Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 5
38 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây.
Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là
Luôn cùng chiều quay kim đồng hồ.
Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ.
Có thể cùng chiều quay kim đồng hồ mà cũng có thể ngược chiều quay kim đồng hồ.
Không cùng chiều quay kim đồng hồ và cũng không ngược chiều quay kim đồng hồ.
Đáp án đúng là: B
Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng luôn ngược chiều quay kim đồng hồ.
Điểm \(N.\)
Điểm \(M.\)
Điểm \(P.\)
Điểm \(P.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có \( - 405^\circ = - 45^\circ - 360^\circ \) nên điểm biểu diễn của góc có số đo bằng \( - 405^\circ \) trùng với góc có số do bằng \( - 45^\circ .\)
Mà số đo góc lượng giác \(\left( {OA,\,\,OQ} \right)\) bằng \( - 45^\circ \) nên điểm \(Q\) là điểm biểu diễn của góc có số đo bằng \( - 405^\circ \) trên đường tròn lượng giác.
\(\alpha = 90^\circ .\)
\(\alpha = 30^\circ .\)
\(\alpha = 60^\circ .\)
\(\alpha = 45^\circ .\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\alpha = \frac{\pi }{3} = {\left( {\frac{\pi }{3}.\frac{{180}}{\pi }} \right)^{\rm{o}}} = 60^\circ .\)
\(\tan \alpha > 0,\,\,\cot \alpha > 0\).
\(\tan \alpha < 0,\,\,\cot \alpha < 0\).
\(\tan \alpha > 0,\,\,\cot \alpha < 0\).
\(\tan \alpha < 0,\,\,\cot \alpha > 0\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \[2\pi < \alpha < \frac{{5\pi }}{2}\] nên điểm cuối cung \(\alpha - \pi \) thuộc góc phần tư thứ nhất.
Do đó \(\tan \alpha > 0,\,\,\cot \alpha > 0\).
\( - \tan x\).
\(\cot x\).
\(\tan x\).
\( - \cot x\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\tan (2017\pi + \alpha ) = \tan x\).
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\tan \alpha = - \frac{3}{{\sqrt 5 }}\).
\(\tan \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
\(\tan \alpha = - \frac{4}{{\sqrt 5 }}\).
\(\tan \alpha = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \pm \frac{2}{3}\\\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra \(\sin \alpha = - \frac{2}{3}\).
Do đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
\[\sin a + \cos a = \sqrt 2 \sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\].
\[\sin a + \cos a = \sqrt 2 \sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\].
\[\sin a + \cos a = - \sqrt 2 \sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\].
\[\sin a + \cos a = - \sqrt 2 \sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Khẳng định đúng là \[\sin a + \cos a = \sqrt 2 \sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\].Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \cos x.cos\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \sin x.cos\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\cos x.\left( {\sin x - \cos x} \right).\)
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \cos x.cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 2\cos x(\sin x + \cos x)\).
Mà \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \left( {\cos x\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \sin x\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
Vậy \(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \cos x\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
\[A = - \sin 4x + \cos 2x - \sin 6x\].
\[A = \sin 4x - \cos 2x - \sin 6x\].
\[A = \sin 4x - \sin 2x + \sin 6x\].
\[A = \sin 4x + \sin 2x - \sin 6x\].
Đáp án đúng là: D
Áp dụng quy tắc từ tích sang tổng, ta được:
\[A = 4\sin x.\sin 2x.\sin 3x = 2\left( {\cos x - \cos 3x} \right)\sin 3x = \sin 4x + \sin 2x - \sin 6x\].
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = \sin x.\)
\(y = \cos x.\)
\(y = \tan x.\)
\(y = \cot x.\)
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề sai là: Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Vì hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + 2k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Đáp án đúng là: C
Hàm số xác định khi và chỉ khi\(\sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{2} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(x = k\pi \).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
\(x = k2\pi \).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{{11}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{{22}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{{22}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{{22}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
\(\tan 2x = \tan \frac{\pi }{{11}}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{22}} + k\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{5} + k\frac{{2\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi \) và \(x = \frac{\pi }{5} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi \) và \(x = \frac{\pi }{5} + k\frac{{2\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}.\)
Đáp án đúng là: D
\(\sin 2x = \sin 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 2x + k2\pi \\3x = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{5} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\), với \(k \in \mathbb{Z}\).
\[S = \left\{ { - \frac{\pi }{{12}} + k\pi ,\,\,\frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\, - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\[S = \left\{ { - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,\,\,\frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,\, - \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Đáp án đúng là: A
\[2\sin 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\[{u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\].
\[{u_n} = \frac{3}{n}\].
\[{u_n} = {2^n}\].
\[{u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\].
Đáp án đúng là: C
Dãy số \[{u_n} = {2^n}\] là dãy số tăng.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số \({u_n} = \frac{1}{n} - 2\) là dãy tăng.
Dãy số \[{u_n} = {( - 1)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\] là dãy giảm.
Dãy số \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}}\) là dãy giảm.
Dãy số \({u_n} = 2n + \cos \frac{1}{n}\) là dãy tăng.
Đáp án đúng là: D
Ta có \({u_n} = 2n + \cos \frac{1}{n} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \left( {2 - \cos \frac{1}{{n + 1}}} \right) + \cos \frac{1}{{n + 2}} > 0\).
Do đó dãy số \({u_n} = 2n + \cos \frac{1}{n}\) là dãy tăng.
\(\frac{1}{3}\).
1.
\(\frac{1}{2}\).
0.
Đáp án đúng là: B
Ta có \[{u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}} = 1 - \frac{2}{{3n + 1}} < 1\].
Mặt khác: \[{u_2} = \frac{5}{7} > \frac{1}{2} > 0\] nên suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi số 1.
\(1; - 2; - 4; - 6; - 8\).
\(1; - 3; - 6; - 9; - 12\).
\(1; - 3; - 7; - 11; - 15\).
\(1; - 3; - 5; - 7; - 9\).
Đáp án đúng là: C
Ta thấy dãy số \(1; - 3; - 7; - 11; - 15\) là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai là \( - 4\).
\({u_n} = {( - 1)^n}(2n + 1)\).
\({u_n} = \sin \frac{\pi }{n}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} - 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = 2{u_{n - 1}}\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng nên \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\) (\(d\) là hằng số).
Vậy dãy số \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} - 1\end{array} \right.\)là cấp số cộng.
\({S_5} = - \frac{4}{5}\).
\({S_5} = \frac{4}{5}\).
\({S_5} = \frac{5}{4}\).
\({S_5} = - \frac{5}{4}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{4}\\d = - \frac{1}{4}\end{array} \right.\]
Do đó \({S_5} = 5{u_1} + \frac{{5\,.\,4}}{2}d = 5\,.\,\frac{1}{4} + 10\,.\,\left( { - \frac{1}{4}} \right) = - \frac{5}{4}\).
\({u_n} = 2n + 3\).
\({u_n} = 3n + 2\).
\({u_n} = 5\,.\,{3^{n - 1}}\).
\({u_n} = 5\,.\,{\left( {\frac{8}{5}} \right)^{n - 1}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có
Do đó \({u_n} = 2n + 3\).
Cho các dãy số sau:
\((1):{u_n} = - \frac{{{3^{n - 1}}}}{5}\); \((2):{u_n} = 3n - 1\); \((3):{u_n} = \frac{{{2^n} - 1}}{3}\); \[(4):{u_n} = {n^3}\].
Hỏi có bao nhiêu dãy số là cấp số nhân?
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng là: A
Có 1 dãy cấp số nhân đó là \((1):{u_n} = - \frac{{{3^{n - 1}}}}{5}\).
\[{u_k} = {u_1}{q^{k - 1}}\].
\[{u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\].
\[{u_k} = \sqrt {{u_{k + 1}}\,.\,{u_{k + 2}}} \].
\[{u_k} = {u_1} + (k - 1)q\].
Đáp án đúng là: A
Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) công bội \(q\) thì \[{u_k} = {u_1}{q^{k - 1}}\].
\(q = 2\).
\(q = - 4\).
\(q = 4\).
\(q = - 2\).
Đáp án đúng là: A
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_{20}} = 8{u_{17}}\\{u_1} + {u_5} = 272\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^{19}} = 8{u_1}{q^{16}}\\{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 272\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^3} = 8\\{u_1} = \frac{{272}}{{1 + {q^4}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 16\end{array} \right.\end{array} \right.\].
\({u_6} = 32\).
\({u_6} = 104\).
\({u_6} = 48\).
\({u_6} = 96\).
Đáp án đúng là: D
Theo giả thiết
\( \Rightarrow {u_6} = {u_1}{q^5} = 3\,.\,{2^5} = 96\).
0.
2.
1.
vô số.
Đáp án đúng là: C
Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Ba điểm phân biệt.
Một điểm và một đường thẳng.
Hai đường thẳng cắt nhau.
Bốn điểm phân biệt.
Đáp án đúng là: C
Các yếu tố để xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.
\(I,\,\,A,\,\,C\).
\(I,\,\,B,\,\,D\).
\(I,\,\,A,\,\,B\).
\(I,\,\,C,\,\,D\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \((ABD) \cap (BCD) = BD\).
Lại có \[\left\{ \begin{array}{l}I \in MP \subset (ABD)\\I \in nq \subset (BCD)\end{array} \right.\]
Suy ra \(I\) thuộc giao tuyến của \((ABD)\) và \((BCD)\) nên \(I \in BD\).
Vậy ba điểm \(I,\,\,B,\,\,D\) thẳng hàng.
\[DG\] với \[G\] là trung điểm của \[BN\].
\[DG\] với \[G\] là giao điểm của \[BN\] và \[CM\].
\[DG\] với \[G\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
\[DG\] với \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].
Đáp án đúng là: B
Dễ thấy \(D\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.
Trong mặt phẳng \((ABC)\), gọi \(G = BN \cap CM\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in BN \subset (BDN)\\G \in CM \subset (DCM)\end{array} \right.\)
\[ \Rightarrow G \in (DBN) \cap (DCM)\]
\( \Rightarrow DG = (DBN) \cap (DCM)\).
Do \(M,\,\,N\) là các điểm bất kì thuộc hai đoạn thẳng \(AB,\,\,AC\) chưa kết luận được vị trí của \(G\).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \((DBN)\) và \((DCM)\) là \(DG\) với \(D\) là giao điểm của \(BN\) và \(CM\).
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
Đáp án đúng là: B
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).
chúng không có điểm chung.
chúng có một điểm chung duy nhất.
chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
chúng đồng phẳng.
Đáp án đúng là: C
Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
\(MP\)và \(RT\).
\(MQ\)và \(RT\).
\(MN\)và \(RT\).
\(PQ\)và \(RT\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(M,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,CD\).
Suy ra \(MQ\) là đường trung bình của tam giác
Mặt khác \(R,\,\,T\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SD\).
Suy ra \(RT\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\) nên
Từ (1) và (2) suy ra \(MQ\,{\rm{//}}\,RT\).
2.
1.
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(RQ\).
Nối \(P\) với \(I\), cắt \(AD\) tại \(S\).
• Xét tam giác \(BCD\) bị cắt bởi \(IR\), ta có:
\(\frac{{DI}}{{IB}}\,.\,\frac{{BR}}{{RC}}\,.\,\frac{{CQ}}{{QD}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{DI}}{{IB}}\,.\,2\,.\,1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{DI}}{{IB}} = \frac{1}{2}\).
• Xét tam giác \(ABD\) bị cắt bởi \(PI\), ta có:
\(\frac{{AS}}{{SD}}\,.\,\frac{{DI}}{{IB}}\,.\,\frac{{BP}}{{PA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SA}}{{SD}}\,.\,\frac{1}{2}\,.\,1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{SA}}{{SD}} = 2\).
II. Tự luận (3,0 điểm)
(1,0 điểm)Giải phương trình:
a) \(\cot \left( {x + 30^\circ } \right) = \cot \frac{x}{2}\); b) \(\sin 2x = \cos 3x\).
a) Điều kiện
Ta có \(\cot \left( {x + 30^\circ } \right) = \cot \frac{x}{2}\)
\( \Leftrightarrow x + 30^\circ = \frac{x}{2} + k\,.\,180^\circ \)
\( \Leftrightarrow 2x + 60^\circ = x + k\,.\,360^\circ \)
\( \Leftrightarrow x = - 60^\circ + k\,.\,360^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - 60^\circ + k\,.\,360^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
b) \(\sin 2x = \cos 3x \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\3x = - \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5};\,\,x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
(1,0 điểm) Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là \(12\,\,288\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)). Tính diện tích mặt trên cùng.
Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội \(q = \frac{1}{2}\) và \[{u_1} = \frac{{12\,\,288}}{2} = 6\,\,144\].
Khi đó diện tích mặt trên cùng là: \[{u_{11}} = {u_1}{q^{10}} = \frac{{6\,\,144}}{{{2^{10}}}} = 6\].
(1,0 điểm)Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(SB\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\).
b) Chứng minh \(ON\) song song với mặt phẳng \[(SAD)\].
c) Tìm giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \((SAC)\).
a) Xét hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) có \(S\) là điểm chung của hai mặt phẳng.
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AB\,{\rm{//}}\,CD\\AB \subset (SAB)\\CD\, \subset \,(SCD)\end{array} \right.\).
Gọi \(Sx\) là đường thẳng qua \(S\) và song song với \(AB\) và CD.
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) là đường thẳng đi qua \(Sx\).
b) Xét tam giác \(SBD\) có \(ON\,{\rm{//}}\,SD\) (vì \(O,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BD\) và \(SB\)).
Mà \(SD\, \subset \,(SCD)\) nên \(ON\,{\rm{//}}\,\,(SCD)\).
c) Xét mặt phẳng \((ABCD)\).
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM\).
Xét hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBM)\).
Ta có \((SAC) \cap (SBM) = SI\).
Gọi \(J\) là giao điểm của \(SI\) và \(MN\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}J \in SI \subset (SAC)J \in (SAC)\\J \in MN\end{array} \right.\).
Vậy \(J\) là giao điểm của \(MN\) và mặt phẳng \((SAC)\).
c) Chọn mặt phẳng \((SAC)\) chứa \(NC\). Tìm giao tuyến của \((SAC)\) và \((SMQ)\):
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}S \in (SAC) \cap (SMQ)\\AC\,{\rm{//}}\,MQ,\,\,AC \subset (SAC),\,\,MQ \subset (SMQ)\end{array} \right.\).
Do đó \[(SAC) \cap (SMQ) = Sx\,{\rm{//}}\,AC\,{\rm{//}}\,MQ\].
Trong mặt phẳng \((SAC)\), gọi \(J = CN \cap Sx\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}J \in CN\\J \in Sx \subset (SMQ)\end{array} \right. \Rightarrow J = CN \cap (SMQ)\)
Vậy \(J\) là giao điểm của đường thẳng \(CN\) và mặt phẳng \((SMQ)\).
