Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 9
24 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (6,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây.
Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc \(\frac{{7\pi }}{4}?\)
\[ - \frac{\pi }{4}.\]
\[\frac{\pi }{4}.\]
\[\frac{{3\pi }}{4}.\]
\[ - \frac{{3\pi }}{4}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\frac{{7\pi }}{4} = 2\pi - \frac{\pi }{4}\).
Góc lượng giác có cùng điểm cuối với góc \(\frac{{7\pi }}{4}\) là \( - \frac{\pi }{4}\).
Cho hai góc lượng giác có và Khẳng định nào sau đây đúng?
\(Ou\) và \(Ov\) vuông góc.
\(Ou\) và \(Ov\) đối nhau.
\(Ou\) và \(Ov\) trùng nhau.
Tạo với nhau một góc \(\frac{\pi }{4}\).
Đáp án đúng là: C
• Tia cuối của góc lượng giác có trùng với tia \(OB'.\)
• Tia cuối của góc lượng giác có trùng với tia \(OB'.\)
Do đó, hai tia \(Ou\) và \(Ov\) trùng nhau.
Thứ I.
Thứ II hoặc IV.
Thứ I hoặc IV.
Thứ II hoặc III.
Đáp án đúng là: D
Điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \) ở góc phần tư thứ II hoặc III nếu \(\sin \alpha ,\,\,\tan \alpha \) trái dấu.
\[\sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\]
\[\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\]
\[\sin \alpha = \frac{2}{3}.\]
\[\sin \alpha = - \frac{2}{3}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\cos \alpha = \frac{1}{3} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
Vì \(\frac{{7\pi }}{2} < \alpha < 4\pi \) nên \[\sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\]
Biểu thức \(\frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin \left( {a - b} \right)}}\) bằng biểu thức nào sau đây?
\(\frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin \left( {a - b} \right)}} = \frac{{\sin a + \sin b}}{{\sin a - \sin b}}\).
\(\frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin \left( {a - b} \right)}} = \frac{{\sin a - \sin b}}{{\sin a + \sin b}}\).
\(\frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin \left( {a - b} \right)}} = \frac{{\tan a + \tan b}}{{\tan a - \tan b}}\).
\(\frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin \left( {a - b} \right)}} = \frac{{\cot a + \cot b}}{{\cot a - \cot b}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin \left( {a - b} \right)}} = \frac{{\sin a\cos b + \cos a\sin b}}{{\sin a\cos b - \cos a\sin b}} = \frac{{\tan a + \tan b}}{{\tan a - \tan b}}\).
\(A = \sin x + \cos x.\)
\(A = \cos x - \sin x.\)
\(A = \cos 2x - \sin 2x.\)
\(A = \cos 2x + \sin 2x.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \(A = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\sin x + \cos x}} = \frac{{2{{\cos }^2}x - \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}\)
\( = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\sin x + \cos x}} = \cos x - \sin x.\)
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số lẻ.
Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số chẵn.
Đáp án đúng là: C
Khẳng định đúng là: Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.
\(T = \left[ { - 1\,;\,\,1} \right].\)
\(T = \left[ { - 1\,;\,\,11} \right].\)
\(T = \left[ {2\,;\,\,8} \right].\)
\(T = \left[ {5\,;\,\,8} \right].\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \( - 1 \le \cos 2x \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le 3\cos 2x \le 3\)
\( \Leftrightarrow 2 \le 3\cos 2x + 5 \le 8\)\[ \Leftrightarrow 2 \le y \le 8 \Rightarrow T = \left[ {2\,;\,\,8} \right].\]
\(m \ge 1.\)
\(0 \le m \le 1.\)
\(m \le 0.\)
\( - 2 \le m \le 0.\)
Đáp án đúng là: D
Phương trình \(\sin x = m + 1\) có nghiệm khi \[ - 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 0.\]
Nghiệm nào của phương trình \(\tan x = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\) được biểu diễn trên đường tròn lượng giác trong hình bên dưới là những điểm nào?
Điểm \(F,\) điểm \(D.\)
Điểm \(C,\) điểm \(F.\)
Điểm \(C,\) điểm \(D,\) điểm \(E,\) điểm \(F.\)
Điểm \(E,\) điểm \(F.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\tan x = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\]
Với \(0 < x < 2\pi \), ta có: \[x = - \frac{\pi }{3}\] hoặc \[x = \frac{{2\pi }}{3}.\]
\({2^{2018}}.\)
\(2017 + {2^{2017}}.\)
\(1 + {2^{2018}}.\)
\(2018 + {2^{2018}}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \({u_{2018}} = 1 + {2^{2018}}.\)
\(x = 1.\)
\(x = 2.\)
\(x = 3.\)
\(x = 4.\)
Đáp án đúng là: B
\(\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 7} \right) + \left( {x + 11} \right) + \cdots + \left( {x + 79} \right) = 860.\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 3 + x + 79} \right) + \left( {x + 7x + 75} \right) + \cdots + \left( {x + 79 + x + 3} \right) = 1720\)
\( \Leftrightarrow 20\left( {x + 3 + x + 79} \right) = 1720\)
\( \Leftrightarrow 20\left( {2x + 82} \right) = 1720 \Leftrightarrow x = 2.\)
Vậy \(x = 2.\)
11.
\(\frac{9}{2}.\)
18.
7.
Đáp án đúng là: A
Ta có \({u_2} = {u_1} + d = 9 + 2 = 11.\)
\({S_{10}} = 110.\)
\({S_{10}} = 100.\)
\({S_{10}} = 21.\)
\({S_{10}} = 19.\)
Đáp án đúng là: B
Áp dụng công thức \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_n} + {u_1}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\), ta được:
\[{S_n} = \frac{{10\left[ {2 + \left( {10 - 1} \right)2} \right]}}{2} = 100\].
\({u_2} = - 6.\)
\({u_2} = 6.\)
\({u_2} = 1.\)
\({u_2} = - 18.\)
Đáp án đúng là: A
Số hạng \({u_2}\) là: \({u_2} = {u_1} \cdot q = - 6.\)
Thứ 5.
Thứ 6.
Thứ 7.
Không phải là số hạng của cấp số.
Đáp án đúng là: B
Giả sử số \(\frac{{ - 96}}{{243}}\) là số hạng thứ \(n\) của cấp số này.
Ta có: \({u_1} \cdot {q^{n\, - \,1}} = \frac{{ - 96}}{{243}} \Leftrightarrow \left( { - 3} \right) \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n\, - \,1}} = \frac{{ - 96}}{{243}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n\, - \,1}} = \frac{{ - 32}}{{243}} \Leftrightarrow n = 6.\)
Vậy số \(\frac{{ - 96}}{{243}}\) là số hạng thứ 6 của cấp số.
3.
4.
2.
6.
Đáp án đúng là: B
Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện. Vì vậy xác định nhiều nhất bốn mặt phẳng phân biệt.
\(SA\).
\(AC\).
\(SD\).
\(SO\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}O \in AC,\,\,AC \in \left( {SAC} \right)\\O \in BD,\,\,BD \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)
Nên \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)
Hai đường thẳng phân biệt có không quá một điểm chung.
Hai đường thẳng cắt nhau thì không song song với nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề sai là: Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Tứ giác \(MNPQ\) không có các cặp cạnh đối song song.
Tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.
Bốn điểm \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) không đồng phẳng.
Tứ giác \(MNPQ\) là hình thang.
Đáp án đúng là: D
• Xét tam giác \(ABD\) có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BD.\)
• Xét tam giác \(BCD\) có: \(PQ\) là đường trung bình của tam giác nên \(PQ\,{\rm{//}}\,BD.\)
Do đó \[PQ\,{\rm{//}}\,MN\] nên \(MNPQ\) là hình thang.
II. Tự luận (4,0 điểm)
(1,0 điểm)Giải phương trình:
a) \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0\); b) \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - \sin 5x = 0\).
a) \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0\)
Điều kiện \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) hay \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\).
Ta có \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{{ - \pi }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{{ - \pi }}{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
b) \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - \sin 5x = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin 5x\)
\[ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} - 5x + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{2} + 5x + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{42}} + \frac{{k2\pi }}{7}\\x = \frac{{5\pi }}{{18}} - \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \[x = \frac{\pi }{{42}} + \frac{{k2\pi }}{7}\,;\,\,x = \frac{{5\pi }}{{18}} - \frac{{k2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
(0,5 điểm) Tính tổng: \(S = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{4}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{8}} \right) + \cdots + \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right).\) Tính \({S_{10}}.\)
Ta có \(S = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{4}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{8}} \right) + \cdots + \left( {1 - \frac{1}{{{2^{10}}}}} \right)\)
\( = 10 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \cdots + \frac{1}{{{2^{10}}}}} \right)\).
Đặt \(M = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \cdots + \frac{1}{{{2^{10}}}}\).
Ta có \(2M = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \cdots + \frac{1}{{{2^9}}}\).
Khi đó \(2M - M = M = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \cdots + \frac{1}{{{2^9}}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \cdots + \frac{1}{{{2^{10}}}}} \right) = 1 - \frac{1}{{{2^{10}}}}\).
Do đó \[S = 10 - 1 + \frac{1}{{{2^{10}}}} = 9 + \frac{1}{{{2^{10}}}}.\]
(1,5 điểm)Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thang \[(AD\] là đáy lớn, \[BC\] là đáy nhỏ). Gọi \[E,{\rm{ }}F\] lần lượt là trung điểm của \[SA\] và \[SD.{\rm{ }}K\] là giao điểm của các đường thẳng \[AB\] và \[CD.\]
a) Tìm giao điểm \[M\] của đường thẳng \[SB\] và mặt phẳng \(\left( {CDE} \right)\).
b) Đường thẳng \[SC\] cắt mặt phẳng \(\left( {EFM} \right)\) tại \[N.\] Tứ giác \[EFNM\] là hình gì?
c) Chứng minh các đường thẳng \[AM,{\rm{ }}DN,{\rm{ }}SK\] đồng quy.
![Cho hình chóp \[S.ABCD\] có (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/23-1762399116.png)
a) Ta có \(SK = (SAB) \cap (SCD)\).
Trong mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\], gọi \(M = KE \cap SB\), có \(KE \subset (CDE).\)
Do đó \(SB \cap (CDE) = M\).
b) Trong mặt phẳng \[\left( {SCD} \right),\] gọi \(N = KF \cap SC\), có \(KF \subset (EFM)\).
Do đó \[SC \cap (EFM) = N\].
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}MN = (EFK) \cap (SBC)\\EF\,{\rm{// }}BC;\,\,EF \subset (EFK),\,\,BC \subset (SBC)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow MN\,{\rm{// }}EF\,{\rm{// }}BC\).
Vậy tứ giác \[EFNM\] là hình thang.
c)Trong mặt phẳng \[\left( {ADNM} \right),\] gọi \(I = AM \cap DN\).
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AM,\,\,AM \subset (SAB)\\I \in CD,\,\,CD \subset (SCD)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I \in (SAB) \cap (SCD)\), hay \(I \in SK\).
Vậy ba đường thẳng \[AM,{\rm{ }}DN,{\rm{ }}SK\] đồng quy tại điểm \[I.\]
(1,0 điểm)Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào n gày 01 tháng 01 năm 2016, sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền?
Số ngày bạn An để dành tiền là \(31 + 29 + 31 + 30 = 121\) (ngày).
Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: \({u_1} = 100.\)
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: \({u_2} = 100 + 1 \cdot 100.\)
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: \({u_3} = 100 + 2 \cdot 100.\)
...
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ \(n\) là:
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 100 + \left( {n - 1} \right)100 = 100n.\)
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là: \({u_{121}} = 100 \cdot 121 = 12\,\,100.\)
Sau 121 ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của 121 số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 100\), công sai \(d = 100.\)
Số tiền An tích lũy được là:
\({S_{121}} = \frac{{121}}{2}\left( {{u_1} + {u_{121}}} \right) = \frac{{121}}{2}\left( {100 + 12\,\,100} \right) = 738\,\,100\) (đồng).
Vậy số tiền An tích lũy được là \(738\,\,100\) đồng.
