Bộ 24 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) có đáp án - Đề 24
38 câu hỏi
Trong các dãy số sau, dãy số nào giảm?
\[1; - 1;1; - 1;1\].
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};\frac{1}{{32}}\].
\[1;3;5;7;9\].
\[2;2;2;2;2\].
Chọn B
Phương trình \[\cos x = \cos \alpha \] (hằng số \[\alpha \in \mathbb{R}\]) có nghiệm là
\(x = \alpha + k\pi ;{\rm{ }}x = \pi - \alpha + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \alpha + k2\pi ;{\rm{ }}x = \pi - \alpha + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \alpha + k\pi ;{\rm{ }}x = - \alpha + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \alpha + k2\pi ;{\rm{ }}x = - \alpha + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn D
Ta có \[\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian?
\[4\].
\[2\].
\[5\].
\[3\].
Chọn A
Trong không gian, có \[4\] vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Song song, trùng nhau, chéo nhau, cắt nhau.
Cho hình tứ diện \(ABCD\).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(AB\) song song \(CD\).
\(AD\)cắt \(BC\).
\(AB\) chéo \(CD\).
\(AB\) cắt \(CD\).
Chọn C
Xét phép chiếu song song đối với đường thẳng, đoạn thẳng, tia không song song với phương chiếu. Mệnh đề nào sau đây sai?
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
Phép chiếu song song biến tia thành tia.
Chọn C
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Hàm số \[y = \sin x\] tuần hoàn với chu kì
\[k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
\[\frac{\pi }{2}\].
\[\pi \].
\[2\pi \].
Chọn D
Hàm số \[y = \sin x\] tuần hoàn với chu kì \[2\pi \].
Cho lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\] , khẳng định nào sau đây là sai?
\(ACC'A'\) là hình chữ nhật.
\(ABB'A'\) là hình bình hành.
\(\left( {ABC} \right)//(A'B'C')\).
\(AA' = BB'\).
Chọn A
\(ACC'A'\) là hình bình hành.
Cho hình tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC,AD\).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(MN//(ACD)\).
\(MN//(ABC)\).
\(MN//(ABP)\).
\(MN//(BCD)\).
Chọn D
Xét \[\Delta ABC\], \[MN\] là đường trung bình trong tam giác \[ \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BC\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}MN\,{\rm{//}}\,BC\\MN \not\subset \left( {BCD} \right)\\BC \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,\left( {BCD} \right)\].
Khẳng định nào sau đây sai?
Phép chiếu song song có thể biến đường tròn thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song có thể biến đường tròn thành một điểm.
Phép chiếu song song có thể biến đường tròn thành đường elip.
Phép chiếu song song có thể biến đường tròn thành đường tròn.
Chọn B
Hình biểu diễn của một đường tròn là một đường Elip hoặc một đường tròn, hoặc trường hợp đặc biệt có thể là một đoạn thẳng.
Hàm số \(y = \frac{{2023}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\) liên tục tại điểm nào dưới đây
\(x = - 1\).
\(x = 2\).
\(x = 1\).
\(x = - 2\).
Chọn C
Điều kiện \[\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x \ne 2\\x \ne - 2\end{array} \right.\].
Tập xác đinh: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;\, - 2;\,2} \right\}\].
Hàm số \(y = \frac{{2023}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\) liên tục tại điểm \(x = 1\).
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) gián đoạn tại điểm nào sau đây?
\(x = 0\).
\(x = 1\).
\(x = 0\) và \(x = 3\).
\(x = 3\).
Chọn B
Điều kiện \[x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\].
Tập xác đinh: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\].
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) gián đoạn tại điểm \(x = 1\).
Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = \frac{{ - {x^2} + x + 1}}{2}\).
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\).
\(y = \sqrt {3x + 1} \).
\(y = 2023 - \frac{1}{x}\).
Chọn A
Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + x + 1}}{2}\) là hàm đa thức xác định trên \(\mathbb{R}\)nên hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\left( {CDD'C'} \right){\rm{//}}(A'B'CD)\).
\({\rm{(}}CDD'C')\,{\rm{//}}\left( {ABB'A'} \right)\).
\(\left( {CDD'C'} \right){\rm{//}}(ABC'D')\).
\(\left( {AA'C'C} \right){\rm{//}}(BB'D'D)\).
Chọn B
Cho hình chóp tam giác \[S.ABD\]. Gọi\[M,N,P\]lần lượt là trung điểm \[SA,SB,SD\]. Mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\] song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
\[\left( {SAD} \right)\].
\[\left( {SAB} \right)\].
\[\left( {SBD} \right)\].
\[\left( {ABD} \right)\].
Chọn D
Xét \[\Delta SAB\], \[MN\] là đường trung bình trong tam giác \[ \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,AB\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}MN\,{\rm{//}}\,AB\\MN \not\subset \left( {ABD} \right)\\AB \subset \left( {ABD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,\left( {ABD} \right)\] (1).
Xét \[\Delta SBD\], \[NP\] là đường trung bình trong tam giác \[ \Rightarrow NP\,{\rm{//}}\,BD\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}NP\,{\rm{//}}\,BD\\NP \not\subset \left( {ABD} \right)\\BD \subset \left( {ABD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NP\,{\rm{//}}\,\left( {ABD} \right)\] (2).
Từ (1) và (2) suy ra \[\left( {MNP} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {ABD} \right)\]
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ.
Trong các giới hạn sau giới hạn nào có kết quả bằng \( + \infty \):
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 3)}^ - }} f(x)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 3)}^ + }} f(x)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\).
Chọn C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 3)}^ + }} f(x) = + \infty \).
Phát biểu nào sau đây là sai ?
\(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\)\(\left( {k > 1} \right)\).
\(\lim {q^n} = 0\)\(\left( {\left| q \right| > 1} \right)\).
\(\lim \frac{1}{n} = 0\).
\(\lim c = c\) (\(c\)là hằng số).
Chọn B
Ta có \(\lim {q^n} = 0\) với \(\left( {\left| q \right| < 1} \right)\).
Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
\[\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b.\]\(\left( {k > 1} \right)\).
\[\cos \left( {a--b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b.\].
\[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b.\]
\[\sin \left( {a--b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b.\]
Chọn D
Ta có \(\lim {q^n} = 0\) với \(\left( {\left| q \right| < 1} \right)\).
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] nào dưới đây là cấp số nhân, nếu biết công thức số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó là
\[{u_n} = - 3n + 2\].
\[{u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}} + 1\].
\[{u_n} = {n^2} + 1\].
\[{u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\].
Chọn D
Xét dãy số \[{u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\] có \[{u_{n + 1}} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}} = \frac{1}{3}.{u_n} \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\] là một cấp số nhân với \[{u_1} = \frac{1}{3};\,q = \frac{1}{3}\].
Cho hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) xác định và liên tục tại \(x = 3\). Khẳng định nào sai?
Hàm số \(y = f(x) + g(x)\) liên tục tại \(x = 3\).
Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại \(x = 3\).
Hàm số \(y = f(x) - g(x)\) liên tục tại \(x = 3\).
Hàm số \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại \(x = 3\).
Chọn B
Cho cấp số cộng có số hạng đầu \[{u_1} = - 1\]và công sai \[d = 2\]. Năm số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
\[1; - 1; - 3; - 5; - 8\].
\[ - 1;1;3;5;7\].
\[ - 1;1;3;5;8\].
\[1; - 1; - 3; - 5; - 7\].
Chọn B
Giới hạn \(\lim \frac{{4n + 2023}}{{2n + 1}}\) bằng
\(2023\).
\(2\).
\(\frac{1}{2}\).
\(4\).
Chọn B
Ta có \(\lim \frac{{4n + 2023}}{{2n + 1}} = \lim \frac{{4 + \frac{{2023}}{n}}}{{2 + \frac{1}{n}}} = \frac{4}{2} = 2\)
Cho \[\left( {{u_n}} \right)\] là một cấp số cộng có \[{u_1} = - 3;\,\,{u_6} = 27\]. Tìm công sai \[d\]?
\(d = 6\).
\(d = 7\).
\(d = 5\).
\(d = 8\).
Chọn A
Ta có\({u_6} = {u_1} + 5d \Leftrightarrow 27 = - 3 + 5d \Leftrightarrow d = 6\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O.\] Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[SA\] và \[AD\] Mặt phẳng \(\left( {MNO} \right)\)song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
\(\left( {SAC} \right)\).
\(\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
\(\left( {SCD} \right)\).
Chọn D
Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD \Rightarrow MN//SD\).
Tương tự \(ON\)là đường trung bình của tam giác \(ACD \Rightarrow ON//CD.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN//SD,\,\,ON//CD\\MN \subset \left( {MNO} \right),\,ON \subset \left( {MNO} \right)\\SD \subset \left( {SCD} \right),\,CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MNO} \right)//\left( {SCD} \right).\)
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - x + b}}{{x - 3}} = 5\). Giá trị b thuộc khoảng nào dưới đây?
\(\left( {0;5} \right)\).
\(\left( {3;6} \right)\).
\(\left( { - 5;1} \right)\).
\(\left( { - 8;0} \right)\).
Chọn A
Ta có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - x + b}}{{x - 3}} = 5 \Rightarrow \) phương trình \[{x^2} - x + b = 0\] có nghiệm \[x = 3\].
\[ \Rightarrow {3^2} - 3 + b = 0 \Rightarrow b = - 6 \in \left( { - 8;\,0} \right)\].
Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
\(\left( {A'C'C} \right)\).
\(\left( {BC'D} \right)\).
\(\left( {BCA'} \right)\).
\(\left( {BDA'} \right)\).
Chọn B
Ta có:\(BD\parallel B'D'\)\( \Rightarrow BD\parallel \left( {AB'D'} \right)\),\(DC'\parallel AB'\)\( \Rightarrow DC'\parallel \left( {AB'D'} \right)\)
Mặt khác:\(\left\{ \begin{array}{l}BD,DC' \subset \left( {C'BD} \right)\\BD \cap DC' = \left\{ D \right\}\\BD\parallel \left( {AB'D'} \right),DC'\parallel \left( {AB'D'} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {C'BD} \right)\parallel \left( {AB'D'} \right)\).
Cho \(\lim \frac{{{n^2} - n + 1}}{{2{n^2} - 4}} = \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\[a + b = 6\].
\[a + b = 2\].
\[a + b = 3\].
\[a + b = 1\].
Chọn C
Ta có\(\lim \frac{{{n^2} - n + 1}}{{2{n^2} - 4}} = \lim \frac{{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 - \frac{4}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 1;\,b = 2\).
Suy ra \[a + b = 3\].
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_1} = - 2;{\rm{ }}q = 3\]. Số \[ - 1458\] là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
\(4\).
\(5\).
\(6\).
\(7\).
Chọn D
Ta có\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow - 1458 = \left( { - 2} \right){.3^{n - 1}} \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 729 \Leftrightarrow n - 1 = 6 \Leftrightarrow n = 7\).
Giới hạn \(\lim \left( { - 2{n^3} + 3n - 5} \right)\) bằng
\( - \infty \).
\(0\).
\(5\).
\(2\).
Chọn A
Ta có\(\lim \left( { - 2{n^3} + 3n - 5} \right) = \lim {n^3}\left( { - 2 + \frac{3}{{{n^2}}} - \frac{5}{{{n^3}}}} \right) = - \infty \).
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} + 2} \right)\) bằng
\(1\).
\(3\).
\(0\).
\( - 2\).
Chọn B
Ta có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} + 2} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} + 2 = 3\).
Khẳng định nào sau đây là sai?
Hình lăng trụ có các mặt bên là các đa giác bằng nhau.
Hình lăng trụ có hai đáy là hai đa giác bằng nhau.
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành.
Chọn A
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} - 4x + 7}}{{2 - 3{x^2}}}\) bằng
\( - \frac{2}{3}\).
\(\frac{2}{3}\).
\(1\).
\( - \infty \).
Chọn A
Ta có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} - 4x + 7}}{{2 - 3{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 - \frac{4}{x} + \frac{7}{{{x^2}}}}}{{\frac{2}{{{x^2}}} - 3}} = - \frac{2}{3}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,CD\) và \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB\), \(SCD\). Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với \({G_1}{G_2}\)?
\(SA\).
\(MN\).
\(BC\).
\(AD\).
Chọn A
Xét\(\Delta SMN\), có \[\frac{{S{G_1}}}{{SM}} = \frac{{S{G_2}}}{{SN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,MN\].
Mà l \[MN\,{\rm{//}}\,BC;\,MN\,{\rm{//}}\,AD \Rightarrow {G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,BC;\,\,{G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,AD\].
Giới hạn \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n - 2} }}{{2n - 3}}\)bằng
\( + \infty \).
\(1\).
\(\frac{3}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
Chọn B
Ta có\(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n - 2} }}{{2n - 3}} = \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {\frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} }}{{2 - \frac{3}{n}}} = \frac{2}{2} = 1\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, \(AC\)cắt \(BD\) tại \(O\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SC.\)\(OM\) song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\).
\(\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
Chọn D
Xét\(\Delta SAC\), có \[OM\] là đường trung bình trong tam giác \[ \Rightarrow OM\,{\rm{//}}\,SA\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}OM \not\subset \left( {SAB} \right)\\OM\,{\rm{//}}\,SA\\SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\].
Cho hai mặt phẳng phân biệt \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\), đường thẳng \(a \subset \left( P \right);\,\,b \subset \left( Q \right)\). Tìm khẳng định sai?
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\).
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(a//b\).
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(a\)và \(b\)song song hoặc chéo nhau..
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(a{\rm{//}}\left( Q \right)\).
Chọn B
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(a\)và \(b\)song song hoặc chéo nhau.
a) Cho cấp số nhân\[\left( {{u_n}} \right)\]biết\[{u_2} = 3;\,\,{u_5} = 24\]. Tìm số hạng đầu \[{u_1}\] và công bội \[q\] của cấp số nhân.
b) Bác An muốn trồng cây trên mảnh đất có dạng một hình tam giác cân theo phương án như sau: hàng thứ nhất trồng \[1\] cây, hàng thứ hai trồng \[3\] cây, hàng thứ ba trồng \[5\] cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi trồng được 40 hàng (hàng sau nhiều hơn hàng liền phía trước 2 cây). Hãy tính tổng số cây bác An cần sử dụng để trồng theo phương án trên.
a) Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 3\\{u_5} = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q = 3\\{u_1}{q^4} = 24\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q = 3\\{q^3} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{3}{2}\\q = 2\end{array} \right.\].
b) Ta thấy \[\left( {{u_n}} \right)\]là một cấp số cộng có \[{u_1} = 1\] và công sai \[d = 2\]
Tổng số cây Bác An cần sử dụng là:
\[{S_{40}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{40}} = 40.1 + \frac{{40.39.2}}{2} = 1600\] (cây)
(Chú ý: HS có thể tính \({u_{40}} = 79\)và tính \({S_{40}} = 1600\))
a) Tính giới hạn \(\lim \left( {\sqrt {9{n^2} + 3n - 2} - 3n} \right).\)
b) Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}}&{{\rm{khi}}}&{x > 2}\\{{x^2} + ax + 3b}&{{\rm{khi}}}&{x < 2}\\{2a + b - 6}&{{\rm{khi}}}&{x = 2}\end{array}} \right.\] liên tục tại \[x = 2\]. Tính \[I = a + b\].
a) Ta có \(\lim \left( {\sqrt {9{n^2} + 3n - 2} - 3n} \right) = \lim \frac{{\left( {\sqrt {9{n^2} + 3n - 2} - 3n} \right)\left( {\sqrt {9{n^2} + 3n - 2} + 3n} \right)}}{{\sqrt {9{n^2} + 3n - 2} + 3n}}\)
\( = \lim \frac{{3n - 2}}{{\sqrt {9{n^2} + 3n - 2} + 3n}}\)\( = \lim \frac{{3 - \frac{2}{n}}}{{\sqrt {9 + \frac{3}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} + 3}} = \frac{1}{2}\).
Vậy \(\lim \left( {\sqrt {9{n^2} + 3n - 2} - 3n} \right) = \frac{1}{2}\).
b) Để hàm \[f\left( x \right)\] liên tục tại \[x = 2\] cần có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\]
+) Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + \sqrt {x + 2} } \right)}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + \sqrt {x + 2} } \right)}} = \frac{3}{{16}}\].
+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + 3b} \right) = 2a + 3b + 4\]
+) \[f\left( 2 \right) = 2a + b - 6\]
Ta được hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2a + b - 6 = \frac{3}{{16}}\\2a + 3b + 4 = \frac{3}{{16}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{179}}{{32}}\\b = - 5\end{array} \right. \Rightarrow a + b = \frac{{19}}{{32}}\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD\) với \(AD//BC\) và \(AD = 2BC.\) Gọi \(M\) là điểm nằm trên cạnh \(SD\) thỏa mãn \(SM = \frac{1}{3}SD.\)
a) Xác định giao điểm \(N\) của mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) với cạnh bên \(SC.\)
b) Tính tỉ số \(\frac{{SN}}{{SC}}.\)
a) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) ta có: \(I = AB \cap CD\)
Trong \(\left( {SCD} \right)\) ta có: \(N = IM \cap SC\)
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}N \in IM \subset \left( {ABM} \right)\\N \in SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \cap \left( {ABM} \right) = N\].
b)
Gọi \[K\] là trung điểm của \[IM\]
Do \(AD//BC\)có \[\frac{{IC}}{{ID}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{2}\]
Trong tam giác \[IMD\]có \[KC\]là đường trung bình nên \[KC//MD\]và \[KC = \frac{1}{2}MD\]
Mà \[SM = \frac{1}{2}MD \Rightarrow SM = KC\]
Ta có: \[\frac{{SN}}{{NC}} = \frac{{SM}}{{KC}} = 1 \Rightarrow \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{2}\].
