Bộ 11 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023-2024) có đáp án - Đề 1
31 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Cho góc lượng giác\(\alpha \) thỏa\(\sin \alpha = \frac{3}{5}\)và\[0 < \alpha < \frac{\pi }{2}.\] Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[\cos \alpha = \frac{4}{5}.\]
\[\cos \alpha = - \frac{4}{5}.\]
\[\cos \alpha = - \frac{3}{5}.\]
\[\cos \alpha = \frac{2}{5}.\]
Chọn A
Ta có: \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\). Suy ra \(\cos \alpha = \pm \frac{4}{5}\).
Vì \[0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\] nên \(\cos \alpha > 0\). Do đó: \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\).
Hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2\pi } \right).\)
Hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right).\)
Hàm số \(y = \cot x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\)
Hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\pi } \right).\)
Chọn B
A. Sai, vì trên khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\) hàm số \(y = \cot x\) không xác định tại \(x = \pi \).
B. Đúng, vì trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right)\) hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến.
C. Sai, vì trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến.
D. Sai, vì trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\pi } \right)\) hàm số \(y = \cot x\) không xác định tại \(x = 0\).
\[\cos (\pi - \alpha ) = \tan \alpha .\]
\[\cos (\pi - \alpha ) = - \cos \alpha .\]
\[\cos (\pi - \alpha ) = \cos \alpha .\]
\[\cos (\pi - \alpha ) = \sin \alpha .\]
Chọn B
Vì \[(\pi - \alpha )\] và \[\alpha \] là hai cung bù nhau nên \[\cos (\pi - \alpha ) = - \cos \alpha \].
\[\left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[\left\{ { - \frac{\pi }{2} + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[\left\{ { - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[\left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Chọn A
Ta có \(\tan x = - 1\)\( \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\[\left( {0;\pi } \right).\]
\[\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right).\]
\[\left( { - \pi ;0} \right).\]
\[\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{4}} \right).\]
Chọn C
Ta thấy trên khoảng \[\left( { - \pi ;0} \right)\] thì hàm số đã cho đồng biến.
Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?
\[\cos 2x = 0.\]
\[\cos 2x = - \frac{2}{3}.\]
\[\cos 2x = - \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\]
\[\cos 2x = \frac{{\sqrt 5 }}{2}.\]
Chọn D
Ta có: \[\cos 2x = \frac{{\sqrt 5 }}{2} > 1\] nên phương trình này vô nghiệm.
\[\left\{ {k\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[\left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[\left\{ {k2\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[\left\{ {\frac{{k\pi }}{2}\,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Chọn A
Ta có \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[\left\{ {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,;\,\,\frac{\pi }{3} + k2\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[\left\{ { \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[\left\{ { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[\left\{ { \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Chọn C
Ta có \(\cos x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[\cos 2\alpha = - \frac{7}{9}.\]
\[\cos 2\alpha = - \frac{5}{9}.\]
\[\cos 2\alpha = - \frac{2}{9}.\]
\[\cos 2\alpha = \frac{7}{9}.\]
Chọn A
Ta có: \[\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} - 1 = - \frac{7}{9}\].
\[{\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1.\]
\[{\sin ^2}a + {\cos ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}.\]
\[{\sin ^2}a + {\cos ^2}a = \frac{1}{{{{\sin }^2}a}}.\]
\[{\sin ^2}a - {\cos ^2}a = 1.\]
Chọn A
Theo công thức lượng giác thì đáp án A đúng.
\[\frac{{\sqrt 6 }}{2}.\]
\[ - \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\]
\[\frac{{\sqrt 2 }}{6}.\]
\[\frac{{\sqrt 6 }}{3}.\]
Chọn D
Ta có: \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} = \frac{7}{9}\). Suy ra \(\sin x = \pm \frac{{\sqrt 7 }}{3}\).
Vì \[0 < x < \frac{\pi }{2}\] nên \(\sin x > 0\). Do đó: \(\sin x = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\).
Ta có: \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)\( = 2\cos x \cdot \cos \frac{\pi }{6} = 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\[\frac{3}{4}.\]
\[\frac{4}{3}.\]
\[\frac{1}{4}.\]
\[ - \frac{3}{4}.\]
Chọn A
Ta có: \(\tan 2\alpha = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\)\( = \frac{{2\left( { - 3} \right)}}{{1 - {{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{3}{4}\).
\[\cos (a + b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b.\]
\[\cos (a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\]
\[\cos (a + b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b.\]
\[\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.\]
Chọn D
Theo công thức lượng giác, ta thấy đáp án D đúng.
Trong không gian, hai đường thẳng song song với nhau nếu
hai đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng.
hai đường thẳng đó không đồng phẳng.
hai đường thẳng đó không có điểm chung.
hai đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
Chọn D
Ta thấy đáp án D đúng.
\(2.\)
\(1.\)
\(3.\)
\(4.\)
Chọn C
Trong không gian, giữa 2 đường thẳng phân biệt có 3 vị trí tương đối: song song, cắt nhau và chéo nhau.
\[3\pi .\]
\[\frac{\pi }{2}.\]
\[2\pi .\]
\[\pi .\]
Chọn D
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số tuần hoàn có chu kì bằng \(\pi \)
\[\cot \alpha < 0.\]
\[\sin \alpha > 0.\]
\[\tan \alpha > 0.\]
\[\cos \alpha > 0.\]
Chọn C
Với \[\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\] thì: \(\sin \alpha < 0,\cos \alpha < 0,\tan \alpha > 0,\cot \alpha > 0\).
\[\sin 2a = 2{\cos ^2}a - 1.\]
\[\sin 2a = 2\sin a\cos a.\]
\[\sin 2a = 1 - 2{\sin ^2}a.\]
\[\sin 2a = \sin a\cos a.\]
Chọn B
Theo công thức nhân đôi ta thấy đáp àn B đúng.
Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số lượng giác nào?
\[y = \sin x.\]
\[y = \cos x.\]
\[y = \cot x.\]
\[y = \tan x.\]
Chọn A
Đây là đồ thị của hàm số \[y = \sin x.\]
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều không thuộc mặt phẳng.
Nếu một đường thẳng có một điểm thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều khôngthuộc mặt phẳng.
Nếu một đường thẳng có một điểm thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.
Chọn A
\[AD.\]
\[AC.\]
\[AI.\]
\[AG.\]
Chọn C
Ta có: \(A \in \left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\) (1).
Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}I \in BG,BG \subset \left( {ABG} \right)\\I \in CD,CD \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I \in \left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(AI = \left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\).
\[100m.\]
\[90m.\]
\[130m.\]
\[120m.\]
Chọn D
Đặt: \(AH = x\). Điều kiện: \(0 < x \ne 40\).
Xét tam giác \(ACH\) vuông tại \(H\), có: \(\tan 2\alpha = \frac{{HC}}{{AH}} = \frac{{90}}{x}\).
Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), có: \(\tan \alpha = \frac{{HB}}{{AH}} = \frac{{40}}{x}\).
Ta có: \(\tan 2\alpha = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{2 \cdot \frac{{40}}{x}}}{{1 - \frac{{1600}}{{{x^2}}}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{\frac{{80}}{x}}}{{\frac{{{x^2} - 1600}}{{{x^2}}}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{80x}}{{{x^2} - 1600}}\)
\( \Leftrightarrow 9\left( {{x^2} - 1600} \right) = 8{x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 14400 \Leftrightarrow x = 120.\)
Khoảng cách từ vận động viên đến bức tường là: \(AH = 120m\).
\[ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
\[ - \frac{1}{2}.\]
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
\[\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
Chọn D
Ta có: \(\cos \alpha \)\[ = \cos \left( { - \frac{{399\pi }}{4}} \right)\]\[ = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - 100\pi } \right)\]\[ = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\]\[ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
Tứ giác \[MNPQ\] là hình bình hành.
Tứ giác \[MNPQ\] là hình vuông.
Tứ giác \[MNPQ\] là hình chữ nhật.
Tứ giác \[MNPQ\] là hình thang.
Chọn D
Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(AD,AB\).
Ta có: \(\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{{SN}}{{SF}} = \frac{2}{3}\) nên \[MN{\rm{//}}EF\] mà \(EF\) là đường trung bình tam giác \(ABD\) nên \(EF{\rm{//}}BD\).
Do đó \(MN{\rm{//}}BD\).
Hai mp \(\left( {IMN} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) có điểm \(I\) chung và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(MN\)
và \(BD\) nên giao tuyến qua điểm \(I\) và song song với \(MN,BD\). Giao tuyến này cắt \(CD,AB,AD\)
lần lượt tại \(J,H,K\). Suy ra \(P = SB \cap NH,Q = SD \cap MK\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {IMN} \right) \cap \left( {SBD} \right) = PQ\\\left( {IMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ\\\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\end{array} \right.\) mà \(IJ{\rm{//}}BD\) nên \(PQ{\rm{//}}IJ{\rm{//}}BD\).
Mặt khác, \(NP\) không song song với \(MQ\) nên tứ giác \(MNPQ\) là hình thang.
\[AB.\]
\[SB.\]
\[AD.\]
\[BC.\]
Chọn A
Ta có: \(MO\) là đường trung bình tam giác \(ABD\) nên \[MO{\rm{//}}AB\].
\(29^\circ {\rm{C}}\), lúc 9 giờ.
\(32^\circ {\rm{C}}\), lúc 15 giờ.
\(26^\circ {\rm{C}}\), lúc 0 giờ.
\(26^\circ {\rm{C}}\), lúc 3 giờ.
Chọn D
Vì \( - 1 \le \sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 1\) nên \( - 3 \le 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 3\)\( \Leftrightarrow 26 \le 29 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 32\)
\( \Leftrightarrow 26 \le h\left( t \right) \le 32\).
Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là \(26^\circ \) khi và chỉ khi:
\(\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow t = 3 + 24k,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy vào thời điểm 3 giờ trong ngày thì nhiệt độ thấp nhất của thành phố là 26°C.
\[MN//BC.\]
\[MN//CD.\]
\[MN//AC.\]
\[MN//BD.\]
Chọn C
Ta có\(\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = MN\\AC \subset \left( {ABC} \right),AC{\rm{//}}\left( P \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow MN{\rm{//}}AC\).
\[4.\]
\[3.\]
\[2.\]
\[1.\]
Chọn C
\(\cos x - 2m + 3 = 0 \Leftrightarrow \cos x = 2m - 3\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - 4\pi ;4\pi } \right]\), ta thấy để phương trình có 4 nghiệm thì:
\(\left[ \begin{array}{l}2m - 3 = - 1\\2m - 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\).
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số \(m\).
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Cho giá trị lượng giác \(\sin x = \frac{3}{5}\) với \(\frac{\pi }{2} < x < \pi .\) Tính giá trị biểu thức \(A = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\).
Ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = \frac{{16}}{{25}} \Leftrightarrow \cos x = \pm \frac{4}{5}\).
Vì \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) nên \(\cos x < 0\), suy ra \(\cos x = - \frac{4}{5}\).
\(A = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos x\cos \frac{\pi }{3} - \sin x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{ - 4 - 3\sqrt 3 }}{{10}}\).
Giải phương trình: \(2{\cos ^2}x - \sin 2x = 0\).
Ta có: \(2{\cos ^2}x - \sin 2x = 0\)\( \Leftrightarrow 2\cos x(\cos x - \sin x) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \cos x\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
a) \(O\) là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {OMI} \right)\).
Trong mp \(\left( {SBC} \right),\) gọi \(N\) là giao điểm của \(IM\) và \(SC\).
\(\left\{ \begin{array}{l}N \in IM,IM \subset (OMI)\\N \in SC,SC \subset (SAC)\end{array} \right.\)
Nên \(N\) là điểm chung thứ 2 của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {OMI} \right)\).
Vậy giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {OMI} \right)\) là \(ON.\)
b) Trong mp \(\left( {SAC} \right),\) gọi \(P\) là giao điểm của \(ON\) và \(SA\).
Đường thẳng \(SA\) cắt đường thẳng \(ON\) nằm trong mp \(\left( {OMI} \right)\) tại \(P\) nên \(P\) là giao điểm cần tìm .
