Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 7

Đáp án đúng là: C

Từ hình vẽ, ta có \(\left( {OA,\,\,OB'} \right) = - \frac{\pi }{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Vì hai góc lượng giác \(\left( {Ox,\,\,OM} \right)\) và \(\left( {Ox,\,\,ON} \right)\) lệch nhau \(180^\circ \) nên \(M\) và \(N\) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ \(O\) nên \(M,\,\,N\)có tung độ và hoành độ đều đối nhau.

Đáp án đúng là: A

Các góc phụ nhau có các giá trị lượng giác bằng chéo nhau.

Nghĩa là \(\cos \alpha = \sin \beta \); \(\cot \alpha = \tan \beta \) và ngược lại.

Đáp án đúng là: D

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên ta có:

• \(0 < - \frac{\pi }{2} + \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \left( { - \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) > 0\)

• \(0 < \pi - \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) > 0\)

Do đó \(M = \cos \left( { - \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) \cdot \tan \left( {\pi - \alpha } \right) > 0.\)

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x - \tan y}}{{1 + \tan x\tan y}}\).              

Đáp án đúng là: A

Ta có \(A = \frac{{{{\tan }^2}a - {{\sin }^2}a}}{{{{\cot }^2}a - {{\cos }^2}a}} = \frac{{{{\sin }^2}a\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} - 1} \right)}}{{{{\cos }^2}a\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}a}} - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\tan }^2}a \cdot {{\tan }^2}a}}{{{{\cot }^2}a}} = {\tan ^6}a\).

Đáp án đúng là: C

Hàm số \(y = \tan x\) xác định khi và chỉ khi \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy TXĐ của hàm số \(y = \tan x\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Đáp án đúng là: B

Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ \(O\).

Xét đáp án B, ta có \[y = f\left( x \right) = {\sin ^3}x.\cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^3}x.\sin x = {\sin ^4}x\]. Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\cot x = 3 \Leftrightarrow x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} 3 + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: D

\(\tan \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + \frac{\pi }{4} = k\pi \)

\( \Leftrightarrow 3x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án đúng là: C

Từ các số hạng đầu của dãy số, ta có số hạng tổng quát của dãy số này là \({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}.\)

Đáp án đúng là: A                              

Giả sử \({u_n} = - 19\,\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\)

Suy ra \({u_n} = - {n^2} + n + 1 = - 19\)

\( \Leftrightarrow - {n^2} + n + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 4\,\,(L)\end{array} \right.\)

Vậy số \( - 19\) là số hạng thứ 5 của dãy.

Đáp án đúng là: C

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \({u_{n\, + \,1}} = {u_n} + d\) thì được gọi một cấp số cộng.

Ta thấy dãy số: \(1\,;\,\, - 3\,;\,\, - 7\,;\,\, - 11\,;\, - 15\,;\,\,\, \ldots \) là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng \( - \,4.\)

Đáp án đúng là: B

Ta có \({u_8} = {u_1} + 7d \Rightarrow d = \frac{{{u_8} - {u_1}}}{7} = \frac{{24 - 3}}{7} = 3.\)

Do đó \({u_{11}} = {u_1} + 10d = 33.\)

Đáp án đúng là: D

Nhận thấy \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên các dãy số ở các đáp án A, B và C không phải là cấp số nhân.

Riêng đối với dãy \[1\,;\,\,2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8\,;\,\,16\,;\,\,32\,;\,\, \ldots \] ở đáp án D thỏa mãn: \({u_{n\, + \,1}} = 2{u_n}\,\,\forall n \in \mathbb{N}*.\)

Vậy dãy số \[1\,;\,\,2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8\,;\,\,16\,;\,\,32\,;\,\, \ldots \] là cấp số nhân với \({u_1} = 1\) và công bội \(q = 2.\)

Đáp án đúng là: B

Để ba số \(1\,;\,\,x\,;\,\,x + 2\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì \[{x^2} = x + 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\].

Vậy có đúng 1 số nguyên dương \(x = 2\).

Đáp án đúng là: A

Ta thấy \(M,\,\,K\) cùng thuộc mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) nên bốn điểm \(M,\,\,K,\,\,A,\,\,C\) đồng phẳng.

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\left( {IAC} \right) \equiv \left( {SAC} \right);\,\,\left( {JBD} \right) = \left( {SBD} \right).\)

Mà \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\), trong đó là \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD.\)

Đáp án đúng là: A

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng sẽ song song với hai đường thẳng đó.               

Đáp án đúng là: D

Ta có \(MN\) là đường trung bình tam giác \(ACD\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,CD.\)

Mà \[G \in \left( {GMN} \right) \cap \left( {BCD} \right),\] hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) lần lượt chứa \(DC\) và \(MN\).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng qua \(G\) và song song với \(CD.\)

a) \(2\sin 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{ - 1}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,,\,\,k \in \mathbb{Z}\].

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{{12}} + k\pi ;\,\,\frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

b) $\tan \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{9}+\mathrm{x}\right)+2\cot \left(\frac{\mathrm{\pi }}{18}-\mathrm{x}\right)=\sqrt{3}(*)$

Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) \ne 0\\\sin \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{4\pi }}{9} + x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\\frac{\pi }{{18}} - x \ne l\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{8} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{8} - k\pi \end{array} \right.\, \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{8} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Ta có \(\left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) + \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \tan \left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right).\)

Khi đó \((*) \Leftrightarrow \cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) + 2\cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow 3\cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{18}} - x = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{{5\pi }}{{18}} - k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \[x = - \frac{{5\pi }}{{18}} - k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Ta có \({u_n} = \frac{{{5^n}}}{{{n^2}}} > 0,\,\,\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow {u_{n\, + \,1}} = \frac{{{5^{n\, + \,1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\).

Xét tỉ số \(\frac{{{u_{n\, + \,1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{5^{n\, + \,1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{{n^2}}}{{{5^n}}} = \frac{{5{n^2}}}{{{n^2} + 2n + 1}}\)

\( = \frac{{{n^2} + 2n + 1 + 4{n^2} - 2n - 1}}{{{n^2} + 2n + 1}} = 1 + \frac{{2n\left( {n - 1} \right) + 2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 2n + 1}} > 1,\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

a) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}E' \in A'B' \subset \left( {SAB} \right)\\E' \in C'D' \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E' \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\]

    Mặt khác \[\left\{ \begin{array}{l}E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\E \in CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\]

    Do đó \[EE' = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\]   

    Mà \[S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\] nên \[S \in EE'.\]

    Vậy ba điểm \[S,{\rm{ }}E,{\rm{ }}E'\] thẳng hàng.

b) Trong \[\left( \alpha  \right)\]gọi \[\left\{ M \right\} = A'C' \cap B'D'\]

    Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\].

c) Ta có \[O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

    Mà \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)\( \Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)

    Lại có: \[\left\{ \begin{array}{l}M \in A'C' \subset \left( {SAC} \right)\\M \in B'D' \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

    Vậy \(M \in SO\) hay \[A'C',{\rm{ }}B'D',{\rm{ }}SO\] đồng quy tại \[M.\]

Đặt \({P_0} = 2\,\,000\,\,000 = 2 \cdot {10^6}\) và \(r = 1,2\% = 0,012.\)

Gọi \({P_n}\) là số dân của tỉnh M sau \(n\) năm nữa.

Ta có: \({P_{n\, + \,1}} = {P_n} + {P_n}r = {P_n}\left( {1 + r} \right).\)

Suy ra \(\left( {{P_n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({P_0}\) và công bội \[q = 1 + r.\]

Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là:

\[{P_{10}} = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^9} = 2 \cdot {10^6} \cdot {\left( {1,012} \right)^9} \approx 2\,\,226\,\,663\] (người).

Vậy số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa khoảng \[2\,\,226\,\,663\] người.