Bộ 11 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023-2024) có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \[\sin \alpha = \frac{2}{3}\] và \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \]. Tính \[P = \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right).\]
\[P = \frac{{ - \sqrt 5 + \sqrt 3 }}{6}.\]
\[P = \frac{{ - \sqrt 5 + 2\sqrt 3 }}{6}.\]
\[P = \frac{{ - \sqrt 5 - 2\sqrt 3 }}{6}.\]
\[P = \frac{{\sqrt 5 - 2\sqrt 3 }}{6}.\]
Chọn B
Có \[\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\]
\[\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right) = c{\rm{os}}\alpha .c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{ - \sqrt 5 + 2\sqrt 3 }}{6}.\]
Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi hệ thức truy hồi\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = 5{u_{n - 1}} - 1\end{array} \right.\;\;\;\left( {n \ge 2} \right)\). Giá trị của \({u_3}\) bằng
\(42.\)
\(20.\)
\(44.\)
\(35.\)
Chọn C
Thay \({u_2} = 5{u_1} - 1 = 9;\,{u_3} = 5{u_2} - 1 = 44\)
Mệnh đề nào sau đây là sai?
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
\(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
\(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \)
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
Chọn D
Đáp án D sai do \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \)
Phương trình \({\rm{tan}}x = \sqrt 3 \) có nghiệm là
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in Z\)
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z\)
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z\)
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\)
Chọn A
\({\rm{tan}}x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in Z\)
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = \sin x.\)
\(y = \cot x.\)
\(y = \tan x.\)
\(y = \cos x.\)
Chọn D
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm chẵn.
Điều kiện có nghiệm của phương trình \(\cos x = m\) là
\(\left| m \right| \ge 1.\)
\(\left| m \right| < 1.\)
\(\left| m \right| \le 1.\)
\(\left| m \right| > 1.\)
Chọn C
Vì \( - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow \left| m \right| < 1.\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 3n - 1\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số là
\(2;5;7\).
\(2;5;8\).
\( - 1;2;5\).
\(2;6;10\)
Chọn B
\(\begin{array}{l}{u_1} = 3.1 - 1 = 2\\{u_2} = 3.2 - 1 = 5\\{u_3} = 3.3 - 1 = 9\end{array}\)
Phương trình \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{2}\) có nghiệm \(x = a + k\pi ;\,x = b + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).Tính \(a + b\) bằng
\( - \frac{{2\pi }}{3}\)
\(\frac{\pi }{3}\)
\( - \frac{\pi }{3}\)
\(\frac{{4\pi }}{3}\)
Chọn C
\(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{2}\)
\(\left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\)
Vậy \(a + b = - \frac{\pi }{3}{\rm{.}}\)
Khi quy đổi \({30^o}\) ra đơn vị radian, ta được kết quả là
\(\frac{\pi }{2}\,{\rm{.}}\)
\(\frac{\pi }{3}{\rm{.}}\)
\(\frac{\pi }{6}{\rm{.}}\)
\(\frac{\pi }{4}{\rm{.}}\)
Chọn C
\({30^o} = \frac{{30\pi }}{{180}} = \frac{\pi }{6}(rad)\)
Phương trình \(\sin x = \sin \alpha \)có công thức nghiệm là:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.;\,\,k \in \mathbb{Z}\)
\(\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.;\,\,k \in \mathbb{Z}\)
\(\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = - \alpha + k\pi \end{array} \right.;\,\,k \in \mathbb{Z}\)
\(\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.;\,\,k \in \mathbb{Z}\)
Chọn B
\(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.;\,\,k \in \mathbb{Z}\)
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].
Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].
Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì \[\pi \].
Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì \[\frac{\pi }{2}\].
Chọn A
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].
Cho \[{\rm{cos}}\alpha \,\,{\rm{ = }}\,\,\frac{1}{4}\] với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Tính \[{\rm{cos}}2\alpha \].
\[{\rm{cos}}2\alpha = \frac{1}{2}\].
\[{\rm{cos}}2\alpha = \frac{1}{3}\].
\[{\rm{cos}}2\alpha = - \frac{7}{8}\].
\[{\rm{cos}}2\alpha = - \frac{5}{8}\].
Chọn C
\[{\rm{cos}}2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = \frac{1}{3}\]
Tập xác định hàm số \(y = \cot (\frac{x}{2} + \frac{{2\pi }}{3}) + 2023\) là:
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{{4\pi }}{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{ - \pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Chọn A
Hàm số\(y = \cot (\frac{x}{2} + \frac{{2\pi }}{3}) + 2023\) xác định khi \(\cos (\frac{x}{2} + \frac{{2\pi }}{3}) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi .\)
Trên đường tròn lượng giác gốc \(A\) cho các góc lượng giác có số đo như sau:
I.\(\frac{\pi }{4}\) II. \(\frac{{13\pi }}{4}\) III. \( - \frac{{15\pi }}{4}\) IV. \( - \frac{{79\pi }}{4}\)\(\)
Hỏi các góc lượng giác nào có điểm cuối trùng nhau?
Chỉ I và II.
Chỉ I,III và IV.
Chỉ I, II và III.
Chỉ I, II và IV.
Chọn B
\( - \frac{{15\pi }}{4} = - 4\pi + \frac{\pi }{4}\)
\( - \frac{{79\pi }}{4} = - 20 + \frac{\pi }{4}\)
Trong các công thức dưới đây, công thức nào đúng?
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\).
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a.\sin b + \cos a.\cos b\).
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b\).
\(\cos \left( {a - b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b\).
Chọn A
Do công thức cộng
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\)
Trên đường tròn lượng giác, cho điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\). Góc lượng giác \(\left( {OA,\,OM} \right) = \alpha \). Chọn khẳng định đúng?
\[\sin \alpha = \frac{{{x_M}}}{{{y_M}}}\]
\(\sin \alpha = {y_M}\)
\(\sin \alpha = {x_M}\)
\[\sin \alpha = \frac{{{y_M}}}{{{x_M}}}\]
Chọn B
Xác định tung độ điểm M bằng cách hạ đường thẳng vuông góc đến trục 0y.
Cho hàm số \(y = f(x)\)có đồ thị như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hàm số nghịch biến trên \[\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right).\]
Hàm số đồng biến trên \[\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right).\]
Hàm số nghịch biến trên \[\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right).\]
Hàm số đồng biến trên \[\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \pi } \right).\]
Chọn B
Do đồ thị hàm số y = cosx có đồ thị như hình vẽ và chiều từ trái sang phải trên \[\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\] đồ thị đi lên thể hiện tính đồng biến của hàm số đó.
Trong các công thức dưới đây, công thức nào sai?
\(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}.\)
\(\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}.\)
\(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}.\)
\(\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}.\)
Chọn C
Do công thức biến đổi tổng thành tích nên \(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}{\rm{cos}}\frac{{a - b}}{2}.\)
Cho dãy số \[1,\,\frac{1}{4},\,\frac{1}{{16}},\,\frac{1}{{64}},\,...\] (số hạng sau bằng một phần tư số hạng liền trước nó). Công thức tổngquát của dãy số đã cho là
\({u_n} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n}\).
\({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{4^{n - 1}}}}\).
\({u_n} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{4n}}\).
Chọn C
Thay \(n = 1;\,{u_1} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{1 - 1}} = 1\)
\(n = 2;\,{u_2} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{2 - 1}} = \frac{1}{4}\)
\(n = 3;\,{u_1} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{3 - 1}} = \frac{1}{{16}}\)
\(n = 4;\,{u_1} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{4 - 1}} = \frac{1}{{64}}\)
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]cho bởi số hạng tổng quát \[{u_n}\] sau, dãy số nào là dãy số tăng?
\[{u_n} = {( - 1)^n}.2\]
\[{u_n} = \frac{{n + 2}}{{4n + 1}}.\]
\[{u_n} = \frac{1}{{n + 1}}.\]
\[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}.\]
Chọn D
Do \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}.\]
Điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\), cách viết nào dưới đây là đúng
\(A \in \left( P \right)\).
\(A \notin \left( P \right)\).
\(A \subset \left( P \right)\).
\(\left( P \right) \in A\).
Chọn A
Do kí hiệu \(A \in \left( P \right)\)
Trong không gian, cho 3 điểm phân biệt không thẳng hàng. Khi đó có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm đó?
1
2
0
Vô số
Chọn A
Trong không gian, cho 3 điểm phân biệt không thẳng hàng chỉ có duy nhất một mặt phẳng.
Cho hai đường thẳng \[a\] và \[b\] trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa \[a\] và \[b\]?
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
Chọn D
Hai đường thẳng \[a\] và \[b\] trong không gian có các vị tría tương đối là: song song, trùng nhau, cắt nhau và chéo nhau.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
\(1;3;5;7\)
\(1;3;6; - 8.\)
\(1;2;5;6.\).
\(1;2;4;6\).
Chọn A
Vì \[{u_{n + 1}} - {u_n} = 2\, \Rightarrow 1;3;5;7\]là một cấp số cộng .
Trong không gian, cho \(4\) điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳngphân biệt từ các điểm đã cho?
\(3.\)
\(2.\)
\(6.\)
\(4.\)
Chọn D
Qua 3 điểm không thẳng hàng cho ta cách xác định 1 mặt phẳng nên số mặt phẳng sẽ được lấy từ \[C_4^3 = 4.\]
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3\) và công bội \(q = 2\). Giá trị của \({u_7}\) bằng
\(15\)
\(384\)
\(192.\)
\(128.\)
Chọn C
\({u_7} = {u_1}{q^6} = 192.\)
Cho cấp số cộng \(({u_n})\) với \({u_1} = - 4\) và công sai \(d = 3\). Giá trị của \({u_9}\) bằng
\(20\).
\(25\).
\(30\).
\(23\).
Lời giải
Chọn A
\({u_9} = {u_1} + 8d = 20.\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q.\) Công thức tính số hạng tổng quát \({u_n}\)là
\[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\,(n \ge 2)\].
\[{u_n} = {q^{n\,}}\,(n \ge 2)\].
\[{u_n} = {u_1}.{q^n}\,(n \ge 2)\].
\[{u_n} = {u_1}.{q^{n + 1}}\,(n \ge 2)\].
Chọn A
\[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\,(n \ge 2)\]
Dãy số nào sau đây là một cấp số nhân?
\[2,4,\,8,\,16,\,32.\]
\[4,\,5,\,7,\,10,\,17.\]
\[4,\,6,\,8,\,10,\,12.\]
\[4,\,5,\,6,\,7,\,8.\]
Chọn A
\[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\,(n \ge 2)\] nên dãy\[2,4,\,8,\,16,\,32\] là cấp số nhân có q=2.
Hình chóp S.ABCD có số mặt bên là
\(4\).
\(5\).
\(3\).
\(6\).
Chọn A
Các mặt bên là (SAB); (SAD); (SBC); (SCD).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d\). Công thức tính số hạng tổng quát \({u_n}\)là
\[{u_n} = {u_1} + nd\].
\[{u_n} = {u_1} - (n - 1)d\].
\[{u_n} = {u_1} + d\].
\[{u_n} = {u_1} + (n - 1)d\].
Chọn D
\[{u_n} = {u_1} + (n - 1)d\]
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
Hai đường thẳng không nằm trên cùng một mặt phẳng thì chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song hoặc vuông góc.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Chọn A
Hai đường thẳng không nằm trên cùng một mặt phẳng thì chéo nhau.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} - {u_3} = 84\\{u_4} + {u_2} = 70\end{array} \right..\) Chọn khẳng định đúng?
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 7\\q = 3\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\q = 3\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\q = 2\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 7\\q = 2\end{array} \right..\)
Chọn D
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d - \left( {{u_1} + 2d} \right) = 84\\{u_1} + 3d + {u_1} + d = 70\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 7\\q = 2\end{array} \right..\)
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] với \({u_3} = 5\) và \({u_8} = 25\). Công sai \(d\)của cấp số cộng đã cho bằng
\(d = 4\).
\(d = 6\).
\(d = 5\).
\(d = 7\).
Chọn A
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 5\\{u_1} + 7d = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 3\\d = 4\end{array} \right..\)
Hình tứ diện ABCD có số cạnh là
\(5\) cạnh.
\(10\) cạnh.
\(6\) cạnh.
\(9\) cạnh.
Chọn C
Hình tứ diện ABCD có số cạnh là 10 vì \(C_5^2 = 10\).
PHẦN II. TỰLUẬN (3,0 điểm)
Tìm tập xác định của hàm số.\(y = \tan (2x - \frac{\pi }{5}) + 9\).
Hàm số xác định khi: \(2x - \frac{\pi }{5} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{5} + k\pi \\ \Leftrightarrow 2x \ne \frac{{7\pi }}{{10}} + k\pi \\ \Leftrightarrow x \ne \frac{{7\pi }}{{20}} + k\frac{\pi }{2},k \in Z\end{array}\)
Tập xác định của hàm sốlà \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{7\pi }}{{20}} + k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\]
Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là \[105000\] đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá mỗi mét tăng thêm \[25000\] đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một hộ gia đình kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này và phải chi trả với số tiền \[23700000\] đồng . Hỏi cơ sở khoan giếng đã hoàn thành cho hộ gia đình trên giếng sâu bao nhiêu mét ?
Giá tiền mỗi mét khoan giếng lập thành một cấp số cộng với
\[{u_1} = 105000\] (số tiền mét khoan đầu tiên),
\[{u_2} = {u_1} + 25000\] (số tiền mét khoan thứ hai),
\[{u_3} = {u_2} + 25000 = {u_1} + 2.25000\] (số tiền mét khoan thứ ba)
…
\[{u_n} = {u_1} + (n - 1).25000\] (số tiền mét khoan thứ n),
và công sai \[d = 25000\].
Tổng chi phí cần phải thanh toán là
\[{S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\] \[ = \frac{{n\left[ {2.105000 + (n - 1).25000} \right]}}{2}\]
\[ \Leftrightarrow 23700000 = \frac{{n\left[ {2.105000 + (n - 1).25000} \right]}}{2}\]\[ \Leftrightarrow 25{n^2} + 185n - 47400 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 40\\n = \frac{{ - 237}}{5}(loai)\end{array} \right.\]
Vậy cơ sở khoan giếng đã hoàn thành cho hộ gia đình trên giếng sâu 40 mét.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD\),\(AD{\rm{//}}BC,AD < BC\). \(M\) là trung điểm cạnh\(SD\).
a) Xác định giao tuyến của \((SAB)\)và \((SCD)\)
b) Tìm giao điểm của \(SA\) và \((BMC)\)
a. \(S \in (SAB) \cap (SCD)\) (1)
Gọi \(E = AB \cap CD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E \in AB \subset (SAB)\\E \in CD \subset (SCD)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow E \in (SAB) \cap (SCD)\) ( 2 )
Từ (1) và (2) suy ra \((SAB) \cap (SCD) = SE\)
b. Gọi \(F = CM \cap SE\); \(I = SA \cap BF\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in SA\\I \in BF \subset (BMC)\end{array} \right.\)
Suy ra \(SA \cap (BMC) = I\).
