Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 4
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha + \frac{1}{2}.\)
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha .\)
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha .\)
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \alpha + \frac{1}{2}\cos \alpha .\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \alpha + \frac{1}{2}\cos \alpha .\)
Tập giá trị của hàm số \(y = 2\cos 2x + 1\) là
\(\left[ { - 3;1} \right].\)
\(\left[ {1;3} \right].\)
\(\left[ { - 3; - 1} \right].\)
\(\left[ { - 1;3} \right].\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \( - 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\cos 2x \le 2 \Rightarrow - 1 \le \cos 2x + 1 \le 3.\)
\( \Rightarrow - 1 \le y \le 3.\)
Vậy tập giá trị của hàm số \(y = 2\cos 2x + 1\) là \(\left[ { - 1;3} \right].\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3\) và \({u_2} = - 6\). Công bội \(q\) của cấp số nhân là
\(2\).
\( - 2\).
\( - 9\).
\(9\).
Đáp án đúng là: B
Có \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2\).
Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng.
\({u_n} = 3{n^2} + 1\).
\({u_n} = {2^n}\).
\({u_n} = \sqrt {n + 5} \).
\({u_n} = 2020 - 2019n\).
Đáp án đúng là: D
Có \({u_{n + 1}} = 2020 - 2019\left( {n + 1} \right)\)\( = 1 - 2019n\).
Có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - 2019n - \left( {2020 - 2019n} \right) = - 2019\).
Do đó \({u_n} = 2020 - 2019n\) là một cấp số cộng.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {{u_n} - 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\). Khi đó
\(\lim {u_n}\) không tồn tại.
\(\lim {u_n} = 1\).
\(\lim {u_n} = 0\).
\(\lim {u_n} = 2\).
Đáp án đúng là: D
Có \(\left| {{u_n} - 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}\) mà \(\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0\) nên \(\lim \left| {{u_n} - 2} \right| = 0\)\( \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = 0\)\( \Rightarrow \lim {u_n} = 2\).
Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0.
\(\lim \frac{{1 - n}}{{2n + 1}}.\)
\(\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n}.\)
\(\lim {\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^n}.\)
\(\lim {n^2}.\)
Đáp án đúng là: C
+) \(\lim \frac{{1 - n}}{{2n + 1}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} - 1}}{{2 + \frac{1}{n}}} = - \frac{1}{2}\) (vì \(\lim \frac{1}{n} = 0\)).
+) \(\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n} = + \infty \) (vì \(\frac{3}{2} > 1\)).
+) \(\lim {\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^n} = 0\) (vì \(0 < \frac{\pi }{4} < 1\)).
+) \(\lim {n^2} = + \infty \).
Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng
\(2\).
\(1\).
\( + \infty \).
\(0\).
Đáp án đúng là: D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) = 2 \cdot {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = 0\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) = \tan x + 5\).
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\).
\(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \).
\(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\).
Đáp án đúng là: D
+) Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x + 5\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \tan x + 5\) không liên tục trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\)có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\) không liên tục trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \)có tập xác định là \(\left[ {6; + \infty } \right)\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \) không liên tục trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\)có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không có điểm chung.
Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
Đáp án đúng là: D
+) A sai. Vì trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
+) B và C sai. Vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((P).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Đường thẳng \(d\) có đúng một điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Đường thẳng \(d\) có đúng hai điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Đường thẳng \(d\) có vô số điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Đáp án đúng là: A
Dựa vào định nghĩa, đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((P)\) khi đó đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \((P).\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Qua \(S\) kẻ \(Sx,Sy\) lần lượt song song với \(AB,AD\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Khi đó khẳng định nào dưới đây đúng?
Giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng \(Sx\).
Giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng \(Sy\).
Giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(Sx\).
Giao tuyến của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng \(Sx\).
Đáp án đúng là: C
+) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\) nên \(O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
Lại có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\) nên \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
+) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD\) và \(AD//BC\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB//CD//Sx\end{array} \right.\) nên \(Sx = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\AD//BC//Sy\end{array} \right.\) nên \(Sy = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\) và \(A'C'\) cắt \(B'D'\) tại \(O'.\) Khi đó \(\left( {AB'D'} \right)\) song song với mặt phẳng nào dưới đây?
\(\left( {A'OC'} \right).\)
\(\left( {BDA'} \right).\)
\(\left( {BDC'} \right).\)
\(\left( {BCD} \right).\)
Đáp án đúng là: C
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên \(BB'{\rm{//}}DD'\) và \(BB' = DD'.\)
\( \Rightarrow BB'D'D\) là hình bình hành nên \(B'D'{\rm{//}}BD.\)
Mà \(BD \subset \left( {BDC'} \right)\) và \(B'D' \not\subset \left( {BDC'} \right).\)
\( \Rightarrow B'D'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right).\)
Tương tự ta cũng có \(AD'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right).\)
Ta có: \(B'D'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right);\,\,AD'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right)\) và \(B'D' \cap AD' = D'\) trong \(\left( {AB'D'} \right).\)
\( \Rightarrow \left( {AB'D'} \right){\rm{//}}\left( {BDC'} \right).\)
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho phương trình lượng giác \(2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 = 0\)\(\left( * \right)\). Khi đó
a) Phương trình \(\left( * \right)\)tương đương \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right)\).
b) Nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) là: \(x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \),\(x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
c) Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).
d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) bằng \( - \frac{\pi }{{12}}\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Ta có \(2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right)\).
b) Ta có \(2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right)\)
\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) hoặc \(x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) hoặc \[x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
c)
- Với \(x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) nên \( - \pi < - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{11\pi }}{{12}} < k2\pi < \frac{{13\pi }}{{12}} \Leftrightarrow - \frac{{11}}{{24}} < k < \frac{{13}}{{24}}\)
Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\). Suy ra \({x_1} = - \frac{\pi }{{12}}\)
- Với \[x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) nên \( - \pi < - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{7\pi }}{{12}} < k2\pi < \frac{{17\pi }}{{12}} \Leftrightarrow - \frac{7}{{24}} < k < \frac{{17}}{{24}}\)
Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\). Suy ra \({x_2} = - \frac{{5\pi }}{{12}}\).
d) Ta có \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{\pi }{{12}} = - \frac{\pi }{2}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 3n - 1\).
a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số giảm.
b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = 2\) và \(d = 3\).
c) Số \(179\) là số hạng thứ 60 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
d) Biết \({S_n} = 5430\). Khi đó \(n = 59\).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Ta có \({u_n} = 3n - 1\) và \({u_{n + 1}} = 3\left( {n + 1} \right) - 1 = 3n + 2\).
Suy ra \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {3n + 2} \right) - \left( {3n - 1} \right) = 3 > 0\).
Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
b) Có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3\).
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = 2\) và \(d = 3\).
c) Có \({u_n} = 179 \Leftrightarrow 3n - 1 = 179 \Leftrightarrow n = 60\).
d) Ta có \({S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2}\)\( \Leftrightarrow 5430 = \frac{{\left[ {4 + \left( {n - 1} \right).3} \right].n}}{2}\)\( \Leftrightarrow 3{n^2} + n - 10860 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 60\).
Cho \[L = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 7x + 12} }}{{a\left| x \right| - 17}}\left( {a \ne 0} \right)\]. Khi đó
a) \(L = \frac{1}{2}\) khi \(a = 4\).
b)\(L = 1\) khi \(a = 3\).
c)\(L = 0\) khi \(a = 0\).
d)\(L = 2\) thì \(a\) là một nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\).
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
Ta có limx→−∞4x2−7x+12ax−17= limx→−∞−x4−7x+12x2−xa+17x= limx→−∞4−7x+12x2a+17x=2a
a) \(L = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{a} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 4\).
b) \(L = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 2\).
c) \(L \ne 0\).
d) \(L = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{a} = 2 \Leftrightarrow a = 1\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\).
Cho hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Gọi \(M\) là trọng tâm \(\Delta ABE\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\). \(\left( P \right)\) cắt \(AB,AC,CD,EF\) lần lượt tại \(I,N,K,J\). Khi đó:
a) \(EC//FD\).
b)\(\left( {ADF} \right)//\left( {BCE} \right)\).
c) \(IJ\) qua \(M\) và \(IJ//AF\).
d)\(\frac{{AN}}{{NC}} = 3\).
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}EF//DC\left( {//AB} \right)\\EF = DC\left( { = AB} \right)\end{array} \right.\). Suy ra \(EFDC\) là hình bình hành.
Do đó \(EC//FD\).
b) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}BE//AF;BC//AD\\BE,BC \subset \left( {BCE} \right),BE \cap BC = B\\AF,AD \subset \left( {ADF} \right),AF \cap AD = A\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {ADF} \right)//\left( {BCE} \right)\).
c) Vì \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\). \(\left( P \right)\) cắt \(AB,AC,CD,EF\) lần lượt tại \(I,N,K,J\). Suy ra \(IJ\) qua \(M\) và \(IJ//AF\).
d) Vì \(NI//AD//BC\) nên \(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{IB}}\).
Lại có \(IM//BH//AF\) (\(H\) là trung điểm của \(BE\)) nên \(\frac{{AI}}{{IB}} = \frac{{AM}}{{MH}} = 2\) (vì \(M\) là trọng tâm \(\Delta ABE\)).
Do đó \(\frac{{AN}}{{NC}} = 2\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu tương ứng gọi là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hóa bởi hàm số \(P\left( t \right) = 100 + 20\sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right)\), trong đó \(P\left( t \right)\) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian \(t\) tính theo giây. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 90 mmHg.
Trả lời: 23
Ta có \(P\left( t \right) = 90\)\( \Leftrightarrow 100 + 20\sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = 90\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = - \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{1}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}k\\t = \frac{7}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}n\end{array} \right.,\left( {k,n \in \mathbb{Z}} \right)\).
Với \(t = - \frac{1}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}k\) ta có:
\(0 < - \frac{1}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}k < 10\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} < k < \frac{{47}}{4}\)\( \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11} \right\}\).
Với \(t = \frac{7}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}n\) ta có
\(0 < \frac{7}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}n < 10\)\( \Leftrightarrow - \frac{7}{{12}} < n < \frac{{133}}{{12}}\)\( \Rightarrow n \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11} \right\}\).
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, có 23 lần huyết áp là 90 mmHg.
Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5%, thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu triệu đồng khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Trả lời: 230
Gọi \({u_n}\) là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ n.
Vì người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5% nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có \[{u_1} = 180\] và công bội \(q = 1 + 5\% = 1,05\).
Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là
\({u_6} = {u_1}.{q^5} = 180.1,{05^5} \approx 230\) triệu đồng.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{\sqrt {2{n^3} + n} + 3n - 1}}{{\sqrt {6{n^3} + 2{n^2}} + n}}\) có giới hạn bằng \(\sqrt {\frac{a}{b}} \), \(a > 0,b > 0\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của \({a^2} + {b^2}\).
Trả lời: 10
\[\lim {u_n} = \lim \frac{{n\sqrt n \left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} + \frac{3}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{n\sqrt n }}} \right)}}{{n\sqrt n \left( {\sqrt {6 + \frac{2}{n}} + \frac{1}{{\sqrt n }}} \right)}}\]\[ = \sqrt {\frac{2}{6}} = \sqrt {\frac{1}{3}} \].
Suy ra \(a = 1;b = 3\). Do đó \({a^2} + {b^2} = 10\).
Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất \(x\) sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số \(C\left( x \right) = 50000 + 105x\). \(\overline C \left( x \right)\) là chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline C \left( x \right)\).
Trả lời: 105
Có \(\overline C \left( x \right) = \frac{{50000 + 105x}}{x}\).
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline C \left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{50000 + 105x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{50000}}{x} + 105}}{1} = 105\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh bằng \(a\), \(SA = SB = SC = SD = a\sqrt 2 \). Điểm \(M\) là trung điểm \(SC\). Gọi \(N\) giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\). Tỉ số \(\frac{{SN}}{{SD}}\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 0,5
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(K = AM \cap SO\).
Khi đó \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABM} \right) = BK\).
Trong \(\left( {SBD} \right)\) lấy điểm \(N = BK \cap SD\). Khi đó \(N = SD \cap \left( {ABM} \right)\).
Vì \(ABCD\)là hình vuông cạnh bằng \(a\) nên \(AC = BD = a\sqrt 2 \).
Do đó \(\Delta SAC\) và \(\Delta SBD\) là các tam giác đều.
Mà \(K = AM \cap SO \Rightarrow K\) là trọng tâm \(\Delta SAC\).
Suy ra \(K\) là trọng tâm \(\Delta SBD\)\( \Rightarrow BN\) là trung tuyến của \(\Delta SBD\)\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(SD\).
Suy ra \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2} = 0,5\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M,N\) lần lượt là các điểm thuộc cạnh \(SB\) và đoạn \(AC\) sao cho \(\frac{{BM}}{{MS}} = x\) và \(\frac{{NC}}{{NA}} = y\), \(\left( {0 < x,y \ne 1} \right)\). Tìm tỉ số \(\frac{x}{y}\) để \(MN//\left( {SAD} \right)\).
Trả lời: 1
Để \(MN//\left( {SAD} \right)\) thì \(MN//AK\) (\(K = BN \cap AD\)).
Vì \(MN//SK\) nên \(\frac{{BM}}{{MS}} = \frac{{BN}}{{NK}}\) (1).
Vì \(AK//BC\) nên \(\frac{{BN}}{{NK}} = \frac{{CN}}{{AN}}\) (2).
Từ (1) và (2), ta có \(\frac{{BM}}{{MS}} = \frac{{CN}}{{AN}}\) hay \(x = y\). Suy ra \(\frac{x}{y} = 1\).
