Bộ 24 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) có đáp án - Đề 19
32 câu hỏi
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\], biết \({u_n} = 3 - 2{n^2}\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đã cho lần lựợt là
\[3,\;1,\, - 5.\]
\[1,\, - 5,\, - 15.\]
\[1,\, - 1,\, - 3.\]
\[5,\,\,11,\,\,21.\]
Chọn B
\({u_n} = 3 - 2{n^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3 - {2.1^2} = 1\\{u_2} = 3 - {2.2^2} = - 5\\{u_3} = 3 - {2.3^2} = - 15\end{array} \right.\)
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\], biết \({u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}.3n\). Tìm số hạng \[{u_5}.\]
\[ - \;480.\]
\[480.\]
\[160.\]
\[ - \;160.\]
Chọn A
\[{u_5} = {\left( { - 2} \right)^5}.3.5 = - 480\]
Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số cộng?
\[\sqrt 2 ,\,\,\sqrt 2 ,\,\,\sqrt 2 ,\,\,\sqrt 2 ,\,\,\sqrt 2 .\]
\[ - 3,\,\, - 4,\,\, - 5,\,\, - 6,\,\, - 7.\]
\[\frac{1}{3},\,\,\frac{1}{4},\,\,\frac{1}{5},\,\,\frac{1}{6},\,\,\frac{1}{7}.\]
\[\frac{1}{2},\,\,\frac{3}{2},\,\,\frac{5}{2},\,\,\frac{7}{2},\,\,\frac{9}{2}.\]
Chọn A
\[\sqrt 2 ,\,\,\sqrt 2 ,\,\,\sqrt 2 ,\,\,\sqrt 2 ,\,\,\sqrt 2 .\] là một cấp số cộng với công sai d= 0
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 7\)và công sai \(d = 4\). Giá trị \({u_3}\) bằng
\(1.\)
\(5.\)
\( - \;\frac{7}{4}.\)
\( - \;3.\)
Chọn A
\({u_3} = {u_1} + 2d = - 7 + 2.4 = 1\)
Cho cấp số nhân\[\left( {{u_n}} \right)\] với số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[{u_n} = {u_1} + (n - 1).\;q\]với \[n \ge 2.\]
\[{u_n} = {u_{n\; - \;1}}\; - \;q\]với \[n \ge 2.\]
\[{u_n} = {u_{n\; - \;1}}\; + \;q\]với \[n \ge 2.\]
\[{u_n} = {u_{n\; - \;1}}\;.\;q\]với \[n \ge 2.\]
Chọn D
Cấp số nhân là một dãy số mà số hạng đứng sa bằng số hạng đứng trước nhân thêm một số không đổi q \[{u_n} = {u_{n\; - \;1}}\;.\;q\]
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - \;6\) và \({u_2} = 8\). Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
\(14.\)
\( - 14.\)
\( - \frac{4}{3}.\)
\( - \frac{3}{4}.\)
Chọn D
\({u_2} = {u_1}.q \Leftrightarrow 8 = - 6q \Leftrightarrow q = - \frac{4}{3}\)
Cho \[\lim {u_n} = - \;7\]và \[\lim \left| {{v_n}} \right| = + \infty \]. Khi đó \[\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\]bằng
\( + \infty .\)
\( - \;\infty .\)
\(1.\)
\(0.\)
Chọn D
Có \[\left\{ \begin{array}{l}\lim \left| {{v_n}} \right| = + \infty \\\lim {u_n} = - \;7 < \infty \end{array} \right. \Rightarrow \lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\]
Cho \[\lim {u_n} = 2023\]và \[\lim {v_n} = - \;2\]. Khi đó \[\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\]bằng
\( - \;4046.\)
\(4046.\)
\(2021.\)
\(2025.\)
Chọn A
Có \[\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim {u_n}.\lim {v_n} = 2023.\left( { - 2} \right) = - 4046\]
Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{3}\] bằng
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}.\)
\(\frac{{\sqrt 2 }}{3}.\)
\(\sqrt 2 .\)
\(2.\)
Chọn C
Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{3} = \frac{{\sqrt {{4^2} + 2} }}{3} = \frac{{3\sqrt 2 }}{3} = \sqrt 2 \]
Giả sử ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 2023\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = + \infty \). Chọn mệnh đề đúng?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = 2023.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = 2023.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = - \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = + \infty .\)
Chọn D
Quy tắc giới hạn vô cùng không áp dụng cho tổng, hiệu nên A, B sai
Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\] bằng
\(1.\)
\( - 1.\)
\(\frac{1}{2}.\)
\( - \frac{1}{2}.\)
Chọn A
Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = 1\]
Hàm số nào liên tục trên \(\mathbb{R}\) trong các hàm số sau?
\(y = \sqrt {2{x^2} - 3x - 5} .\)
\(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.\)
\(y = \sqrt {1 - x} .\)
\(y = \frac{1}{{{x^2} + 2023}}.\)
Chọn D
Có \(y = \frac{1}{{{x^2} + 2023}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) nên hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau\(.\)
Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song\(.\)
Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác đều\(.\)
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành\(.\)
Chọn C
Tính tổng tất cả các cạnh của hình lăng trụ ngũ giác\(.\)
\(10.\)
\(15.\)
\(12.\)
\(9.\)
Chọn A
Lăng trụ ngũ giác sẽ có đáy là một ngũ giác nên sẽ có 10 cạnh hai đáy và 5 cạnh bên nên tổng có 15 cạnh
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Đường thẳng \(AB\) song song với đường thẳng nào?
\(CC'.\)
\(BD.\)
\(C'D'.\)
\(A'D'.\)
Chọn C
Có \(AB//CD//C'D'\) nên C đúng
Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau\(.\)
Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song\(.\)
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau\(.\)
Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau\(.\)
Chọn C
Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), cho dãy số \(0;\,\frac{1}{2};\,\frac{2}{3};\,\frac{3}{4};\,\frac{4}{5};...\) Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
\({u_n} = \frac{{n + 1}}{n}.\)
\({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}.\)
\({u_n} = \frac{{n - 1}}{n}.\)
\({u_n} = \frac{{{n^2} - n}}{{n + 1}}.\)
Chọn C
\(\begin{array}{l}{u_1} = 0;{u_2} = \frac{1}{2} = \frac{{2 - 1}}{1};\,{u_3} = \frac{2}{3} = \frac{{3 - 1}}{3};\,{u_4} = \frac{3}{4} = \frac{{4 - 1}}{4};\,{u_5} = \frac{4}{5} = \frac{{5 - 1}}{5} - ;...\\ \Rightarrow {u_n} = \frac{{n - 1}}{n}.\end{array}\)
Với \[x\]bằng bao nhiêu thì ba số \( - \;5;\;3x\; - \;2;\;9\)theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
\(2.\)
\[\frac{2}{3}.\]
\[\frac{5}{3}.\]
\(\frac{4}{3}.\)
Chọn D
Ta có ba số \( - \;5;\;3x\; - \;2;\;9\)theo thứ tự lập thành một cấp số cộng \( \Leftrightarrow 3x\; - \;2 = \frac{{ - 5 + 9}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\)
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]có \({u_2} = 4\) và \[{u_3} = 7\]. Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\).
\({u_n} = 3n + 2.\)
\({u_n} = 3n - 2.\)
\({u_n} = 3n + 1.\)
\({u_n} = 3n - 1.\)
Chọn C
Có \({u_2} = 4\) và \[{u_3} = 7 \Rightarrow d = {u_3} - {u_2} = 7 - 4 = 3\].
\[ \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 4 + \left( {n - 1} \right).3 = 3n + 1\]
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\]có \({u_1} = 3\) và công bội \[q = - 2\]. Số \( - \;384\) là số hạng thứ mấy ?
\(5.\)
\[8.\]
\[6.\]
\(7.\)
Chọn B
Có \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} \Leftrightarrow - 384 = 3{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow n = 8\)
Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0?
\(\lim {\left( {\frac{4}{3}} \right)^n}.\)
\(\lim {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^n}.\)
\(\lim {\left( {\sqrt 2 } \right)^n}.\)
\(\lim {\left( { - \,3,02} \right)^n}.\)
Chọn B
\(\lim {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^n} = 0\) vì \(\left| { - \frac{1}{3}} \right| < 1\)
Cho hai dãy số \[\left( {{u_n}} \right),\;\left( {{v_n}} \right)\]với \({u_n} = 6 - \frac{3}{n}\) và \({v_n} = 4 + \frac{1}{{{n^2}}}\). Khi đó \[\lim \left( {{u_n} - \sqrt {{v_n}} } \right)\]bằng
\[2.\]
\[ - 4.\]
\[4.\]
\[ - \;2.\]
Chọn C
\[\lim \left( {{u_n} - \sqrt {{v_n}} } \right) = \lim \left( {6 - \frac{3}{n} - \sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} } \right) = 6 - \sqrt 4 = 4\]
Cho \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \;{x_0}} f(x) = - \;2\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \;{x_0}} g(x) = 6\]. Tính giá trị của \[P = \mathop {\lim }\limits_{x \to \;{x_0}} \left[ {f(x) - 3g(x)} \right].\]
\(\; - \;16.\)
\( - \;20.\)
\(16.\)
\(20.\)
Chọn B
\[P = \mathop {\lim }\limits_{x \to \;{x_0}} \left[ {f(x) - 3g(x)} \right] = - 2 - 3.6 = - 20\]
Biết\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x + \sqrt {9{x^2} + 2023x + 1} }}{{5x - 1}} = \frac{a}{b}\] với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,{\rm{ }}b \in \mathbb{N}*.\) Giá trị \(2a - b\) bằng
\[3.\]
\[ - 1.\]
\[11.\]
\[5.\]
Chọn C
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x + \sqrt {9{x^2} + 2023x + 1} }}{{5x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5 + \sqrt {9 + \frac{{2023}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{5 - \frac{1}{x}}} = \frac{{5 + \sqrt 9 }}{5} = \frac{8}{5} = \frac{a}{b}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow 2a - b = 11\end{array}\]
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \ne - 2\\mx + 5\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x = - 2\end{array} \right.\] liên tục tại \(x = - 2.\)
\(m = 1.\)
\(m = \frac{3}{2}.\)
\(m = 2.\)
\(m = \frac{5}{2}.\)
Chọn C
Để hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \ne - 2\\mx + 5\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x = - 2\end{array} \right.\] liên tục tại \(x = - 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \left( { - 2} \right)} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow 1 = - 2m + 5 \Leftrightarrow m = 2\)
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC,\,\,BCD,\,\,DBA\). Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) song song với mặt phẳng nào?
\(\left( {BCD} \right).\)
\(\left( {ABD} \right).\)
\(\left( {ABC} \right).\)
\(\left( {ACD} \right).\)
Chọn C
Theo tính chất của trọng tâm, ta dễ dàng suy ra được:
MN // IJ ⇒ MN // BD
NP // JK ⇒ NP // BC
PM // KI ⇒ PM // CD
Từ đó ta suy ra: CD // (MNP), MP // (BCD), (MNP) // (BCD)
Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(\left( P \right)\).
\(0.\)
\(1.\)
\(2.\)
Vô số\(.\)
Chọn B
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {BC'D} \right)\) song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
\(\left( {A'C'C} \right).\)
\(\left( {BDA'} \right).\)
\(\left( {AB'D'} \right).\)
\(\left( {BCA'} \right).\)
Chọn C
\(\left\{ \begin{array}{l}BC'//AD'\\BD//B'D'\end{array} \right. \Rightarrow \left( {BC'D} \right)//\left( {AB'D'} \right)\)
Tìm \(x > 0\) và \(y \in \mathbb{R}\) biết ba số \(5x - y;\,\,2x + 3y;\,\,x + 2y\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và ba số \({\left( {y + 1} \right)^2};\,\,xy + 1;\,\,{\left( {x - 1} \right)^2}\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Vì ba số \(5x - y;\,\,2x + 3y;\,\,x + 2y\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Ta có:\(5x - y + x + 2y = 2\left( {2x + 3y} \right) \Leftrightarrow 2x = 5y \Leftrightarrow y = \frac{{2x}}{5}.\)
Suy ra: ba số \[{\left( {\frac{{2x}}{5} + 1} \right)^2};\frac{{2{x^2}}}{5} + 1;{\left( {x - 1} \right)^2}\] theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Ta có: \[{\left( {\frac{{2{x^2}}}{5} + 1} \right)^2} = {\left( {\frac{{2x}}{5} + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^2} \Leftrightarrow x\left( {12{x^2} - 31x - 30} \right) = 0\]
Vì \(x > 0 \Rightarrow x = \frac{{10}}{3};\,\,y = \frac{4}{3}.\) Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{10}}{3};\frac{4}{3}} \right).\)
Tính giới hạn \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt[3]{{x + 1}} - 2}}{x}.\)
\({I_1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{x + 1}} + 1}} = \frac{1}{3}\)
\({I_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\sqrt {2x + 1} + 1}} = 1\)
\( \Rightarrow I = {I_1} + {I_2} = \frac{4}{3}.\)
Một bà lão bán hàng có một rổ cam lớn chứa rất nhiều quả cam. Có người mua nửa số cam của bà được bà tặng thêm nửa quả. Một người khác đến tiếp và mua một nửa số cam còn lại cũng được bà tặng nửa quả…Cứ như thế đến người thứ mười ba cũng mua và được tặng như trên thì vừa hết số cam. Hỏi rổ cam ban đầu của bà có bao nhiêu quả?
Giả sử bà lão có \(x\) (quả cam) (\(x \in {\mathbb{N}^*}\))
Số cam của từng người mua lần lượt là:
+) Người thứ nhất: \(\frac{1}{{{2^1}}}\left( {x + 1} \right).\)
+) Người thứ hai: \(\frac{1}{{{2^2}}}\left( {x + 1} \right).\)
…
+) Người thứ mười ba: \(\frac{1}{{{2^{13}}}}\left( {x + 1} \right).\)
Ta có phương trình: \(\frac{1}{{{2^1}}}\left( {x + 1} \right) + \frac{1}{{{2^2}}}\left( {x + 1} \right) + ...\frac{1}{{{2^{13}}}}\left( {x + 1} \right) = x.\)
\( \Leftrightarrow x = 8191.\) Vậy rổ cam ban đầu có \(8191\) quả cam.
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.\,A'B'C'\). Gọi \(G,\,G',\,I\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC,\,\,A'B'C',\,\,ABB'.\)
1) Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng \(\left( {A'BG'} \right)\)song song với mặt phẳng \(\left( {AGC'} \right).\)
b) Đường thẳng \(IG'\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right).\)
2) Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(BB',\,\,CC'\). Đường thẳng \(d\) đi qua \[G\] cắt đường thẳng \(AB'\) tại \(H\) và cắt đường thẳng \[EF\] tại \(K\). Xác định các điểm \(H,\,\,K\) và tính \(\frac{{AH}}{{AB'}}.\)
a) Gọi \(M,\,\,M'\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,B'C'\). Suy ra mặt phẳng \(\left( {A'BG'} \right)\) là mặt phẳng \(\left( {A'BM'} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {AGC'} \right)\) là mặt phẳng \(\left( {AMC'} \right)\).
Ta có: các tứ giác \(AMM'A',\,\,BMC'M'\) là các hình bình hành.
Suy ra: \(A'M'\) song song \(AM\) và \(BM'\) song song \(MC'.\)
Mà \(A'M',\,\,BM' \subset \left( {A'BG'} \right);\,\,AM,\,\,MC' \subset \left( {AGC'} \right)\)
Suy ra: mặt phẳng \(\left( {A'BG'} \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {AGC'} \right).\)
b) Ta có: \(\frac{{A'I}}{{AB}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IG'\) song song \(BM'.\)
Suy ra: \(IG'\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right).\)
Ta có: \(G \in AM \Rightarrow G \in \left( {AB'M} \right)\); \(H \in AB' \Rightarrow H \in \left( {AB'M} \right)\)\( \Rightarrow GH \subset \left( {AB'M} \right)\)
Suy ra: \(K = EF \cap \left( {AB'M} \right)\) hay \(K = EF \cap B'M\) và \(H = GK \cap AB'\)
(Như hình vẽ)
Ta có: \(\frac{{MG}}{{GA}}.\frac{{AH}}{{HB'}}.\frac{{B'K}}{{KM}} = 1 \Rightarrow \frac{{AH}}{{AB'}} = 2.\) Vậy \(\frac{{AH}}{{AB'}} = 2.\)
