Bộ 24 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) có đáp án - Đề 21
20 câu hỏi
Cho dãy số: \(1,\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{4},\,\frac{1}{8},....\)(số hạng sau bằng nửa số hạng liền trước nó). Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là:
\({u_n} = \frac{1}{{2n}}\).
\({u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\).
\({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^{n - 1}}}}\)
\({u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).
Chọn B
\(\begin{array}{l}{u_1} = 1 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{1 - 1}}\\{u_2} = \frac{1}{2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2 - 1}}\\{u_3} = \frac{1}{4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{3 - 1}};...\end{array}\)
Hàm số nào dưới đây liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = x - \tan x\).
\(y = \frac{1}{{\cos x}}\).
\(y = 1 - \cot x\).
\(y = x + \cos x\).
Chọn D
Hàm số \(y = x\)và \(y = {\rm{cos}}x\)là các hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = x + {\rm{cos}}x\)cũng liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 4\) và \({u_2} = 8\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
\(\frac{1}{2}\).
\(2\).
\(4\).
\( - 4\).
Chọn C
\({u_2} = {u_1} + d \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 8 - 4 = 4\).
Hàm số \(f(x) = \frac{{ - 2}}{{{x^2} - 4}}\) có bao nhiêu điểm gián đoạn?
Vô số.
0.
1.
2.
Chọn D
Hàm số đã cho có tập xác định \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }} - 2;2\} \).
Hàm số không liên tục tại \(x = - 2\) và \(x = 2\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\]và \[\left( {SBC} \right)\]. Khi đó d đi qua S và song song với
\[BD\].
\[AC.\]
\[AB.\]
\[AD.\]
Chọn D
Cho biết \(\lim \left( {{u_n}} \right) = - 1\). Giá trị của \(\lim \left( {2{u_n} + 3} \right)\) bằng
\( - 1\).
1.
3.
\( + \infty \).
Chọn B
Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
\(2;\,4;\,6;\,8;\,10\).
\(1;\,3;\,6;\,9;\,12\).
\(1;\,2;\,3;\,4;\,5\).
\(2;\,2;\,2;\,2;\,2\).
Chọn D
Câu A, B, C đều là cấp số cộng. Câu D là cấp số nhân với số hạng đầu là 2, công bội là 1.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) vói số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 2\). Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
\({u_n} = 2n - 1\).
\({u_n} = 2(n - 1)\).
\({u_n} = 2n + 1\).
\({u_n} = 2n + 3\).
Chọn C
Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
Chọn B
Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right)\) bằng
\(0\).
\(7\).
\(9\).
\(5\).
Chọn B
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm của hai đáy \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\). Mệnh đề nào sau đây sai?
\(OO'//\left( {BCC'B'} \right)\).
\(OO'//\left( {CDD'} \right)\).
\(OO'//\left( {ABB'A'} \right)\).
\(OO'//\left( {ADC'} \right)\).
Chọn D
OO’cắt AC’ trong mặt phẳng (ACC’A’). Suy ra OO’ cắt mặt phẳng (ADC’).
Kết quả của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 15}}{{x - 2}}\] là
\(1\).
\( - \infty \).
\( + \infty \).
\(0\).
Chọn B
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
\({u_n} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\).
\({u_n} = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^n}\).
\({u_n} = {3^n}\).
\({u_n} = {\left( { - \frac{4}{3}} \right)^n}\).
Chọn A
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước có một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó.
Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\] thì \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\] song song với nhau.
Nếu hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\] song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong \[\left( \alpha \right)\] đều song song với \[\left( \beta \right)\].
Nếu hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\] song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong \[\left( \alpha \right)\] đều song song với mọi đường thẳng nằm trong \[\left( \beta \right)\].
Chọn C
Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi hai điểm \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,AC\). Đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
Chọn C
1) Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_2} = 6,{u_3} = \frac{9}{2}.\)
a) Tìm công bội của cấp số nhân trên ? b) Số \(\frac{{729}}{{512}}\) là số hạng thứ mấy của \(\left( {{u_n}} \right)\) ?
2) Một rạp hát có 20 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, mỗi dãy sau có nhiều hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?
1a) Ta có \(q = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{3}{4}\)
1b) \({u_2} = {u_1}q \Rightarrow {u_1} = \frac{{{u_2}}}{q} = 8\)
\({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 8.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{n - 1}} = \frac{{729}}{{512}}\)
\[ \Rightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{n - 1}} = \frac{{729}}{{4096}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^6} \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7\]
Vậy \(\frac{{729}}{{512}}\) là số hạng thứ 7.
2) Ta có cấp số cộng với số ghế ở dãy đầu tiên là \({u_1} = 15,\,\,d = 3,\,n = 20\)
\(\begin{array}{l}{S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]\\{S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left( {2.15 + 19.3} \right) = 870\end{array}\)
Vậy rạp hát có tất cả 870 ghế.
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{5n + 4}}{{20n - 3}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 6} \right)\)
c) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{\sqrt {{x^2} + 7} - 4}}{{x + 3}}\] d) \[A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\kern 1pt} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}}\sqrt {x + 4} - 2}}{x}\]
a)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{5n + 4}}{{20n - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{5 + \frac{4}{n}}}{{20 - \frac{3}{n}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {5 + \frac{4}{n}} \right)}}{{\mathop {\lim \left( {20 - \frac{3}{n}} \right)}\limits_{} }} = \frac{1}{5}\)
b)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 6} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( { - 1 + \frac{3}{x} - \frac{6}{{{x^2}}}} \right) = + \infty \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 1 + \frac{3}{x} - \frac{6}{{{x^2}}}} \right) = - 1 < 0\)
c)\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{\sqrt {{x^2} + 7} - 4}}{{x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{x^2} + 7 - 16}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 7} + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 7} + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{x - 3}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 7} + 4} \right)}} = \frac{{ - 6}}{8} = - \frac{3}{4}\end{array}\]
d)\[A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\kern 1pt} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}}\sqrt {x + 4} - 2}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\kern 1pt} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}}\sqrt {x + 4} - \sqrt {x + 4} + \sqrt {x + 4} - 2}}{x}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\kern 1pt} \frac{{\sqrt {x + 4} \left( {\sqrt[3]{{x + 1}} - 1} \right) + \sqrt {x + 4} - 2}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\kern 1pt} \left( {\frac{{\sqrt {x + 4} \left( {\sqrt[3]{{x + 1}} - 1} \right)}}{x} + \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x}} \right)\]
Xét:
\[B = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\kern 1pt} \frac{{\sqrt {x + 4} \left( {\sqrt[3]{{x + 1}} - 1} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\kern 1pt} \frac{{\sqrt {x + 4} \left( {x + 1 - 1} \right)}}{{x\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{x + 1}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{x + 1}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\kern 1pt} \frac{{x\sqrt {x + 4} }}{{x\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{x + 1}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{x + 1}} + 1} \right)}}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\kern 1pt} \frac{{\sqrt {x + 4} }}{{{{\left( {\sqrt[3]{{x + 1}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{x + 1}} + 1}} = \frac{2}{3}\]
\[C = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\kern 1pt} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\kern 1pt} \frac{x}{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\kern 1pt} \frac{1}{{\sqrt {x + 4} + 2}} = \frac{1}{4}\]
Vậy \[A = B + C = \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{{11}}{{12}}\]
Cho hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2{x^2} - x - 6}}{{x - 2}}\,\,\,khi{\rm{ }}\,x \ne 2\\\,\,\,\,7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi{\rm{ }}\,x = 2\end{array} \right.\)
Tính giới hạn của hàm số tại điểm \(x = 2\). Từ đó em có nhận xét gì về tính liên tục của hàm số tại điểm \(x = 2\)?
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\frac{{2{x^2} - x - 6}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\left( {2x + 3} \right) = 7\)
Ta có \(f\left( 2 \right) = 7 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,f\left( x \right)\). Do đó hàm số liên tục tại điểm \(x = 2\)
Cho hình chóp S ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD.
a) Chứng minh rằng đường thẳng BC song song với mặt phẳng (SAD).
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB)và (SCD).
c) Một mặt phẳng (a)đi qua hai điểm B M, và song song với đường thẳng AC. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (a)với đường thẳng S. Tính tỉ số \(\frac{{SC}}{{QC}}\).
a) \(\left. \begin{array}{l}BC//AD\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \not\subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC//\left( {SAD} \right)\)
b) Xét hai mp (SAB)và (SCD) có:
Điểm S chung
AB // CD
Nên \(d = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) thì d đi qua S và song song với AB, CD.
c) Trong (ABCD) từ B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt CD tại I.
Có ABIC là hình bình hành tâm O. Khi đó C là trung điểm của ID
Trong (SCD) gọi Q là giao điểm của IM với SC. Ta có Q là giao điểm của SC với mp \(\left( \alpha \right)\).
Xét tam giác SID có SC và MI là hai trung tuyến nên Q là trọng tâm của tam giác SID. Suy ra SC = 3QC. Vậy \(\frac{{SC}}{{QC}} = 3\)
Bác An có một kệ gỗ để vật dụng gia đình gồm 2 tầng song song nhau. Để tăng diện tích để vật dụng, bác An đóng thêm 1 mặt gỗ ở giữa hai tầng cũ để trở thành kệ gỗ 3 tầng. Do đó, bác An kí hiệu và đo các kích thước như hình bên dưới. Nếu bác An đo đoạn \(AM = 20\,cm\) thì bác An phải đo \(CP\) dài bao nhiêu \(cm\) để mặt gỗ \(MNPQ\) song song với 2 tầng kia?
Vì các mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\)\(\left( {EFGH} \right)\) và \(\left( {MNPQ} \right)\) song song với nhau.
Áp dụng định lý Thales, ta có: \(\frac{{CP}}{{CG}} = \frac{{AM}}{{AE}} \Leftrightarrow \frac{{CP}}{{66}} = \frac{{20}}{{60}} \Rightarrow CP = 22\,cm.\)
Vậy \(CP = 22{\rm{ }}cm.\)
