Bộ 11 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023-2024) có đáp án - Đề 11
26 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (4,0 điểm)
Đổi số đo của góc \(\frac{\pi }{{18}}rad\) sang đơn vị độ, phút, giây.
\[{9^0}.\]
\({20^0}.\)
\({5^0}.\)
\({10^0}.\)
Chọn D
Ta có
\(\frac{5}{{13}}.\)
\( - \frac{5}{{13}}.\)
\(\frac{1}{{13}}.\)
\( - \frac{1}{{13}}.\)
Chọn B
Ta có \({180^0} < \alpha < {270^0}\) suy ra \(\cos \alpha < 0\). Do đó \(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{ - 12}}{{13}}} \right)}^2}} = - \frac{5}{{13}}\).
\(\cos 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha .\)
\(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1.\)
\(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha .\)
\(\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha .\)
Chọn A
\(\frac{7}{9}.\)
\( - \frac{3}{{11}}.\)
\( - \frac{3}{7}.\)
\(\frac{9}{7}.\)
Chọn B
\(\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}} = \frac{{\frac{1}{3} - \frac{2}{3}}}{{1 + \frac{1}{3}.\frac{2}{3}}} = \frac{{ - 3}}{{11}}\).
\[A = \tan \alpha .\]
\[A = \tan 2\alpha .\]
\[A = \cot \alpha .\]
\[A = \cot 2\alpha .\]
Chọn C
\(A = \frac{{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha }}{{\sin 2\alpha + \sin \alpha }} = \frac{{2{{\cos }^2}\alpha + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha .\cos \alpha + \sin \alpha }} = \frac{{\cos \alpha \left( {2\cos \alpha + 1} \right)}}{{\sin \alpha \left( {2\cos \alpha + 1} \right)}} = \cot \alpha \).
\[x \ne k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\].
\[x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\,\,(k \in \mathbb{Z})\].
\[x \ne \frac{{k\pi }}{3}\,\,(k \in \mathbb{Z})\].
\[x \ne \frac{{k2\pi }}{3}\,\,(k \in \mathbb{Z})\].
Chọn C
Hàm số xác định \[ \Leftrightarrow \sin 3x \ne 0 \Leftrightarrow 3x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{3}\,\,(k \in \mathbb{Z})\].
\[M = 2,\,\,m = 1.\]
\[M = 2,\,\,m = - 1.\]
\[M = - 1,\,\,m = - 2.\]
\[M = 1,\,\,m = - 2.\]
Chọn D
Ta có \(0 \le 3{\sin ^2}x \le 3 \Leftrightarrow 0 \ge - 3{\sin ^2}x \ge - 3 \Leftrightarrow 1 \ge 1 - 3{\sin ^2}x \ge - 2\).
Vậy \[M = 1,\,\,m = - 2.\]
\(\left( { - \,\sqrt 2 ; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\)
\(\left( { - \frac{1}{2};0} \right).\)
\(\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right).\)
\(\left( { - \,\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\)
Chọn A
\(f\left( x \right) = 3{\cot ^2}2x - \frac{{\sqrt 3 \left( {1 - {{\tan }^2}x} \right)}}{{\tan x}} = 3{\cot ^2}2x - \frac{{\sqrt 3 \left( {1 - \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}\), \(\sin x \ne 0;\cos x \ne 0\).
\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3{\cot ^2}2x - \frac{{\sqrt 3 \left( {1 - \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = 3{\cot ^2}2x - \frac{{2\sqrt 3 \cos 2x}}{{2\sin x.\cos x}} = 3{\cot ^2}x - 2\sqrt 3 \cot 2x\).
Đặt \(\cot 2x = t\), \(t \in \mathbb{R}\), hàm số trở thành \( \Leftrightarrow f\left( t \right) = 3{t^2} - 2\sqrt 3 t\).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) là \( - 1\). Do đó chọn A.
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Chọn A
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Chọn C
\(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Chọn B
\(\tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(2n\).
\(2n + 2\).
\(2n + 1\).
\(n + 1\).
Ta có \({u_n} = 2n - 1\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Suy ra \({u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right) - 1 = 2n + 1\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
\({u_n} = 2{n^2} + 3\).
\({u_n} = 2n + 3\).
\({u_n} = \frac{{n + 7}}{{n + 6}}\).
\({u_n} = \sin n\).
Chọn C
Ta có \({u_n} = \frac{{n + 7}}{{n + 6}} = 1 + \frac{1}{{n + 6}}\). Suy ra \({u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{n + 7}}\).
Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \frac{1}{{n + 6}} - \left( {1 + \frac{1}{{n + 7}}} \right) = \frac{{ - 1}}{{\left( {n + 6} \right)\left( {n + 7} \right)}} < 0\); \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 7}}{{n + 6}}\) là dãy số giảm.
\(M \in (P).\)
\(M \in a.\)
\(a \in (P).\)
\(b \subset (P).\)
Chọn C
\(SD.\)
\(SO.\)
\(SB.\)
\(SA.\)
Chọn B
![Câu 15: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \[ABCD\] là hình bình hành. Gọi \(O\)là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là A. \(SD.\) B. \(SO.\) C. \(SB.\) D. \(SA.\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/33-1764262468.png)
Hiển nhiên \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
Ta có \(O = AC \cap BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
Do đó \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).
\[MN//AB.\]
\[MN//BC.\]
\[MN//AC.\]
\[MN//DB.\]
Chọn B
Vì \(M\) là trung điểm của \(SA\), \(N\) là trung điểm của \(SD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\). Do đó \(MN{\rm{ // }}AD\). Lại có \(BC{\rm{ // }}AD\)(do \(ABCD\) là hình bình hành).
Nên \(MN{\rm{ // }}BC\)(tính chất bắc cầu).
Đường thẳng \[Kx\], với \[Kx\] song song với \[BD\].
Đường thẳng \[Kx\], với \[Kx\] song song với \[AC\].
Đường thẳng \[Kx\], với \[Kx\] song song với \[CD\].
Đường thẳng \[Kx\], với \[Kx\] song song với \[BC\].
Chọn D
Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do đó \(MN{\rm{ // }}BC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}K \in \left( {MNK} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\MN{\rm{ // }}BC{\rm{ }}\\MN \subset \left( {MNK} \right)\\BC \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MNK} \right) \cap \left( {BCD} \right) = Kx{\rm{ // }}MN{\rm{ // }}BC{\rm{ }}\).
Tìm giao điểm \[I\] của đường thẳng \[AM\] và \[mp\left( {SBD} \right)\].
\(I = AM \cap SO\).
\(I = AM \cap SD\).
\(I = AM \cap BD.\)
\(I = AM \cap SB\).
Chọn A
Chọn mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) chứa \[AM\]. Tìm giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
Ta có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
\(O = AC \cap BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
Do đó \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).
Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \[I\] là giao điểm của \[AM\] và \(SO\). Mà \(SO \subset \left( {SBD} \right)\). Nên \[I\] là giao điểm của \[AM\] và \(\left( {SBD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang như hình vẽ bên.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\[SA\] và \[BC\] chéo nhau.
\[SB\] và \[BD\] cắt nhau.
\[SA\] và \[BC\] cắt nhau.
\[AD\] và \[BC\] song song.
Chọn C
\[SA\] và \[BC\]không đồng phẳng nên \[SA\] và \[BC\]chéo nhau. Do đó phương án A đúng, phương án C sai.
\[SB \cap BD = B\]. Nên \(SB\) và \[BD\] cắt nhau. Do đó phương án B đúng.
Đáy \(ABCD\) là hình thang nên\[AD\] và \[BC\] song song. Do đó phương án D đúng.
\(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {ABD} \right)\).
\(\left( {BCD} \right)\).
\(\left( {ACD} \right)\).
Chọn C
![Chọn C \[SA\] và \[BC\]không đồng phẳng n (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/38-1764263251.png)
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\). Vì \[G\] là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\frac{{AG}}{{AN}} = \frac{2}{3}\).
Vì điểm \(M\) nằm trên cạnh \(AD\) sao cho \(AM = 2MD\) nên \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{2}{3}\).
Do đó \(\frac{{AG}}{{AN}} = \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{2}{3}\). Suy ra \(GM{\rm{ // }}DN\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}GM{\rm{ // }}DN{\rm{ }}\\GM \not\subset \left( {BCD} \right)\\DN \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow GM{\rm{// }}\left( {BCD} \right)\).
PHẦN II. TỰ LUẬN (6,0 điểm)
(1,0 điểm). Cho \[\cos \alpha = - \frac{4}{5}\] với \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \]. Tính \[\sin \alpha \,\,,\,\,\cos \left( {\alpha \, + \frac{\pi }{3}} \right)\].
Lời giải
Cho \[\cos \alpha = - \frac{4}{5}\] với \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \]. Tính \[\sin \alpha \,\,,\,\,\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] Ta có: \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \,\, \Rightarrow \,\,\sin \alpha > 0\] Vậy \[\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \frac{3}{5}\] Cách trình bày khác Ta có \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = \frac{9}{{25}} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{3}{5}\] |
Vì \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \,\, \Rightarrow \,\,\sin \alpha = \frac{3}{5}\]Vì \[\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\,\, \Rightarrow \,\,\cos \alpha = - \frac{3}{5}\]
\[\begin{array}{l}\cos (\alpha + \frac{\pi }{3}) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{{3\,\,\,}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( { - \frac{4}{5}} \right).\frac{1}{2} - \frac{3}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = - \frac{{4 + 3\sqrt 3 }}{{10}}\end{array}\]
( 1,5 điểm).
1) Tìm tập xác định của hàm số \[y = \frac{{\cos x}}{{\sin (x + \frac{\pi }{4}) - 1}}\].
2) Xét tính chẵn lẻ của hàm số \[y = x.\sin 2x\].
1) Tìm tập xác định của hàm số \[y = \frac{{\cos x}}{{\sin (x + \frac{\pi }{4}) - 1}}\].
Hàm số xác định khi \[\sin (x + \frac{\pi }{4}) - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4}) \ne 1\] \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\\ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\end{array}\] |
TXD: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\]
2) Xét tính chẵn lẻ của hàm số \[y = x.\sin 2x\].
TXD: \[D = \mathbb{R}\] \[\forall x \in D\, \Rightarrow \, - x \in D\] Đặt \[f(x) = x.\sin 2x\] Ta có: \[f( - x) = ( - x).\sin \left( {2( - x)} \right) = x.\sin 2x = f(x),\forall x \in D\] |
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn
(1,0 điểm).Giải các phương trình lượng giác sau:
a) \(\cot 2x = \sqrt 3 \). b) \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\).
a) \(\cot 2x = \sqrt 3 \) |
\[ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{6} + k\pi \] |
\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]. |
b) \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\). |
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\) |
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) |
(0,5 điểm). Xét tính bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{3n - 2}}{{n + 1}}\).
Ta có \({u_n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) (1) |
\({u_n} = \frac{{3n - 2}}{{n + 1}} = 3 - \frac{5}{{n + 3}} < 3,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn. |
(1,5 điểm). Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành. Gọi \[N\] là trung điểm của cạnh \[BC\].
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \[(SAD)\] và mặt phẳng \[(SBC)\].
b) Tìm giao điểm của đường thẳng \[AN\]và mặt phẳng \[(SCD)\].
a) \(\begin{array}{l} \bullet S \in (SAD) \cap (SBC)\\\left. \begin{array}{l}AD \subset (SAD)\\BC \subset (SBC)\\AD//BC\,\,(gt)\\(SAD) \cap (SBC) = Sx\end{array} \right\} \Rightarrow Sx//AD//BC\end{array}\) |
b) Trong (ABCD), gọi \(I = AN \cap CD\) Suy ra\(\left\{ \begin{array}{l}I \in AN\\I \in CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\) Vậy \(I = AN \cap (SCD)\) |
(0,5điểm). Cho tam giác \[ABC\]thỏa \[{\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2\]. Chứng minh tam giác \[ABC\] là tam giác vuông.
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2A}}{2} + \frac{{1 - \cos 2B}}{2} + {\sin ^2}C = 2\\ \Leftrightarrow 2 - \cos 2A - \cos 2B + 2{\sin ^2}C = 4\\ \Leftrightarrow \cos 2A + \cos 2B + 2{\cos ^2}C = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos (A + B).\cos (A - B) + 2{\cos ^2}C = 0\\ \Leftrightarrow - 2\cos C.\cos (A - B) + 2{\cos ^2}C = 0\\ \Leftrightarrow \cos C.[ - \cos (A - B) + \cos C] = 0\\ \Leftrightarrow \cos C.[\cos (A - B) + \cos (A + B)] = 0\\ \Leftrightarrow \cos C.\cos A.\cos B = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos A = 0\\\cos B = 0\\\cos C = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = \frac{\pi }{2}\\B = \frac{\pi }{2}\\C = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\end{array}\]
