Bộ 24 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) có đáp án - Đề 22

Chọn B

Vì \[0 < \frac{2}{3} < 1\]nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\).

Chọn A

Ta có\(M = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \left[ {3f(x) - 4g(x)} \right]\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} 3f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} 4g\left( x \right) = 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right) - 4\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} g\left( x \right)\)

\(\)\( = 3.2 - 4.3 = - 6\).

Chọn D

Hàm số \(y = \sin x\)tuần hoàn với chu kì là \(T = 2\pi \).

Chọn A

Ta có \({u_1} = - 1;{u_2} = \frac{1}{2}\)mà \({u_2} = {u_1}.q \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{ - 1}} = \frac{{ - 1}}{2}\).\(\)\(\)

Chọn B

Thay \(x = \frac{\pi }{3}\)vào ta có \(sin\frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)và \(cos\frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\)

Do đó phương trình \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) có một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{3}\).

Chọn B

Ta có \({x^3} - x \ne 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne - 1\\x \ne 1\end{array} \right.\)

Do đó hàm số \(f(x) = \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}\)\(\)liên tục tại \(x = \frac{1}{2}.\)

Chọn C

Gọi \(Q\)là trung điểm \(AD\); theo tính chất trọng tâm ta có \(\frac{{BG}}{{GQ}} = 2\)\( \Rightarrow \frac{{BG}}{{GQ}} = \frac{{BN}}{{NC}}\)nên \(GN{\rm{//}}CQ\)( định lý Talet đảo )

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}GN{\rm{//}}CQ\\CQ \subset \left( {ACD} \right)\\GN \not\subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow GN{\rm{//}}\left( {ACD} \right)\) .\(\)\(\)

Chọn C

Hai mặt phẳng song song \(\left( \alpha \right)\)và \(\left( \beta \right)\)thì \(\left( \alpha \right)\)và \(\left( \beta \right)\) không có điểm chung.

Chọn D

Hình lăng trụ ngũ giác có tất cả : \(5 + 5 + 5 = 15\)cạnh .

Chọn A

Xét dãy số \({u_n} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}{\rm{ }}\)\(\left( {n \in {N^*}} \right)\)là 1 cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(0 < q = \frac{1}{3} < 1\)

Tổng \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + .... + {u_n}\)khi đó \({S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}\)

                  Vậy \(S = - 2 + \frac{1}{2} = \frac{{ - 3}}{2}\)nên \(a = - 3;b = 2\) do đó \(a.b = \left( { - 3} \right).2 = - 6\).

Chọn C

Ta có \({u_5} = 3.5 + 2 = 17\).\(\)

Chọn D

Ta có \(\sin x = \cos x \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow sin\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \).

Chọn C

Số ghế trong mỗi dãy lập thành 1 cấp số cộng với \({u_1} = 25\)và công sai \(d = 3\).

Ta có tổng số ghế trong rạp hát là \(S = {u_1} + {u_2} + ..... + {u_{30}}\)( vì rạp hát có 30 dãy ghế )

\(S = \frac{{30}}{2}\left( {{u_1} + {u_{30}}} \right) = 15\left( {{u_1} + {u_1} + 29d} \right) = 15\left( {2{u_1} + 29d} \right)\)

Hay là \(S = 15\left( {2.25 + 29.3} \right) = 2055\).

Chọn A

Vì \(ABCD\)là hình bình hành nên \(AD{\rm{//}}BC\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD \not\subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AD{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\)\(\)

Chọn D

Ta có \(\)\(\left\{ \begin{array}{l}b{\rm{//}}a\\a \subset \left( P \right)\\b \not\subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow b{\rm{//}}\left( P \right)\)

Chọn D

Ta có \(\)\(F;G\)lần lượt là trung điểm \(BD;BC\)nên theo tính chất đường trung bình ta có \(FG{\rm{//}}CD\)(1)

Mặt khác \(E \in AC \Rightarrow E \in \left( {ACD} \right)\)nên \(E \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\)   (2)

Lại có \(CD \subset \left( {ACD} \right)\)nên từ (1) và (2) ta có \(\left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\)là đường thẳng \(Ex{\rm{//}}CD\).

Chọn C

Ta có \[\lim \mathop {f\left( x \right)}\limits_{x \to 1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2\].

Hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục trên \(R\)khi và chỉ khi \(f\left( x \right)\)liên tục tại \(x = 1\)\( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = \lim \mathop {f\left( x \right)}\limits_{x \to 1} \)\( \Leftrightarrow m + 2 = 2 \Leftrightarrow m = 0\)\(\)

Chọn D

Do \(AD{\rm{//}}BC\) nên \(AN{\rm{//}}BC\)và có \(AD = 2BC \Rightarrow AN = BC\)( do \(AN = \frac{{AD}}{2}\))\(\)

Do đó tứ giác \(ANCB\) là hình bình hành nên \(CN{\rm{//}}AB\)

Có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( {SAB} \right)\\CN \not\subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\)(1)

Mặt khác \(MN{\rm{//}}SA\)vì \(MN\)là đường trung bình tam giác \(SAD\)

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}SA \subset \left( {SAB} \right)\\MN \not\subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\)(2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left( {SAB} \right){\rm{//}}\left( {CMN} \right)\)

Chọn C

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right).d = 2018 + \left( {n - 1} \right).\left( { - 5} \right) = - 5n + 2023\)

Khi đó \({u_n} < 0 \Leftrightarrow - 5n + 2023 < 0 \Leftrightarrow - 5n < - 2023 \Leftrightarrow n > \frac{{2023}}{5} = 404,6\).\[\]

Vì \(n \in {N^*}\)và \(n > 404,6\) nên bắt đầu từ giá trị \(n\) nhỏ nhất \( = 405\) khi đó cấp số cộng đó nhận giá trị âm.

Chọn B

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x - 100}}{{x - 3}} = - \infty \)

 Do \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} x - 100 = - 97 < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} x - 3 = 0\end{array}\)và \(x - 3 \to {0^ + }\)

Chọn B

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + 3x}}{{\sqrt {2{x^2} + 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {3 + \frac{1}{x}} \right)}}{{\left| x \right|.\sqrt {2 + \frac{3}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {3 + \frac{1}{x}} \right)}}{{ - x.\sqrt {2 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {2 + \frac{3}{{{x^2}}}} }} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 2 }}\].

Chọn A

Hàm số \(y = \sin x\)liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Chọn C

Nếu \(f\left( 2 \right) \ne - 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) + 1}}{{x - 2}} = \infty \) ( mâu thuẫn giả thiết )

Do đó \(f\left( 2 \right) = - 1\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {f(x) + 2x + 1} - x}}{{{x^2} - 4}} = T\)và ta có

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {f(x) + 2x + 1} - x}}{{{x^2} - 4}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) + 1 + 2x - {x^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {\left[ {\sqrt {f(x) + 2x + 1} + x} \right]} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {\left[ {\sqrt {f(x) + 2x + 1} + x} \right]} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - x\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {\left[ {\sqrt {f(x) + 2x + 1} + x} \right]} \right)}}\\ = \frac{a}{{4.\left( {2 + 2} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {\left[ {\sqrt {f(x) + 2x + 1} + x} \right]} \right)}} = \frac{a}{{16}} - \frac{2}{{4\left( {2 + 2} \right)}} = \frac{a}{{16}} - \frac{1}{8} = \frac{{a - 2}}{{16}}\end{array}\)

Hay là \(T = \frac{{a - 2}}{{16}}\).

Chọn D

Ta có pt \({x^3} - \left( {m + 4} \right){x^2} + \left( {3 + 4m} \right)x - 3m = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} + 3x - m\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) - m\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\\x = m\end{array} \right.\)

Ba nghiệm lập thành 1 cấp số nhân nên ba số \(1;3;m\)lập thành 1 cấp số nhân

Th1: Nếu 3 số hạng của cấp số nhân có hạng tử ở giữa là \(1\)\( \Rightarrow {1^2} = 3m \Rightarrow m = \frac{1}{3}\)

Th2: Nếu 3 số hạng của cấp số nhân có hạng tử ở giữa là \(3\)\( \Rightarrow {3^2} = 1.m \Rightarrow m = 9\)

Th3: Nếu 3 số hạng của cấp số nhân có hạng tử ở giữa là \(m\)\( \Rightarrow {m^2} = 1.3 \Rightarrow m = \pm \sqrt 3 \).

Vậy \(S = \left\{ { - \sqrt 3 ;\frac{1}{3};\sqrt 3 ;9} \right\}\)hay là tập hợp \(S\)có 4 phần tử .

Chọn B

Ta có \(\left( \alpha \right){\rm{//}}BD;\left( \alpha \right){\rm{//}}SC\)nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)cắt lần lượt các mặt phẳng \(\left( {SAC} \right);\left( {ABCD} \right)\)theo các đường giao tuyến \(a;b\)lần lượt \({\rm{//}}SC\) và \({\rm{//}}BD\)

Gọi giao điểm \(a \cap SA = N\)và \(b \cap BC = Q\)và \(b \cap DC = R\)

Cũng có\(\left( \alpha \right){\rm{//}}BD;\left( \alpha \right){\rm{//}}SC\)nên \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right)\)là đường thẳng \(c\)qua \(Q{\rm{//}}SC\)và \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right)\)là đường thẳng \(d\)qua \(R{\rm{//}}SC\).

Gọi \(c \cap SB = P;d \cap SD = S\)khi đó thiết diện khi mp \(\left( \alpha \right)\)cắt hình chóp là ngũ giác \(NSRQP\).

Ngũ giác này có số cạnh là \(5\).\(\)\(\)

Ta có \(\cot \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cot \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\)

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 3n + 1} - n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 3n + 1 - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 3n + 1} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + 3n + 1} + n}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{3}{2}\)

b)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{4 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 1} \right)}}{{ - \left( {x + 2} \right)}} = - \frac{1}{4}\)

          +Ta có\(AN{\rm{//}}MB',AN = MB' \Rightarrow ANB'M\)là hình bình hành\( \Rightarrow AM{\rm{//}}NB' \Rightarrow AM{\rm{//}}\left( {NCB'} \right)\)

          \(CC'{\rm{//}}MN,CC' = MN \Rightarrow CC'MN\)là hình bình hành nên \(C'M//CN \Rightarrow C'M{\rm{//}}\left( {CNB'} \right)\).

           Lại có \(C'M\)cắt \(AM\) trong \(\left( {AMC'} \right)\)\( \Rightarrow \left( {AMC'} \right){\rm{//}}\left( {CNB'} \right)\).

-PA1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm \(50\) triệu đồng, thì sau 5 năm tổng số tiền lương là: \(5.300 + 5.50 = 1750\) ( triệu đồng)

-PA2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm \(10\% \) so với lương năm liền trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai nên lương mỗi năm lập thành cấp số nhân có \({u_1} = 300\), \(q = 1 + 0,1 = 1,1\). Vậy sau 5 năm tổng lương là \({S_5} = {u_1}\frac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = 300\frac{{1 - {{\left( {1,1} \right)}^5}}}{{1 - 1,1}} = 1831,53\)( triệu đồng)

-PA3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm \(30\) triệu so với lương năm liền trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai, nên lương mỗi năm lập thành cấp số cộng có \({u_1} = 300,\,d = 30 \Rightarrow {S_5} = \frac{5}{2}\left[ {2{u_1} + 4d} \right] = \frac{5}{2}\left[ {600 + 4.30} \right] = 1800\) (triệu đồng)

             Vậy anh Nam nên chọn PA2

 

Gọi \[H\] là giao của \[AF\] và \[BC\] trong mmp (ABCD)

\(\left\{ \begin{array}{l}GF \subset (SAH)\\GF{\rm{//}}(SBC)\\(SAH) \cap (SBC) = SH\end{array} \right. \Rightarrow GF{\rm{//}}SH\).

\(\widehat {EAF} = {45^0} \Rightarrow \widehat {BAE} + \widehat {DAF} = {45^0} \Rightarrow \tan \left( {\widehat {BAE} + \widehat {DAF}} \right) = \frac{{\tan \widehat {BAE} + \tan \widehat {DAF}}}{{1 - \tan \widehat {BAE}.\tan \widehat {DAF}}} = 1\)

Ko mất tính TQ , gọi cạnh hình vuông là 1.

Đặt \(BE = x \Rightarrow \tan \widehat {BAE} = x \Rightarrow \frac{{x + \tan \widehat {DAF}}}{{1 - x.\tan \widehat {DAF}}} = 1 \Rightarrow \tan \widehat {DAF} = \frac{{1 - x}}{{1 + x}}\)

Mà \(\tan \widehat {DAF} = DF \Rightarrow DF = \frac{{1 - x}}{{1 + x}} \Rightarrow CF = 1 - DF = \frac{{2x}}{{1 + x}}\)

Talet \[\frac{{AF}}{{HF}} = \frac{{DF}}{{CF}} = \frac{{1 - x}}{{2x}}\]\(\)Mà \(\frac{{AF}}{{HF}} = \frac{{AG}}{{SG}} = \frac{1}{2}\) Nên \(\frac{{1 - x}}{{2x}} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).

Vậy E là trung điểm của BC.