\frac{{SM}}{{MA}}\,.\,\frac{{AC}}{{CO}}\,.\,\frac{{OI}}{{IS}} = 1\].
Hay \[\frac{{SM}}{{MA}}\,.\,2\,.\,1 = 1\] suy ra \[\frac{{SM}}{{MA}} = \frac{1}{2}\] nên \[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{3}\].
Ta có \(MN\,{\rm{//}}\,AB\) nên \[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{MN}}{{AB}}\].
Vậy \(MN = \frac{1}{3}a\).
b) \(K \in CN;\,\,CN \subset (SBC)\) nên \(K \in (SBC)\).
\(K \in DM;\,\,DM \subset (SAD)\) nên \(K \in (SAD)\).
Ta có \(S\) và \(K\) là hai điểm chung của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) nên \(SK\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\).
Mà \(AD\,{\rm{//}}\,BC\) nên \[SK\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,AD\].
