Bộ 11 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023-2024) có đáp án - Đề 5
24 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm) Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\cos \frac{{3\pi }}{5} + \cos \frac{{2\pi }}{5} = 2\cos \frac{{3\pi }}{5}\cos \frac{\pi }{{10}}\)
\(\cos \frac{{3\pi }}{5} + \cos \frac{{2\pi }}{5} = - 2\cos \frac{{3\pi }}{5}\cos \frac{\pi }{{10}}.\)
\(\cos \frac{{3\pi }}{5} + \cos \frac{{2\pi }}{5} = 2\cos \frac{{3\pi }}{5}\sin \frac{\pi }{{10}}.\)
\(\cos \frac{{3\pi }}{5} + \cos \frac{{2\pi }}{5} = 2\sin \frac{{3\pi }}{5}\cos \frac{\pi }{{10}}.\)
Chọn A
Áp dụng công thức tổng thành tích.
Đồ thị bên là của hàm số nào trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\)?![Câu 2: Đồ thị bên là của hàm số nào trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\)? A. \(y = \tan x.\) B. \(y = \sin x.\) C. \(y = \cot x.\) D. \(y = \cos x.\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-4104-1764241716.png)
\(y = \tan x.\)
\(y = \sin x.\)
\(y = \cot x.\)
\(y = \cos x.\)
Chọn B
Đồ thị đi qua điểm \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( {\frac{\pi }{2};1} \right)\) nên chọn B.
Đổi số đo của góc \(\frac{{7\pi }}{{15}}\) sang độ, kết quả là
\({0^0}1'\).
\({84^0}\).
\({1^0}2'\).
\({72^0}\).
Chọn B
\(\frac{{7\pi }}{{15}} = \frac{{{{7.180}^0}}}{{15}} = {84^0}\)
Cho hình chóp \(SABCD\)có hình biểu diễn như hình bên. Giao tuyến của 2 mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\)và \(\left( {SIC} \right)\) là
\(IC\).
\(AC\).
\(SI\).
\(SA\).
Chọn C
Ta có:
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{I \in \left( {SIC} \right)}\\{I \in AB,AB \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow I \in \left( {SIC} \right) \cap \left( {SAB} \right)\) (1)
Mà :\(\,S \in \left( {SIC} \right) \cap \left( {SAB} \right)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(SI = \left( {SIC} \right) \cap \left( {SAB} \right)\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 1024\), công bội \(q = \frac{1}{2}\). Tính \({u_8}\)
\({u_8} = 16.\)
\({u_8} = 32.\)
\({u_8} = 64.\)
\({u_8} = 8.\)
Chọn D
\({u_8} = {u_1}.{q^7} = 1024.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^7} = 8.\)
Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?
\(\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1;}&{ - \frac{1}{2};}&{ - \frac{1}{3};}&{ - \frac{1}{4}}\end{array}.\)
\(\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1;}&{\frac{1}{2};}&{ - \frac{1}{3};}&{\frac{1}{4}}\end{array}.\)
\(\begin{array}{*{20}{c}}{1;}&{\frac{1}{2};}&{\frac{1}{3};}&{\frac{1}{4}}\end{array}.\)
\(\begin{array}{*{20}{c}}{1;}&{ - \frac{1}{2};}&{\frac{1}{3};}&{ - \frac{1}{4}}\end{array}.\)
Chọn C
Ta có: \(1 > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4}\) nên chọn C.
Cho cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = - 3003\), công sai \(d = 4\). Tính \({u_{2023}}\)
\({u_{2023}} = 5089.\)
\({u_{2023}} = 5062.\)
\({u_{2023}} = 5066.\)
\({u_{2023}} = 5085.\)
Chọn D
\({u_{2023}} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 3003 + \left( {2023 - 1} \right).4 = 5085.\)
Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_5} - {u_7} + 6 = 0\) và \({u_4} + 2{u_6} - 36 = 0\)
\({u_1} = 1;d = - 3.\)
\({u_1} = - \frac{{73}}{5};d = \frac{3}{5}.\)
\({u_1} = - 1;d = 3.\)
\({u_1} = \frac{{73}}{5};d = - \frac{3}{5}.\)
Chọn C
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} - {u_7} + 6 = 0\\{u_4} + 2{u_6} - 36 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d - {u_1} - 6d + 6 = 0\\{u_1} + 3d + 2{u_1} + 10d - 36 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\{u_1} = - 1\end{array} \right.\).
Cho hình chóp \(SABCD\)có \(ABCD\)là hình bình hành, \(O\) là giao điểm của\(AC\) và \(BD\). Gọi\(M\), \(N\)lần lượt là trung điểm của \(SB\)và\(AD\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(ON\parallel BC\).
\(MO{\rm{ }}//{\rm{ }}SD\).
\(NB\parallel OD\).
\(MN\parallel BD\).
Chọn B
\[MO//SD\] vì \[MO\] là đường trung bình của tam giác \[SBD\].
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}}&{}&{}&{}\end{array}}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( {n \ge 1} \right)}\end{array}}\end{array}} \right.\]. Tính \({u_2}\)
\({u_2} = 8.\)
\({u_2} = 6.\)
\({u_2} = 7.\)
\({u_2} = 5.\)
Chọn D
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}}&{}&{}&{}\end{array}}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( {n \ge 1} \right)}\end{array}}\end{array}} \right. \Rightarrow \]\({u_2} = {u_1} + 3.1 = 5\).
Biết rằng \(\sin \frac{{19\pi }}{{24}}\cos \frac{{37\pi }}{{24}} = \frac{{\sqrt 3- \sqrt b }}{4}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(b \in \left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\).
\(b \in \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).
\(b \in \left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\).
\(b \in \left( {\frac{7}{2};\frac{9}{2}} \right)\).
Chọn A
\[\sin \frac{{19\pi }}{{24}}\cos \frac{{37\pi }}{{24}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{7\pi }}{3} - \sin \frac{{3\pi }}{4}} \right] = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{4}\]
Suy ra \(b = 2 \in \left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\).
Phương trình \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}} \right]\)?
0.
1.
2.
3.
Chọn B
\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} + x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}} \right]\, \Rightarrow x \in \left\{ 0 \right\}\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 3\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}}&{}&{}&{}\end{array}}\\{{u_{n + 1}} = 2{u_n}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( {n \ge 1} \right)}\end{array}}\end{array}} \right.\]. Tính tổng 7 số hạng đầu của cấp số nhân.
728.
381.
189.
2186.
Chọn B
Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 3\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}}&{}&{}&{}\end{array}}\\{{u_{n + 1}} = 2{u_n}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( {n \ge 1} \right)}\end{array}}\end{array}} \right.\]nên \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = 2\end{array} \right.\].
Vậy \({S_7} = {u_1}.\frac{{1 - {q^7}}}{{1 - q}} = 3.\frac{{1 - {2^7}}}{{1 - 2}} = 381\).
Cho hình chóp \(SABCD\)có \(ABCD\) là hình bình hành (Hình bên). Cặp đường thẳng nào sau đây song song.
\(BC\)và\(DA\).
\(AC\)và \(SB\).
\(BC\)và\(SD\).
\(AC\)và \(SD\).
Chọn A
Cho \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\sin \alpha = - \frac{1}{2}\). Tính \(P = \sin 2\alpha \)
\(P = - 1.\)
\(P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(P = - \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\)
\(P = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn D
\(P = \sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha \)\( = 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Cho hình chóp \(SABCD\)có \(ABCD\) là hình thang, đáy lớn\(CD\). \(E,F\)lần lượt là trung điểm của \(SC\) và \(SD\). Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABEF} \right)\)và \(\left( {SCD} \right)\)có tính chất:
Song song với \(BC\).
Song song với \(AD\).
Song song với\(AB\).
Cắt với \(BC\).
Chọn C
\[\left\{ \begin{array}{l}E \in \left( {ABEF} \right)\\E \in SC \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {ABEF} \right) \cap \left( {SCD} \right)\left( 1 \right)\]
\[\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {ABEF} \right)\\F \in SD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {ABEF} \right) \cap \left( {SCD} \right)\left( 2 \right)\]
\[\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow EF = \left( {ABEF} \right) \cap \left( {SCD} \right)\]
\(E,F\)lần lượt là trung điểm của \(SC\) và \(SD\)\[ \Rightarrow EF\]là đường trung bình của \[\Delta SCD\]\[ \Rightarrow EF{\rm{//}}CD\]
Mà \[AB{\rm{//}}CD\]\[ \Rightarrow EF{\rm{//}}\,AB\]
Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \), \(\sin \alpha = \frac{2}{7}\). Tính \(P = \sin \alpha + \cos \alpha \)
\(P = \frac{{2 - 2\sqrt {11} }}{7}.\)
\(P = \frac{{2 - 3\sqrt 5 }}{7}\).
\(P = \frac{{2 + 3\sqrt 5 }}{7}.\)
\(P = \frac{{2 + 2\sqrt {11} }}{7}.\)
Chọn B
\({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \)\( = 1 - \frac{4}{{49}} = \frac{{45}}{{49}}\)\( \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{3\sqrt 5 }}{7}\)
Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)\( \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{3\sqrt 5 }}{7}\)
\(P = \sin \alpha + \cos \alpha \)\( = \frac{2}{7} + \left( { - \frac{{3\sqrt 5 }}{7}} \right) = \frac{{2 - 3\sqrt 5 }}{7}\)
Cho hình chóp \(SABCD\)có hình biểu diễn như hình bên. Giao điểm của \(AD\)và mặt phẳng (SKB) là giao điểm của hai đường thẳng nào sau đây?
\(AD\)và \(KB\).
CD và \(SK\).
\(AD\) và\(SB\).
\(AD\) và \(SK\).
Chọn A
Gọi \(F = AD \cap BK\)trong \(\left( {BCD} \right)\)
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F \in AD\\F \in BK \subset \left( {SBK} \right)\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow F = AD \cap \left( {SBK} \right)\]
Vậy: giao điểm của \(AD\)và mặt phẳng (SKB) là giao điểm của hai đường thẳng \(AD\) và \(KB\).
Hình nào sau đây là hình tứ diện?
Chọn D
Trong không gian, cho hai đường thẳng \(a\)và \(b\) phân biệt. Khẳng định nào sau đây không đúng?
Hai đường thẳng cắt nhau thì có một điểm chung.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song.
Hai đường thẳng song song thì không có điểm chung.
Chọn C
Phương trình \(\tan x = 1\)có tập nghiệm là
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Chọn D
\(\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1 điểm) Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có dạng khai triển \(\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1;}&{4;}&{9;}&{...}\end{array}\)
a) Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
b) Tính tổng \(9\) số hạng đầu của cấp số cộng.
a) Số hạng đầu: \({u_1} = - 1\).
Công sai: \(d = 4 - ( - 1) = 5.\)
b) Tổng 9 số hạng đầu: \({S_9} = \frac{{9\left( {2.\left( { - 1} \right) + 8.5} \right)}}{2} = 171\)
(1 điểm) Tại một thành phố công nghiệp, số miligam của các chất ô nhiễm trong một mét khối không khí trong tháng \(3\) được xác định bởi công thức \(y = 45 - 10\sin \left( {\frac{\pi }{{24}}t + \frac{\pi }{6}} \right)\), trong đó \(t\)là ngày trong tháng. Hỏi, ngày nào trong tháng mà số miligam của chất ô nhiễm trong một mét khối không khí bằng 35mg?
Ta có:
\(\begin{array}{l}35 = 45 - 10\sin \left( {\frac{\pi }{{24}}t + \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow 45 - 10\sin \left( {\frac{\pi }{{24}}t + \frac{\pi }{6}} \right) = 35\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{24}}t + \frac{\pi }{6}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{24}}t + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow t = 8 + k48,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Do tháng 3 có 31 ngày nên \(1 \le t \le 31\)
\( \Leftrightarrow 1 \le 8 + k48 \le 31 \Leftrightarrow - \frac{7}{{48}} \le k \le \frac{{23}}{{48}}\), \(k \in \mathbb{Z}\)
\( \Rightarrow k = 0 \Rightarrow t = 8\)
Vậy ngày 8/3 thành phố có số miligam của chất ô nhiễm trong một mét khối không khí bằng 35mg
(1 điểm) Cho tứ diện\(ABCD\).\(M\), \(N\)lần lượt là trung điểm của \(AC\)và \(BC\). \(P\)là điểm trên cạnh \(BD\)sao cho\(BP > DP\). Tìm giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\).
Tìm giao tuyến của (MNP) và (ACD).
\(\begin{array}{l}\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in \left( {MNP} \right)}\\{M \in AC,AC \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow M \in \left( {ACD} \right)}\end{array}} \right\}\\ \Rightarrow M \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {ACD} \right)\end{array}\)
\(NP \cap CD = E\)
\(\begin{array}{l}\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{E \in NP,NP \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow E \in \left( {MNP} \right)}\\{E \in CD,CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow E \in \left( {ACD} \right)}\end{array}} \right\}\\ \Rightarrow E \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {ACD} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \left( {MNP} \right) \cap \left( {ACD} \right) = ME\)
