Bộ 24 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) có đáp án - Đề 20
38 câu hỏi
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi .\)Khẳng định nào sau đây đúng:
\(\tan \alpha > 0.\)
\(\sin \alpha > 0.\)
\(\cot \alpha > 0.\)
\(\cos \alpha > 0.\)
Chọn B
Ta có điểm biểu diễn cung \(\alpha \) nằm ở góc phần tư thứ II.
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]cho bởi số hạng tổng quát \[{u_n}\] sau, dãy số nào là dãy số tăng?
\[{u_n} = {2^n}.\]
\[{u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}.\]
\[{u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}.\]
\[{u_n} = \frac{3}{n}.\]
Chọn A
Với \(n \in \mathbb{N}\), ta có \({2^{n + 1}} > {2^n}\), nên \({u_n} = {2^n}\) là dãy tăng.
Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}?\)
\(y = \tan x.\)
\(y = {x^2} - 3x + 2024\)
\[y = \sqrt {x - 4} \].
\[y = \sqrt x \].
Chọn B
Ta có hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2024\)là hàm đa thức có tập xác định là \(\mathbb{R}\), nên hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Qua phép chiếu song song, hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
Hình thang
Hình bình hành
Hình thoi
Hình chữ nhật
Chọn A
Vì phép chiếu song song bảo toàn quan hệ song song.
Hàm số \(y = \sin x\) có tập giá trị là:
\(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\).
\(\mathbb{R}\).
\(\left[ { - 1;1} \right]\).
\(\left[ {0;\pi } \right]\)
Chọn C
Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1\) .
Cho các dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\,\,\left( {{v_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) bằng
\(1\).
\( - \infty \).
\(0\).
\( + \infty \).
Chọn C
Theo quy tắc tìm giới hạn của dãy số.
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - 2n}}{{3n + 1}}\) bằng
\[ - \frac{2}{3}\].
\[1\].
\[\frac{1}{3}\].
\(\frac{2}{3}\).
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - 2n}}{{3n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{1}{n} - 2}}{{3 + \frac{1}{n}}} = - \frac{2}{3}\).
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\], biết: \({u_1} = 3.\), \({u_2} = -6.\). Lựa chọn đáp án đúng.
\({u_3} = -12.\)
\({u_3} = -18.\)
\({u_3} = 18.\)
\({u_3} = 12.\)
Chọn D
Ta có \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = - 2 \Rightarrow {u_3} = q{u_2} = 12.\)
Cho hình tứ diện\[ABCD\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[AB\]và \(CD\)song song.
\[AB\]và \(CD\)chéo nhau.
Tồn tại một mặt phẳng chứa \[AB\]và \(CD\).
\[AB\]và \(CD\) cắt nhau
Chọn B
Ta có \(A,B,C,D\) không đồng phẳng.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\left( {BDD'B'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {ACC'A'} \right)\).
\(\left( {ABB'A'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {CDD'C'} \right)\).
\(\left( {ABCD} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {A'B'C'D'} \right)\).
\(\left( {AA'D'D} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {BCC'B'} \right)\).
Chọn A
Ta có trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có \(AC \cap BD = O\), nên \(O \in \left( {ACC'A'} \right)\) và \(O \in \left( {BDD'B'} \right)\).
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
Nếu đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( P \right)\) thì \(\Delta \) cũng cắt \(\left( Q \right)\).
Nếu đường thẳng \(a \subset \left( Q \right)\) thì \(a{\rm{//}}\left( P \right)\).
Đường thẳng \(d \subset \left( P \right)\) và \(d' \subset \left( Q \right)\) thì \(d{\rm{//}}d'\).
Mọi đường thẳng đi qua điểm \(A \in \left( P \right)\) và song song với \(\left( Q \right)\) đều nằm trong \(\left( P \right)\).
Chọn C
Ta có \(d\) và \(d'\) có thể chéo nhau.
Tập nghiệm của phương trình \(\sin x = 0\) là
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ {k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn B
Ta có \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \).
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết điều nào sau đây?
Ba điểm không thẳng hàng.
Một đường thẳng và một điểm thuộc nó.
Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Ba điểm mà nó đi qua.
Chọn A
Ta có qua 3 điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)\) bằng
\(2\).
\( + \infty \).
\(1\).
\(3\).
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {3{x^2} - 2x + 1} \right) = {3.1^2} - 2.1 + 1 = 2.\)
Cho hai hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 4\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 1.\) Giá trị của
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left( x \right) + g(x)} \right]\) bằng
\(1\).
\( - 1\).
\(5\).
\(6\).
Chọn C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left( x \right) + g(x)} \right] = 4 + 1 = 5\).
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{3x + 2}}\) bằng
\(0\).
\(1\).
\(\frac{5}{3}\).
\( + \infty \).
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{5}{x}}}{{3 + \frac{2}{x}}} = \frac{0}{3} = 0\).
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\left( Q \right)\) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng \(d\). Đường thẳng \(a\) song song với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\left( Q \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(a\) song song \(d\).
\(a,d\) cắt nhau.
\(a,d\) trùng nhau.
\(a,d\) chéo nhau.
Chọn A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a//\left( P \right)\\a//\left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow a//d\).
Tìm giá trị của tham số \(m\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne - 3\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = - 3\end{array} \right.\) liên tục tại \({x_o} = - 3\)
\[m = 3\].
\[m = - 3\].
\[m = 5\].
\(m = - 5\).
Chọn D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f\left( x \right) = - 5\); \(f\left( { - 3} \right) = m\). Hàm số liên tục tại \({x_o} = - 3\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right) \Rightarrow m = - 5\).
Hàm số \[y = \frac{x}{{x + 1}}\] gián đoạn tại điểm \[{x_0}\] bằng
\[{x_0} = 2023\].
\[{x_0} = 1\].
\[{x_0} = - 1\].
\[{x_0} = 0\]
Chọn C
Ta có tập xác định của hàm số\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\), nên hàm số không liên tục tại \({x_o} = - 1\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành. Gọi \[M\], \[N\]lần lượt là trung điểm của \[AD\] và \[BC\]. Giao tuyến của \[\left( {SMN} \right)\] và \[\left( {SAC} \right)\] là
\[SO\](\[O\] là tâm của hình bình hành \[ABCD\]).
\[SD\].
\[SK\] (\[K\] là trung điểm của \[AB\]).
\[SF\](\[F\] là trung điểm của \[CD\]).
Chọn A
Ta có \(ANCM\) là hình bình hành; nên \(AC \cap MN = O\). Vậy \(SO\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SMN} \right)\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{2}{{n + 1}}\). Số hạng \({u_9}\) (số hạng thứ chín) của dãy số đã cho là
\(\frac{1}{{10}}.\)
\(\frac{1}{5}.\)
\(\frac{2}{5}.\)
\(\frac{1}{2}.\)
Chọn B.
Ta có: \({u_n} = \frac{2}{{n + 1}} \Rightarrow {u_9} = \frac{2}{{9 + 1}} = \frac{1}{5}.\)
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành. Gọi \[I,\,\,J,\,\,E,\,\,F\] lần lượt là trung điểm \[SA,\]\[SB,\]\[SC,\]\[SD\]. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với \[IJ\]?
\[AD.\]
\[AB.\]
\[EF.\]
\[DC.\]
Chọn A.
Ta có \(IJ//AB//CD//EF\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định định nào đúng?
\(\sin \left( {a - b} \right) = \cos a\sin b - \sin a\cos b.\)
\(co{\mathop{\rm s}\nolimits} \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.\)
\(co{\mathop{\rm s}\nolimits} \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b.\)
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\)
Chọn C.
Ta có: \(co{\mathop{\rm s}\nolimits} \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b.\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\) và \({u_6} = 32\). Giá trị của \({u_8}\)bằng
\(34.\)
\( - 44.\)
\(44.\)
\( - 38.\)
Chọn C.
Ta có: \({u_1} = 2\) và \({u_6} = 32 \Leftrightarrow {u_1} + 5d = 32 \Leftrightarrow 2 + 5d = 32 \Leftrightarrow d = 6 \Rightarrow {u_8} = {u_1} + 7d = 44.\)
Cho \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {3x + 4} - 4}}{{x - 4}} = \frac{a}{b}\], với \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản. Tính \[2a + {b^2}\]?
\[14\].
\[66\].
\[22\].
\[70\].
Chọn D.
Ta có: \[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {3x + 4} - 4}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {\sqrt {3x + 4} - 4} \right)\left( {\sqrt {3x + 4} + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt {3x + 4} + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{3x - 12}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt {3x + 4} + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{3\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt {3x + 4} + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{3}{{\sqrt {3x + 4} + 4}} = \frac{3}{{\sqrt {3.4 + 4} + 4}} = \frac{3}{8} = \frac{a}{b} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 8}\end{array}} \right..\end{array}\]
Vậy \[2a + {b^2} = 2.3 + {8^2} = 70.\]
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công sai \(d = - 3\). Năm số hạng đầu của cấp số cộng là
\(2; - 6;18; - 54;162.\)
\(2;1; - 2; - 5; - 8.\)
\(2; - 1; - 4; - 7; - 10.\)
\(2; - 3; - 6; - 9; - 12.\)
Chọn C.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + d = - 1\\{u_3} = {u_2} + d = - 4\\{u_4} = {u_3} + d = - 7\\{u_5} = {u_4} + d = - 10\end{array}\)
Vậy năm số hạng đầu của \(\left( {{u_n}} \right)\) là \(2; - 1; - 4; - 7; - 10.\)
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(ABD\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\[IJ\]và\(CD\)là hai đường thẳng chéo nhau.
\[IJ\]song song với\(AB\).
\[IJ\]song song với\(CD\).
\[IJ\]cắt\(AB\).
Chọn C.
Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), \(BD\)\( \Rightarrow MN//CD.\)
Trong tam giác \(AMN\)ta có: \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//MN \Rightarrow IJ//CD.\)
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).
\( + \infty \).
\( - \infty \).
\(0\).
\(1\).
Chọn B.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 1} \right) = 0\\x - 1 < 0\;khi\;x \to {1^ - }\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = - \infty .\)
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {f\left( x \right) + 4x - 1} \right]\).
\(9\).
\(5\).
\(11\)
\(6\).
Chọn A.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {f\left( x \right) + 4x - 1} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {4x - 1} \right) = - 2 + 4.3 - 1 = 9.\)
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\], biết \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.\]với \(n \ge 0\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là
\[1;\,4;\,7.\]
\[ - 1;\,2;\,5.\]
\[4;\,7;\,10\]
\[\;\; - 1;3;7.\]
Chọn B.
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.\] suy ra:
\(\begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + 3 = 2\\{u_3} = {u_2} + 3 = 5\end{array}\)
Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là \[ - 1;\,2;\,5.\]
Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - 3n + 1} - n} \right)\] bằng
\( + \infty \).
\( - 3\).
\(0\).
\( - \frac{3}{2}\).
Chọn D.
Ta có \[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - 3n + 1} - n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n + 1} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} - 3n + 1} + n} \right)}}{{\sqrt {{n^2} - 3n + 1} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} - 3n + 1 - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2}\left( {1 - \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} + n}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 3n + 1}}{{n\sqrt {1 - \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( { - 3 + \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 3 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 - \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{{ - 3 + 0}}{{\sqrt {1 - 0 + 0} + 1}} = - \frac{3}{2}.\end{array}\]
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos x}}{{\sin x - 1}}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Chọn A.
Hàm số xác định khi \(\sin x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\;k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Mặt phẳng \[\left( {AB'D'} \right)\] song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
\[\left( {A'C'C} \right)\].
\[\left( {BC'D} \right)\].
\[\left( {BCA'} \right)\].
\[\left( {BDA'} \right)\].
Chọn B.
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}AD'//BC'\\AB'//DC'\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AB'D'} \right)//\left( {BC'D} \right)\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có các số hạng đầu lần lượt là \(5;\,{\rm{ }}9;{\rm{ }}\,13;\,{\rm{ }}17;....\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng đã cho.
\({u_n} = 5n + 1.\)
\({u_n} = 5n - 1.\)
\({u_n} = 4n - 1.\)
\({u_n} = 4n + 1.\)
Chọn D.
Ta có \({u_1} = 5,\;{u_2} = 9\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 4.\\ \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right).d = 5 + \left( {n - 1} \right).4 = 4n + 1.\end{array}\)
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{8{n^2} + 3n - 1}}{{4 + 5n + 2{n^2}}}\) bằng
\(4\).
\( - \frac{1}{4}\).
\(2\).
\( - \frac{1}{2}\).
Chọn A.
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{8{n^2} + 3n - 1}}{{4 + 5n + 2{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}\left( {8 + \frac{3}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {\frac{4}{{{n^2}}} + \frac{5}{n} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{8 + \frac{3}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{4}{{{n^2}}} + \frac{5}{n} + 2}} = \frac{{8 + 0 - 0}}{{0 + 0 + 2}} = 4.\]
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n - 1}}{{2n + 3}}.\) b) . 
a)\(\lim \frac{{3n - 1}}{{2n + 3}} = \lim \frac{{n\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}} = \lim \frac{{\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}}{{\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}} = \frac{3}{2}\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {2x + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x + 1 - 1}}{{x\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}} = \frac{2}{{\left( {\sqrt {2.0 + 1} + 1} \right)}} = 1\).
Cho hình chóp S. ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi M là điểm trên cạnh AD sao cho AM = x, x ∈(0; a) . Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với (SAB) lần lượt cắt các cạnh CB, CS, SD tại N, P, Q.
a) Chứng minh rằng: AB // (SCD)
b) Tìm x để diện tích MNPQ bằng 2a239.
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \not\subset (SCD)\\(AB\,{\rm{//}}\,CD\\CD \subset (SCD)\end{array} \right. \Rightarrow AB\,{\rm{//}}\,(SCD)\)
b) Theo định lý Talet ta có: \[\frac{{MQ}}{{SA}} = \frac{{NP}}{{SB}} = \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{a - x}}{a} \Rightarrow MQ = NP = a - x\]
Mặt khác \[MN = AB = a,\]\[\frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{AM}}{{AD}}\]
Suy ra \[PQ = AM = x\] và tứ giác \[MNPQ\] là hình thang cân. Chiều cao hình thang cân này là
\[h = \sqrt {M{Q^2} - {{\left( {\frac{{MN - PQ}}{2}} \right)}^2}} \]\[ \Rightarrow h = \sqrt {{{(a - x)}^2} - {{\left( {\frac{{a - x}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {a - x} \right)\]
Diện tích hình thang là \[S = \frac{{a - x + x}}{2}.h = \frac{a}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {a - x} \right) = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow a - x = \frac{8}{9}a \Leftrightarrow x = \frac{a}{9}.\]
Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 48 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 1,5 triệu đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty.
Gọi \({u_n},n \in \mathbb{N}*\) là mức lương của quý thứ \(n\) của kỹ sư.
Ta có \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = 48\,;d = 1,5\)
Sau 3 năm thì có 12 quý
Tổng số tiền lương kỹ sư nhận được sau 3 năm là \({S_{12}} = \frac{{12\left( {2.48 + 11.1,5} \right)}}{2} = 675\) (triệu đồng).
