Bộ 11 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023-2024) có đáp án - Đề 8
27 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm)
Cho sđ\(\left( {Oa;Ob} \right) = \alpha \)(rad). Các góc lượng giác có tia đầu \(Oa\) và tia cuối \(Ob\) đều có số đo dạng nào sau đây?
\(\alpha \,\, + \,\,k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\alpha \,\, + \,\,k{360^0},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\alpha \,\, + \,\,k{180^0},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\alpha \,\, + \,\,k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn A
Giá trị \(\cot {75^0}\) bằng:
\(\frac{1}{{2\, + \sqrt 3 }}\).
\(2\, + \,\sqrt 3 \).
\(\sqrt 3 \).
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Chọn A
Bấm máy \(\tan {75^0} = 2 + \sqrt 3 \Rightarrow \cot {75^0} = \frac{1}{{2 + \sqrt[{}]{3}}}\)
Cho \(\tan \alpha \,\, = \,\,m\). Tính \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\).
\(m\).
\( - m\).
\(\frac{\pi }{2}\).
\( - \frac{\pi }{2}\).
Chọn A
Ta có \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha = m\)
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\[\sin 2\alpha \,\, = \,\,2\,\sin \alpha .{\rm{cos}}\alpha \].
\[{\rm{cos}}2\alpha \,\, = \,\,2\,{\rm{cos}}\alpha .\,\sin \alpha \].
\[\tan 2\alpha \,\, = \,\,2\,\tan \alpha .{\rm{cot}}\alpha \].
\[\cot 2\alpha \,\, = \,\,2\,{\rm{cot}}\alpha .\tan \alpha \].
Chọn A
Biến đổi biểu thức \(Q = 2\sin 2a.cosa\) thành tổng, ta được:
\(Q = \sin a + \sin 3a\).
\(Q = \sin a - \sin 3a\).
\(Q = \cos a + \cos 3a\).
\(Q = \cos a - \cos 3a\).
Chọn A
\(Q = 2\sin 2a.cosa = 2.\frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {2a - a} \right) + \sin \left( {2a + a} \right)} \right] = \sin a + \sin 3a\).
Tìm hàm số có đồ thị đối xứng qua trục tung.
\(y\,\, = \,\,\cos x\).
\(y = \sin x\).
\(y = \tan x\).
\(y = \cot x\).
Chọn A
Trong các hàm số lượng giác chỉ có hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung.
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
Chọn A
Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
Cho hai điểm \(A\) và \(B\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\). Các điểm \(C,D\) thuộc trục \(Ox\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(CD = \frac{{2\pi }}{3}\). Tính độ dài đoạn \(BC\).![Chọn A Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(\pi \). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/16-1764253802.png)
\(BC = \frac{1}{2}\).
\(BC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(BC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(BC = 1\).
Chọn A
Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \({x_C} = {x_B}\,,\,{x_D} = {x_A}\,,\,{y_A} = {y_B}\) .
Khi đó: \({y_A} = {y_B} \Leftrightarrow \sin \left( {{x_A}} \right) = \sin \left( {{x_B}} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {{x_D}} \right) = \sin \left( {{x_C}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_D} = {x_C} + k2\pi \\{x_D} = \pi - {x_C} + k2\pi \end{array} \right.\)
Do xét trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) và \({x_C} - {x_D} = CD = \frac{{2\pi }}{3}\) nên ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} - {x_D} = \frac{{2\pi }}{3}\\{x_C} + {x_D} = \pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{5\pi }}{6}\\{x_D} = \frac{\pi }{6}\end{array} \right.\) . Vậy \(BC = {y_B} = \sin \left( {{x_B}} \right) = \sin \left( {{x_C}} \right) = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{1}{2}\) .
Tất cả các nghiệm của phương trình \(\sin x = - 1\) là:
\(x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \pi + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn A
Ta có: \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Một cây cầu có dạng hình cung \(OA\) của đồ thị hàm số \(y = \frac{{48}}{{10}}\sin \frac{x}{9}\) và được mô tả trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) với đơn vị trên trục là mét như hình vẽ. Độ rộng giữa hai chân cầu là chiều dài đoạn \(OA\) gần bằng với giá trị nào sau:
\(OA = 28,27\left( m \right)\).
\(OA = 38,27\left( m \right)\).
\(OA = 18,27\left( m \right)\).
\(OA = 48,27\left( m \right)\).
Chọn A
Giải phương trình \(\frac{{48}}{{10}}\sin \frac{x}{9} = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{x}{9} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{9} = k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = 9k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Dựa vào hình vẽ, ta có:
+ Khi \(k = 0 \Rightarrow x = 0\) .
+ Khi \(k = 1 \Rightarrow x = 9\pi \approx 28,27\) .
Vậy: \(OA = {x_A} - {x_O} = 9\pi - 0 = 9\pi \approx 28,27\,\,\left( m \right)\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có các số hạng đầu là \( - 1\,;\,\,1\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\,...\) . Tìm khẳng định đúng.
\(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số vô hạn.
\(\left( {{u_n}} \right)\)là một dãy số không đổi.
\(\left( {{u_n}} \right)\)là một dãy số tăng.
\(\left( {{u_n}} \right)\)là một dãy số giảm.
Chọn A
\( - 1\,;\,\,1\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\,...\) là dãy số vô hạn.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có công thức của số hạng tổng quát là \({u_n} = {10^n} - 1\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Ba số hạng đầu của \(\left( {{u_n}} \right)\) là:
\(9\,;\,\,99\,;\,\,999\).
\(9\,;\,\,9\,;\,\,9\).
\(9\,;\,\,19\,;\,\,29\).
\({9^1}\,;\,\,{9^2}\,;\,\,{9^3}\).
Chọn A
+ Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = {10^1} - 1 = 9\).
+ Với \(n = 2 \Rightarrow {u_2} = {10^2} - 1 = 99\).
+ Với \(n = 3 \Rightarrow {u_3} = {10^3} - 1 = 999\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Tìm khẳng định sai.
Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\)giảm thì \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\)giảm thì \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\)tăng thì \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\)bị chặn trên và bị chặn dưới thì \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Chọn A
+ Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\)giảm thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn trên bởi \({u_1}\).
+ Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\)tăng thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn dưới bởi \({u_1}\).
+ Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\)vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
+ Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\)giảm thì \(\left( {{u_n}} \right)\) có thể không bị chặn dưới nên khẳng định bị chặn là sai.
Trong các dãy số sau, dãy số nào không là một cấp số cộng?
\(\frac{1}{2}\,;\,\,\frac{2}{3}\,;\,\,\frac{3}{4}\,;\,\,\frac{4}{5}\,;\,\,\frac{5}{6}\).
\(1\,;\,\,\frac{1}{2}\,;\,\,0\,;\,\, - \frac{1}{2}\,;\,\, - 1\).
\(1\,;\,\,12\,;\,\,23\,;\,\,34\,;\,\,45\).
\(0\,;\,\,0\,;\,\,0\,;\,\,0\,;\,\,0\).
Chọn A
Ta có: \(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} \ne \frac{3}{4} - \frac{2}{3}\) nên \(\frac{1}{2}\,;\,\,\frac{2}{3}\,;\,\,\frac{3}{4}\,;\,\,\frac{4}{5}\,;\,\,\frac{5}{6}\) không là một cấp số cộng.
Cho cấp số cộng\(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_{88}} = 88\sqrt 3 \) và công sai \[d = \sqrt 3 \] . Tìm \({u_1}\).
\({u_1} = \sqrt 3 \).
\({u_1} = 3\).
\({u_1} = 1\).
\({u_1} = 8\).
Chọn A
Ta có: \({u_{88}} = {u_1} + 87d \Rightarrow {u_1} = {u_{88}} - 87d = 88\sqrt 3- 87\sqrt 3= \sqrt 3 \).
Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
\(2\,;\,\,2\,;\,\,2\,;\,\,2\,;\,\,2\).
\(1\,;\,\,3\,;\,\,6\,;\,\,9\,;\,\,12\).
\(2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8\,;\,\,10\).
\(1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,5\).
Chọn A
Ta thấy \(2\,;\,\,2\,;\,\,2\,;\,\,2\,;\,\,2\) có \({u_1} = {u_2} = {u_3} = {u_4} = {u_5} = 2\) nên đây là cấp số nhân với công bội \(q = 1\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 3}\\{{u_{n + 1}} = 3{u_n}}\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.\). Tìm số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\).
\({u_n} = {3^n}\).
\({u_n} = {n^{n + 1}}\).
\({u_n} = {3^{n + 1}}\).
\({u_n} = {3^{n - 1}}\).
Chọn A
Ta có \({u_1} = 3\) và \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 3 = q\).
Do đó \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {3.3^{n - 1}} = {3^n}\).
Giả sử tỷ lệ tăng dân số của tỉnh T là \(1,2\% \) và không biến động trong 10 năm tiếp theo. Biết rằng số dân của tỉnh T hiện nay là \(2\) triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau \(9\) năm nữa số dân của tỉnh T sẽ là bao nhiêu?
\(2227\) nghìn người.
\(3000\) nghìn người.
\(10320\) nghìn người.
\(2300\)nghìn người.
Chọn A
Đặt \(A = 2000000\) và \(r = 1,2\% = 0,012\).
+ Năm hiện tại, số dân tỉnh T là: \({P_1} = A = 2000000\).
+ Sau 1 năm, dân số tỉnh T là: \({P_2} = {P_1} + {P_1}.r = {P_1}\left( {1 + r} \right) = A\left( {1 + r} \right)\).
+ Sau 2 năm, dân số tỉnh T là: \({P_3} = {P_2} + {P_2}.r = {P_2}\left( {1 + r} \right) = A\left( {1 + r} \right)\left( {1 + r} \right) = A{\left( {1 + r} \right)^2}\)
Tổng quát: sau \(n\) năm, dân số tỉnh T là: \({P_n} = A{\left( {1 + r} \right)^{n - 1}}\)
Vậy dân số tỉnh T tăng theo cấp số nhân có \({u_1} = A = 2000000\) và công bội \(q = 1 + r = 1.012\)
Do đó, sau 9 năm thì dân số tỉnh T là:
\({P_{10}} = A{\left( {1 + r} \right)^9} = 2000000{\left( {1,012} \right)^9} = 2226663,593 \approx 2227000\).
Trong không gian cho đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và một điểm \(M\) tùy ý. Tìm khẳng định đúng.
Nếu \(M \notin \left( P \right)\) thì \(M \notin d\).
Nếu \(M \in d\) thì \(M \notin \left( P \right)\).
Nếu \(M \in \left( P \right)\) thì \(M \in d\).
Nếu \(M \notin d\) thì \(M \notin \left( P \right)\).
Chọn A
Vì \(d \subset \left( P \right)\) nên \(M \notin \left( P \right)\) thì \(M \notin d\).
Hình chóp \(S.ABCDEF\) có tất cả bao nhiêu mặt?
\(7\).
\(6\).
\(8\).
\(5\).
Chọn A
\(S.ABCDEF\) có 6 mặt bên và một mặt đáy nên có tất cả 7 mặt.
Trong không gian cho hai đường thẳng không có điểm chung \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Tìm khẳng định đúng.
\({\Delta _1}\) song song \({\Delta _2}\) khi chúng đồng phẳng.
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
\({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) song song.
\({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) đồng phẳng.
Chọn A
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) không có điểm chung thì chúng có thể song song nếu đồng phẳng hoặc chéo nhau nếu không đồng phẳng.
Vậy \({\Delta _1}\) song song \({\Delta _2}\) khi chúng đồng phẳng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Các điểm \(I,J\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SAB\)và \(SAD\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(IJ{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\).
\(IJ{\rm{//}}\left( {SAC} \right)\).
\[IJ{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\].
\(IJ{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
Chọn A
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AD\).
Ta có \[\frac{{SI}}{{SM}}{\rm{ = }}\frac{{SJ}}{{SN}}{\rm{ = }}\frac{1}{3} \Rightarrow {\rm{IJ}}//MN\] mà \(MN//\,\,BD\) suy ra \(IJ//\left( {SBD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,AB\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\].
\[MN{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\].
\[MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\].
\[MN{\rm{//}}\left( {SAC} \right)\].
Chọn A
Ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\)
\[MN{\rm{//}}SB\], mà \(SB \subset \left( {SAB} \right)\) và \[MN\cancel{ \subset }\left( {SBC} \right)\]. Suy ra \[MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\].
Trong không gian cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(b\) là một đường thẳng tùy ý. Tìm khẳng định đúng. (biết \(b \not\subset \left( P \right)\))
Nếu \(b\) song song \(a\) thì\(b\) song song \(\left( P \right)\).
Nếu \(b\) song song \(\left( P \right)\) thì \(b\) song song \(a\).
Nếu \(b\) cắt \(\left( P \right)\) thì \(b\) cắt \(a\).
Nếu \(a\) và \(b\) chéo nhau thì\(b\) song song \(\left( P \right)\).
Chọn A
Vì \(a \subset \left( P \right)\) nên \(b\) song song \(a\) thì \(b\) song song \(\left( P \right)\).
PHẦN II. TỰ LUẬN (4,0 điểm)
( 1.0 điểm) Giải phương trình \(\cos 2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\).
\(\cos 2x = \cos \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) .
(1.0 điểm) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = - \frac{7}{2}\) và \({u_{10}} = 1\). Tính tổng hai mươi số hạng đầu tiên của \(\left( {{u_n}} \right)\).
Ta có \({u_{10}} = {u_1} + 9d \Leftrightarrow d = \frac{{{u_{10}} - {u_1}}}{9} = \frac{{1 - \left( { - \frac{7}{2}} \right)}}{9} = \frac{1}{2}\).
Vậy \({S_{20}} = \frac{{20\left[ {2\left( { - \frac{7}{2}} \right) + 19\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right]}}{2} = 25\).
(2.0 điểm) ) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,SC\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
Ta có \(S\) là điểm chung thứ nhất.
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow O\) là điểm chung thứ hai.
Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\).
Gọi \(I = SO \cap MN\) và \(K = BI \cap SD\)
Ta có: \(K \in SD\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác: \(K \in BI\) mà \(BI \subset \left( {BMN} \right) \Rightarrow K \in \left( {BMN} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được: \(SD \cap \left( {BMN} \right) = K\)
